MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isoco Unicode version

Theorem isoco 13638
Description: The composition of two isomorphisms is an isomorphism. Proposition 3.14(2) of [Adamek] p. 29. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isoco.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
isoco.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
isoco.n  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
isoco.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
isoco.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
isoco.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
isoco.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
isoco.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X I Y ) )
isoco.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Y I Z ) )
Assertion
Ref Expression
isoco  |-  ( ph  ->  ( G ( <. X ,  Y >.  .x. 
Z ) F )  e.  ( X I Z ) )

Proof of Theorem isoco
StepHypRef Expression
1 isoco.b . 2  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 eqid 2258 . 2  |-  (Inv `  C )  =  (Inv
`  C )
3 isoco.c . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
4 isoco.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
5 isoco.z . 2  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
6 isoco.n . 2  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
7 isoco.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
8 isoco.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X I Y ) )
9 isoco.o . . 3  |-  .x.  =  (comp `  C )
10 isoco.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Y I Z ) )
111, 2, 3, 4, 7, 6, 8, 9, 5, 10invco 13636 . 2  |-  ( ph  ->  ( G ( <. X ,  Y >.  .x. 
Z ) F ) ( X (Inv `  C ) Z ) ( ( ( X (Inv `  C ) Y ) `  F
) ( <. Z ,  Y >.  .x.  X )
( ( Y (Inv
`  C ) Z ) `  G ) ) )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 11inviso1 13631 1  |-  ( ph  ->  ( G ( <. X ,  Y >.  .x. 
Z ) F )  e.  ( X I Z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   <.cop 3617   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   Basecbs 13111  compcco 13183   Catccat 13529  Invcinv 13611    Iso ciso 13612
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-cat 13533  df-cid 13534  df-sect 13613  df-inv 13614  df-iso 13615
  Copyright terms: Public domain W3C validator