MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isoco Unicode version

Theorem isoco 13671
Description: The composition of two isomorphisms is an isomorphism. Proposition 3.14(2) of [Adamek] p. 29. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isoco.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
isoco.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
isoco.n  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
isoco.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
isoco.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
isoco.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
isoco.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
isoco.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X I Y ) )
isoco.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Y I Z ) )
Assertion
Ref Expression
isoco  |-  ( ph  ->  ( G ( <. X ,  Y >.  .x. 
Z ) F )  e.  ( X I Z ) )

Proof of Theorem isoco
StepHypRef Expression
1 isoco.b . 2  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 eqid 2284 . 2  |-  (Inv `  C )  =  (Inv
`  C )
3 isoco.c . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
4 isoco.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
5 isoco.z . 2  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
6 isoco.n . 2  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
7 isoco.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
8 isoco.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X I Y ) )
9 isoco.o . . 3  |-  .x.  =  (comp `  C )
10 isoco.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Y I Z ) )
111, 2, 3, 4, 7, 6, 8, 9, 5, 10invco 13669 . 2  |-  ( ph  ->  ( G ( <. X ,  Y >.  .x. 
Z ) F ) ( X (Inv `  C ) Z ) ( ( ( X (Inv `  C ) Y ) `  F
) ( <. Z ,  Y >.  .x.  X )
( ( Y (Inv
`  C ) Z ) `  G ) ) )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 11inviso1 13664 1  |-  ( ph  ->  ( G ( <. X ,  Y >.  .x. 
Z ) F )  e.  ( X I Z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1685   <.cop 3644   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   Basecbs 13144  compcco 13216   Catccat 13562  Invcinv 13644    Iso ciso 13645
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-cat 13566  df-cid 13567  df-sect 13646  df-inv 13647  df-iso 13648
  Copyright terms: Public domain W3C validator