Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isngp4 Unicode version

Theorem isngp4 18597
 Description: Express the property of being a normed group purely in terms of right-translation invariance of the metric instead of using the definition of norm (which itself uses the metric). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ngprcan.x
ngprcan.p
ngprcan.d
Assertion
Ref Expression
isngp4 NrmGrp
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem isngp4
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 18585 . . 3 NrmGrp
2 ngpms 18586 . . 3 NrmGrp
3 ngprcan.x . . . . 5
4 ngprcan.p . . . . 5
5 ngprcan.d . . . . 5
63, 4, 5ngprcan 18595 . . . 4 NrmGrp
76ralrimivvva 2756 . . 3 NrmGrp
81, 2, 73jca 1134 . 2 NrmGrp
9 simp1 957 . . 3
10 simp2 958 . . 3
11 eqid 2401 . . . . . . . . . . 11
123, 11grpinvcl 14791 . . . . . . . . . 10
1312ad2ant2rl 730 . . . . . . . . 9
14 eqcom 2403 . . . . . . . . . . 11
15 oveq2 6042 . . . . . . . . . . . . 13
16 oveq2 6042 . . . . . . . . . . . . 13
1715, 16oveq12d 6052 . . . . . . . . . . . 12
1817eqeq2d 2412 . . . . . . . . . . 11
1914, 18syl5bb 249 . . . . . . . . . 10
2019rspcv 3005 . . . . . . . . 9
2113, 20syl 16 . . . . . . . 8
22 eqid 2401 . . . . . . . . . . . . . 14
233, 4, 11, 22grpsubval 14789 . . . . . . . . . . . . 13
2423adantl 453 . . . . . . . . . . . 12
2524eqcomd 2406 . . . . . . . . . . 11
26 eqid 2401 . . . . . . . . . . . . 13
273, 4, 26, 11grprinv 14793 . . . . . . . . . . . 12
2827ad2ant2rl 730 . . . . . . . . . . 11
2925, 28oveq12d 6052 . . . . . . . . . 10
303, 22grpsubcl 14810 . . . . . . . . . . . . 13
31303expb 1154 . . . . . . . . . . . 12
3231adantlr 696 . . . . . . . . . . 11
33 eqid 2401 . . . . . . . . . . . 12
3433, 3, 26, 5nmval 18576 . . . . . . . . . . 11
3532, 34syl 16 . . . . . . . . . 10
3629, 35eqtr4d 2436 . . . . . . . . 9
3736eqeq2d 2412 . . . . . . . 8
3821, 37sylibd 206 . . . . . . 7
3938anassrs 630 . . . . . 6
4039ralimdva 2741 . . . . 5
4140ralimdva 2741 . . . 4
42413impia 1150 . . 3
4333, 22, 5, 3isngp3 18584 . . 3 NrmGrp
449, 10, 42, 43syl3anbrc 1138 . 2 NrmGrp
458, 44impbii 181 1 NrmGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721  wral 2663  cfv 5408  (class class class)co 6034  cbs 13410   cplusg 13470  cds 13479  c0g 13664  cgrp 14626  cminusg 14627  csg 14629  cmt 18287  cnm 18563  NrmGrpcngp 18564 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2382  ax-rep 4275  ax-sep 4285  ax-nul 4293  ax-pow 4332  ax-pr 4358  ax-un 4655  ax-cnex 8993  ax-resscn 8994  ax-1cn 8995  ax-icn 8996  ax-addcl 8997  ax-addrcl 8998  ax-mulcl 8999  ax-mulrcl 9000  ax-mulcom 9001  ax-addass 9002  ax-mulass 9003  ax-distr 9004  ax-i2m1 9005  ax-1ne0 9006  ax-1rid 9007  ax-rnegex 9008  ax-rrecex 9009  ax-cnre 9010  ax-pre-lttri 9011  ax-pre-lttrn 9012  ax-pre-ltadd 9013  ax-pre-mulgt0 9014  ax-pre-sup 9015 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2526  df-ne 2566  df-nel 2567  df-ral 2668  df-rex 2669  df-reu 2670  df-rmo 2671  df-rab 2672  df-v 2915  df-sbc 3119  df-csb 3209  df-dif 3280  df-un 3282  df-in 3284  df-ss 3291  df-pss 3293  df-nul 3586  df-if 3697  df-pw 3758  df-sn 3777  df-pr 3778  df-tp 3779  df-op 3780  df-uni 3972  df-iun 4051  df-br 4168  df-opab 4222  df-mpt 4223  df-tr 4258  df-eprel 4449  df-id 4453  df-po 4458  df-so 4459  df-fr 4496  df-we 4498  df-ord 4539  df-on 4540  df-lim 4541  df-suc 4542  df-om 4800  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5372  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-ov 6037  df-oprab 6038  df-mpt2 6039  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-riota 6499  df-recs 6583  df-rdg 6618  df-er 6855  df-map 6970  df-en 7060  df-dom 7061  df-sdom 7062  df-sup 7395  df-pnf 9069  df-mnf 9070  df-xr 9071  df-ltxr 9072  df-le 9073  df-sub 9239  df-neg 9240  df-div 9624  df-nn 9947  df-2 10004  df-n0 10168  df-z 10229  df-uz 10435  df-q 10521  df-rp 10559  df-xneg 10656  df-xadd 10657  df-xmul 10658  df-topgen 13608  df-0g 13668  df-mnd 14631  df-grp 14753  df-minusg 14754  df-sbg 14755  df-psmet 16635  df-xmet 16636  df-met 16637  df-bl 16638  df-mopn 16639  df-top 16904  df-bases 16906  df-topon 16907  df-topsp 16908  df-xms 18289  df-ms 18290  df-nm 18569  df-ngp 18570
 Copyright terms: Public domain W3C validator