MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isoco Unicode version

Theorem isoco 13602
Description: The composition of two isomorphisms is an isomorphism. Proposition 3.14(2) of [Adamek] p. 29. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isoco.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
isoco.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
isoco.n  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
isoco.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
isoco.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
isoco.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
isoco.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
isoco.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X I Y ) )
isoco.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Y I Z ) )
Assertion
Ref Expression
isoco  |-  ( ph  ->  ( G ( <. X ,  Y >.  .x. 
Z ) F )  e.  ( X I Z ) )

Proof of Theorem isoco
StepHypRef Expression
1 isoco.b . 2  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 eqid 2256 . 2  |-  (Inv `  C )  =  (Inv
`  C )
3 isoco.c . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
4 isoco.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
5 isoco.z . 2  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
6 isoco.n . 2  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
7 isoco.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
8 isoco.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X I Y ) )
9 isoco.o . . 3  |-  .x.  =  (comp `  C )
10 isoco.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Y I Z ) )
111, 2, 3, 4, 7, 6, 8, 9, 5, 10invco 13600 . 2  |-  ( ph  ->  ( G ( <. X ,  Y >.  .x. 
Z ) F ) ( X (Inv `  C ) Z ) ( ( ( X (Inv `  C ) Y ) `  F
) ( <. Z ,  Y >.  .x.  X )
( ( Y (Inv
`  C ) Z ) `  G ) ) )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 11inviso1 13595 1  |-  ( ph  ->  ( G ( <. X ,  Y >.  .x. 
Z ) F )  e.  ( X I Z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   <.cop 3584   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   Basecbs 13075  compcco 13147   Catccat 13493  Invcinv 13575    Iso ciso 13576
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-cat 13497  df-cid 13498  df-sect 13577  df-inv 13578  df-iso 13579
  Copyright terms: Public domain W3C validator