Theorem isnv 8227

Description: The predicate "is a normed complex vector space."

Hypotheses

Ref	Expression
isnv.1	|- X = ran G
isnv.2	|- Z = (Id` G)

Assertion

Ref	Expression
isnv	|- (<.<.G, S>., N>. e. NrmCVec <-> (<.G, S>. e. CVec /\ N:X-->RR /\ A.x e. X (((N` x) = 0 -> x = Z) /\ A.y e. CC (N` (ySx)) = ((abs` y) x. (N` x)) /\ A.y e. X (N` (xGy)) <_ ((N` x) + (N` y)))))

Distinct variable groups:   x,y,G   x,N,y   x,S,y   x,X,y

Proof of Theorem isnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvex 8226	. 2 |- (<.<.G, S>., N>. e. NrmCVec -> (G e. V /\ S e. V /\ N e. V))
2		vcex 8195	. . . . . 6 |- (<.G, S>. e. CVec -> (G e. V /\ S e. V))
3	2	adantr 391	. . . . 5 |- ((<.G, S>. e. CVec /\ N:X-->RR) -> (G e. V /\ S e. V))
4		fex 3658	. . . . . . 7 |- ((N:X-->RR /\ X e. V) -> N e. V)
5	2	pm3.26d 321	. . . . . . . . 9 |- (<.G, S>. e. CVec -> G e. V)
6		rnexg 3365	. . . . . . . . 9 |- (G e. V -> ran G e. V)
7	5, 6	syl 10	. . . . . . . 8 |- (<.G, S>. e. CVec -> ran G e. V)
8		isnv.1	. . . . . . . 8 |- X = ran G
9	7, 8	syl5eqel 1555	. . . . . . 7 |- (<.G, S>. e. CVec -> X e. V)
10	4, 9	sylan2 453	. . . . . 6 |- ((N:X-->RR /\ <.G, S>. e. CVec) -> N e. V)
11	10	ancoms 438	. . . . 5 |- ((<.G, S>. e. CVec /\ N:X-->RR) -> N e. V)
12	3, 11	jca 288	. . . 4 |- ((<.G, S>. e. CVec /\ N:X-->RR) -> ((G e. V /\ S e. V) /\ N e. V))
13		df-3an 779	. . . 4 |- ((G e. V /\ S e. V /\ N e. V) <-> ((G e. V /\ S e. V) /\ N e. V))
14	12, 13	sylibr 200	. . 3 |- ((<.G, S>. e. CVec /\ N:X-->RR) -> (G e. V /\ S e. V /\ N e. V))
15	14	3adant3 801	. 2 |- ((<.G, S>. e. CVec /\ N:X-->RR /\ A.x e. X (((N` x) = 0 -> x = Z) /\ A.y e. CC (N` (ySx)) = ((abs` y) x. (N` x)) /\ A.y e. X (N` (xGy)) <_ ((N` x) + (N` y)))) -> (G e. V /\ S e. V /\ N e. V))
16		isnv.2	. . 3 |- Z = (Id` G)
17	8, 16	isnvlem 8225	. 2 |- ((G e. V /\ S e. V /\ N e. V) -> (<.<.G, S>., N>. e. NrmCVec <-> (<.G, S>. e. CVec /\ N:X-->RR /\ A.x e. X (((N` x) = 0 -> x = Z) /\ A.y e. CC (N` (ySx)) = ((abs` y) x. (N` x)) /\ A.y e. X (N` (xGy)) <_ ((N` x) + (N` y))))))
18	1, 15, 17	pm5.21nii 681	1 |- (<.<.G, S>., N>. e. NrmCVec <-> (<.G, S>. e. CVec /\ N:X-->RR /\ A.x e. X (((N` x) = 0 -> x = Z) /\ A.y e. CC (N` (ySx)) = ((abs` y) x. (N` x)) /\ A.y e. X (N` (xGy)) <_ ((N` x) + (N` y)))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  Vcvv 1814  <.cop 2415   class class class wbr 2624  ran crn 3177  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246   + caddc 5249   x. cmul 5251   <_ cle 5307  abscabs 6751  Idcgi 8031  CVeccvc 8160  NrmCVeccnv 8199

This theorem is referenced by:  isnvi 8228

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207

Copyright terms: Public domain