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Theorem isocnv 6041
Description: Converse law for isomorphism. Proposition 6.30(2) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
isocnv  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  `' H  Isom  S ,  R  ( B ,  A ) )

Proof of Theorem isocnv
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5678 . . . 4  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  `' H : B -1-1-onto-> A )
21adantr 452 . . 3  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  `' H : B -1-1-onto-> A )
3 f1ocnvfv2 6006 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  z  e.  B )  ->  ( H `  ( `' H `  z ) )  =  z )
43adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  ( H `  ( `' H `  z )
)  =  z )
5 f1ocnvfv2 6006 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  w  e.  B )  ->  ( H `  ( `' H `  w ) )  =  w )
65adantrl 697 . . . . . . 7  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  ( H `  ( `' H `  w )
)  =  w )
74, 6breq12d 4217 . . . . . 6  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  z S w ) )
87adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  z S w ) )
9 f1of 5665 . . . . . . 7  |-  ( `' H : B -1-1-onto-> A  ->  `' H : B --> A )
101, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  `' H : B --> A )
11 ffvelrn 5859 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' H : B --> A  /\  z  e.  B )  ->  ( `' H `  z )  e.  A
)
12 ffvelrn 5859 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' H : B --> A  /\  w  e.  B )  ->  ( `' H `  w )  e.  A
)
1311, 12anim12dan 811 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' H : B --> A  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( `' H `  z )  e.  A  /\  ( `' H `  w )  e.  A
) )
14 breq1 4207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' H `  z )  ->  (
x R y  <->  ( `' H `  z ) R y ) )
15 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( `' H `  z )  ->  ( H `  x )  =  ( H `  ( `' H `  z ) ) )
1615breq1d 4214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' H `  z )  ->  (
( H `  x
) S ( H `
 y )  <->  ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `  y
) ) )
1714, 16bibi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' H `  z )  ->  (
( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) )  <-> 
( ( `' H `  z ) R y  <-> 
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y ) ) ) )
18 bicom 192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' H `  z ) R y  <-> 
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y ) )  <-> 
( ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y )  <->  ( `' H `  z ) R y ) )
1917, 18syl6bb 253 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' H `  z )  ->  (
( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) )  <-> 
( ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y )  <->  ( `' H `  z ) R y ) ) )
20 fveq2 5719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( `' H `  w )  ->  ( H `  y )  =  ( H `  ( `' H `  w ) ) )
2120breq2d 4216 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( `' H `  w )  ->  (
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y )  <->  ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `  ( `' H `  w ) ) ) )
22 breq2 4208 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( `' H `  w )  ->  (
( `' H `  z ) R y  <-> 
( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
2321, 22bibi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( `' H `  w )  ->  (
( ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y )  <->  ( `' H `  z ) R y )  <->  ( ( H `  ( `' H `  z )
) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) ) )
2419, 23rspc2va 3051 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( `' H `  z )  e.  A  /\  ( `' H `  w )  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  (
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
2513, 24sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' H : B
--> A  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  (
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
2625an32s 780 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' H : B
--> A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( ( H `  ( `' H `  z )
) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
2710, 26sylanl1 632 . . . . 5  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
288, 27bitr3d 247 . . . 4  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( z S w  <-> 
( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
2928ralrimivva 2790 . . 3  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
302, 29jca 519 . 2  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  ( `' H : B -1-1-onto-> A  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  (
z S w  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) ) )
31 df-isom 5454 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) ) )
32 df-isom 5454 . 2  |-  ( `' H  Isom  S ,  R  ( B ,  A )  <->  ( `' H : B -1-1-onto-> A  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) ) )
3330, 31, 323imtr4i 258 1  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  `' H  Isom  S ,  R  ( B ,  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   class class class wbr 4204   `'ccnv 4868   -->wf 5441   -1-1-onto->wf1o 5444   ` cfv 5445    Isom wiso 5446
This theorem is referenced by:  isores1  6045  isofr  6053  isose  6054  isopo  6057  isoso  6059  weisoeq  6067  weisoeq2  6068  fnwelem  6452  oieu  7497  oemapwe  7639  cantnffval2  7640  wemapwe  7643  infxpenlem  7884  fpwwe2lem7  8500  fpwwe2lem9  8502  infmsup  9975  ltweuz  11289  fz1isolem  11698  ordthmeo  17822  relogiso  20480  erdsze2lem2  24878
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454
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