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Theorem isoini 5769
Description: Isomorphisms preserve initial segments. Proposition 6.31(2) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 20-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
isoini  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  ( H " ( A  i^i  ( `' R " { D } ) ) )  =  ( B  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) ) )

Proof of Theorem isoini
StepHypRef Expression
1 elin 3333 . . . 4  |-  ( y  e.  ( B  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  <->  ( y  e.  B  /\  y  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } ) ) )
2 isof1o 5756 . . . . . . . . 9  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  H : A -1-1-onto-> B
)
3 f1ofo 5417 . . . . . . . . 9  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A -onto-> B )
4 forn 5392 . . . . . . . . . 10  |-  ( H : A -onto-> B  ->  ran  H  =  B )
54eleq2d 2325 . . . . . . . . 9  |-  ( H : A -onto-> B  -> 
( y  e.  ran  H  <-> 
y  e.  B ) )
62, 3, 53syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( y  e. 
ran  H  <->  y  e.  B
) )
7 f1ofn 5411 . . . . . . . . 9  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H  Fn  A )
8 fvelrnb 5504 . . . . . . . . 9  |-  ( H  Fn  A  ->  (
y  e.  ran  H  <->  E. x  e.  A  ( H `  x )  =  y ) )
92, 7, 83syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( y  e. 
ran  H  <->  E. x  e.  A  ( H `  x )  =  y ) )
106, 9bitr3d 248 . . . . . . 7  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( y  e.  B  <->  E. x  e.  A  ( H `  x )  =  y ) )
11 fvex 5472 . . . . . . . 8  |-  ( H `
 D )  e. 
_V
12 vex 2766 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
1312eliniseg 5030 . . . . . . . 8  |-  ( ( H `  D )  e.  _V  ->  (
y  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } )  <->  y S
( H `  D
) ) )
1411, 13mp1i 13 . . . . . . 7  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( y  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } )  <-> 
y S ( H `
 D ) ) )
1510, 14anbi12d 694 . . . . . 6  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( ( y  e.  B  /\  y  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  <->  ( E. x  e.  A  ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) )
1615adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  (
( y  e.  B  /\  y  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  <->  ( E. x  e.  A  ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) )
17 elin 3333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( `' R " { D } ) ) )
18 vex 2766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
1918eliniseg 5030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  A  ->  (
x  e.  ( `' R " { D } )  <->  x R D ) )
2019anbi2d 687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  A  ->  (
( x  e.  A  /\  x  e.  ( `' R " { D } ) )  <->  ( x  e.  A  /\  x R D ) ) )
2117, 20syl5bb 250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  A  ->  (
x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) )  <->  ( x  e.  A  /\  x R D ) ) )
2221anbi1d 688 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  A  ->  (
( x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) )  /\  x H y )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x R D )  /\  x H y ) ) )
23 anass 633 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x R D )  /\  x H y )  <->  ( x  e.  A  /\  ( x R D  /\  x H y ) ) )
2422, 23syl6bb 254 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  A  ->  (
( x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) )  /\  x H y )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x R D  /\  x H y ) ) ) )
2524adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  (
( x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) )  /\  x H y )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x R D  /\  x H y ) ) ) )
26 isorel 5757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
x  e.  A  /\  D  e.  A )
)  ->  ( x R D  <->  ( H `  x ) S ( H `  D ) ) )
272, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  H  Fn  A
)
28 fnbrfvb 5497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( H  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( ( H `  x )  =  y  <-> 
x H y ) )
2928bicomd 194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( H  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x H y  <-> 
( H `  x
)  =  y ) )
3027, 29sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  x  e.  A )  ->  (
x H y  <->  ( H `  x )  =  y ) )
3130adantrr 700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
x  e.  A  /\  D  e.  A )
)  ->  ( x H y  <->  ( H `  x )  =  y ) )
3226, 31anbi12d 694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
x  e.  A  /\  D  e.  A )
)  ->  ( (
x R D  /\  x H y )  <->  ( ( H `  x ) S ( H `  D )  /\  ( H `  x )  =  y ) ) )
33 ancom 439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( H `  x
) S ( H `
 D )  /\  ( H `  x )  =  y )  <->  ( ( H `  x )  =  y  /\  ( H `  x ) S ( H `  D ) ) )
34 breq1 4000 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( H `  x )  =  y  ->  (
( H `  x
) S ( H `
 D )  <->  y S
( H `  D
) ) )
3534pm5.32i 621 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( H `  x
)  =  y  /\  ( H `  x ) S ( H `  D ) )  <->  ( ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) )
3633, 35bitri 242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( H `  x
) S ( H `
 D )  /\  ( H `  x )  =  y )  <->  ( ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) )
3732, 36syl6bb 254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
x  e.  A  /\  D  e.  A )
)  ->  ( (
x R D  /\  x H y )  <->  ( ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) )
3837exp32 591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( x  e.  A  ->  ( D  e.  A  ->  ( ( x R D  /\  x H y )  <->  ( ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) ) ) )
3938com23 74 . . . . . . . . . 10  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( D  e.  A  ->  ( x  e.  A  ->  ( ( x R D  /\  x H y )  <->  ( ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) ) ) )
4039imp 420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  (
x  e.  A  -> 
( ( x R D  /\  x H y )  <->  ( ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) ) )
4140pm5.32d 623 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  /\  ( x R D  /\  x H y ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( H `  x
)  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) ) )
4225, 41bitrd 246 . . . . . . 7  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  (
( x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) )  /\  x H y )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( H `  x
)  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) ) )
4342rexbidv2 2541 . . . . . 6  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  ( E. x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) ) x H y  <->  E. x  e.  A  ( ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) )
44 r19.41v 2668 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( ( H `  x
)  =  y  /\  y S ( H `  D ) )  <->  ( E. x  e.  A  ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) )
4543, 44syl6bb 254 . . . . 5  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  ( E. x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) ) x H y  <-> 
( E. x  e.  A  ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) )
4616, 45bitr4d 249 . . . 4  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  (
( y  e.  B  /\  y  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  <->  E. x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) ) x H y ) )
471, 46syl5bb 250 . . 3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  (
y  e.  ( B  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  <->  E. x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) ) x H y ) )
4847abbi2dv 2373 . 2  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  ( B  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  =  { y  |  E. x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) ) x H y } )
49 dfima2 5002 . 2  |-  ( H
" ( A  i^i  ( `' R " { D } ) ) )  =  { y  |  E. x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) ) x H y }
5048, 49syl6reqr 2309 1  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  ( H " ( A  i^i  ( `' R " { D } ) ) )  =  ( B  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2244   E.wrex 2519   _Vcvv 2763    i^i cin 3126   {csn 3614   class class class wbr 3997   `'ccnv 4660   ran crn 4662   "cima 4664    Fn wfn 4668   -onto->wfo 4671   -1-1-onto->wf1o 4672   ` cfv 4673    Isom wiso 4674
This theorem is referenced by:  isoini2  5770  isoselem  5772  infxpenlem  7609
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690
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