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Theorem isocnv 5789
Description: Converse law for isomorphism. Proposition 6.30(2) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
isocnv  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  `' H  Isom  S ,  R  ( B ,  A ) )
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem isocnv
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5451 . . . 4  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  `' H : B -1-1-onto-> A )
21adantr 453 . . 3  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  `' H : B -1-1-onto-> A )
3 f1ocnvfv2 5755 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  z  e.  B )  ->  ( H `  ( `' H `  z ) )  =  z )
43adantrr 699 . . . . . . 7  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  ( H `  ( `' H `  z )
)  =  z )
5 f1ocnvfv2 5755 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  w  e.  B )  ->  ( H `  ( `' H `  w ) )  =  w )
65adantrl 698 . . . . . . 7  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  ( H `  ( `' H `  w )
)  =  w )
74, 6breq12d 4038 . . . . . 6  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  z S w ) )
87adantlr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  z S w ) )
9 f1of 5438 . . . . . . 7  |-  ( `' H : B -1-1-onto-> A  ->  `' H : B --> A )
101, 9syl 17 . . . . . 6  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  `' H : B --> A )
11 ffvelrn 5625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' H : B --> A  /\  z  e.  B )  ->  ( `' H `  z )  e.  A
)
12 ffvelrn 5625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' H : B --> A  /\  w  e.  B )  ->  ( `' H `  w )  e.  A
)
1311, 12anim12dan 812 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' H : B --> A  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( `' H `  z )  e.  A  /\  ( `' H `  w )  e.  A
) )
14 breq1 4028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' H `  z )  ->  (
x R y  <->  ( `' H `  z ) R y ) )
15 fveq2 5486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( `' H `  z )  ->  ( H `  x )  =  ( H `  ( `' H `  z ) ) )
1615breq1d 4035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' H `  z )  ->  (
( H `  x
) S ( H `
 y )  <->  ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `  y
) ) )
1714, 16bibi12d 314 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' H `  z )  ->  (
( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) )  <-> 
( ( `' H `  z ) R y  <-> 
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y ) ) ) )
18 bicom 193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' H `  z ) R y  <-> 
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y ) )  <-> 
( ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y )  <->  ( `' H `  z ) R y ) )
1917, 18syl6bb 254 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' H `  z )  ->  (
( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) )  <-> 
( ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y )  <->  ( `' H `  z ) R y ) ) )
20 fveq2 5486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( `' H `  w )  ->  ( H `  y )  =  ( H `  ( `' H `  w ) ) )
2120breq2d 4037 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( `' H `  w )  ->  (
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y )  <->  ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `  ( `' H `  w ) ) ) )
22 breq2 4029 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( `' H `  w )  ->  (
( `' H `  z ) R y  <-> 
( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
2321, 22bibi12d 314 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( `' H `  w )  ->  (
( ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y )  <->  ( `' H `  z ) R y )  <->  ( ( H `  ( `' H `  z )
) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) ) )
2419, 23rspc2va 2893 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( `' H `  z )  e.  A  /\  ( `' H `  w )  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  (
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
2513, 24sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' H : B
--> A  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  (
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
2625an32s 781 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' H : B
--> A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( ( H `  ( `' H `  z )
) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
2710, 26sylanl1 633 . . . . 5  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
288, 27bitr3d 248 . . . 4  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( z S w  <-> 
( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
2928ralrimivva 2637 . . 3  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
302, 29jca 520 . 2  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  ( `' H : B -1-1-onto-> A  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  (
z S w  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) ) )
31 df-isom 5231 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) ) )
32 df-isom 5231 . 2  |-  ( `' H  Isom  S ,  R  ( B ,  A )  <->  ( `' H : B -1-1-onto-> A  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) ) )
3330, 31, 323imtr4i 259 1  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  `' H  Isom  S ,  R  ( B ,  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2545   class class class wbr 4025   `'ccnv 4688   -->wf 5218   -1-1-onto->wf1o 5221   ` cfv 5222    Isom wiso 5223
This theorem is referenced by:  isores1  5793  isofr  5801  isose  5802  isopo  5805  isoso  5807  weisoeq  5815  weisoeq2  5816  fnwelem  6192  oieu  7250  oemapwe  7392  cantnffval2  7393  wemapwe  7396  infxpenlem  7637  fpwwe2lem7  8254  fpwwe2lem9  8256  infmsup  9728  ltweuz  11019  fz1isolem  11394  ordthmeo  17488  relogiso  19946  erdsze2lem2  23140
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-isom 5231
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