Theorem isocnv 3887

Description: Converse law for isomorphism. Proposition 6.30(2) of [TakeutiZaring] p. 33.

Assertion

Ref	Expression
isocnv	|- (H Isom R, S (A, B) -> `'H Isom S, R (B, A))

Proof of Theorem isocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 3692	. . . 4 |- (H:A-1-1-onto->B -> `'H:B-1-1-onto->A)
2	1	adantr 389	. . 3 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> `'H:B-1-1-onto->A)
3		f1ocnvfv2 3870	. . . . . . . . . 10 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ z e. B) -> (H` (`'H` z)) = z)
4	3	adantrr 395	. . . . . . . . 9 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ (z e. B /\ w e. B)) -> (H` (`'H` z)) = z)
5		f1ocnvfv2 3870	. . . . . . . . . 10 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ w e. B) -> (H` (`'H` w)) = w)
6	5	adantrl 394	. . . . . . . . 9 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ (z e. B /\ w e. B)) -> (H` (`'H` w)) = w)
7	4, 6	breq12d 2626	. . . . . . . 8 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ (z e. B /\ w e. B)) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> zSw))
8	7	adantlr 393	. . . . . . 7 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) /\ (z e. B /\ w e. B)) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> zSw))
9		breq1 2617	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = (`'H` z) -> (xRy <-> (`'H` z)Ry))
10		fveq2 3715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = (`'H` z) -> (H` x) = (H` (`'H` z)))
11	10	breq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = (`'H` z) -> ((H` x)S(H` y) <-> (H` (`'H` z))S(H` y)))
12	9, 11	bibi12d 628	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = (`'H` z) -> ((xRy <-> (H` x)S(H` y)) <-> ((`'H` z)Ry <-> (H` (`'H` z))S(H` y))))
13		bicom 519	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((`'H` z)Ry <-> (H` (`'H` z))S(H` y)) <-> ((H` (`'H` z))S(H` y) <-> (`'H` z)Ry))
14	12, 13	syl6bb 535	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (`'H` z) -> ((xRy <-> (H` x)S(H` y)) <-> ((H` (`'H` z))S(H` y) <-> (`'H` z)Ry)))
15		fveq2 3715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = (`'H` w) -> (H` y) = (H` (`'H` w)))
16	15	breq2d 2625	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = (`'H` w) -> ((H` (`'H` z))S(H` y) <-> (H` (`'H` z))S(H` (`'H` w))))
17		breq2 2618	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = (`'H` w) -> ((`'H` z)Ry <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
18	16, 17	bibi12d 628	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = (`'H` w) -> (((H` (`'H` z))S(H` y) <-> (`'H` z)Ry) <-> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w))))
19	14, 18	rcla42v 1876	. . . . . . . . . . 11 |- (((`'H` z) e. A /\ (`'H` w) e. A) -> (A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y)) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w))))
20	19	imp 350	. . . . . . . . . 10 |- ((((`'H` z) e. A /\ (`'H` w) e. A) /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
21		ffvelrn 3805	. . . . . . . . . . . 12 |- ((`'H:B-->A /\ z e. B) -> (`'H` z) e. A)
22		ffvelrn 3805	. . . . . . . . . . . 12 |- ((`'H:B-->A /\ w e. B) -> (`'H` w) e. A)
23	21, 22	anim12i 333	. . . . . . . . . . 11 |- (((`'H:B-->A /\ z e. B) /\ (`'H:B-->A /\ w e. B)) -> ((`'H` z) e. A /\ (`'H` w) e. A))
24	23	anandis 512	. . . . . . . . . 10 |- ((`'H:B-->A /\ (z e. B /\ w e. B)) -> ((`'H` z) e. A /\ (`'H` w) e. A))
25	20, 24	sylan 448	. . . . . . . . 9 |- (((`'H:B-->A /\ (z e. B /\ w e. B)) /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
26	25	an1rs 489	. . . . . . . 8 |- (((`'H:B-->A /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) /\ (z e. B /\ w e. B)) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
27		f1of 3680	. . . . . . . . 9 |- (`'H:B-1-1-onto->A -> `'H:B-->A)
28	1, 27	syl 10	. . . . . . . 8 |- (H:A-1-1-onto->B -> `'H:B-->A)
29	26, 28	sylanl1 460	. . . . . . 7 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) /\ (z e. B /\ w e. B)) -> ((H` (`'H` z))S(H` (`'H` w)) <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
30	8, 29	bitr3d 529	. . . . . 6 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) /\ (z e. B /\ w e. B)) -> (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
31	30	exp32 377	. . . . 5 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> (z e. B -> (w e. B -> (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w)))))
32	31	r19.21adv 1715	. . . 4 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> (z e. B -> A.w e. B (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w))))
33	32	r19.21aiv 1710	. . 3 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> A.z e. B A.w e. B (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w)))
34	2, 33	jca 288	. 2 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))) -> (`'H:B-1-1-onto->A /\ A.z e. B A.w e. B (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w))))
35		df-iso 3194	. 2 |- (H Isom R, S (A, B) <-> (H:A-1-1-onto->B /\ A.x e. A A.y e. A (xRy <-> (H` x)S(H` y))))
36		df-iso 3194	. 2 |- (`'H Isom S, R (B, A) <-> (`'H:B-1-1-onto->A /\ A.z e. B A.w e. B (zSw <-> (`'H` z)R(`'H` w))))
37	34, 35, 36	3imtr4 219	1 |- (H Isom R, S (A, B) -> `'H Isom S, R (B, A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642   class class class wbr 2614  `'ccnv 3164  -->wf 3173  -1-1-onto->wf1o 3176  ` cfv 3177   Isom wiso 3178

This theorem is referenced by:  isofr 3893  relogiso 8714

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-iso 3194

Copyright terms: Public domain