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Theorem isoini 5797
Description: Isomorphisms preserve initial segments. Proposition 6.31(2) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 20-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
isoini  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  ( H " ( A  i^i  ( `' R " { D } ) ) )  =  ( B  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) ) )

Proof of Theorem isoini
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3359 . . . 4  |-  ( y  e.  ( B  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  <->  ( y  e.  B  /\  y  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } ) ) )
2 isof1o 5784 . . . . . . . . 9  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  H : A -1-1-onto-> B
)
3 f1ofo 5445 . . . . . . . . 9  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A -onto-> B )
4 forn 5420 . . . . . . . . . 10  |-  ( H : A -onto-> B  ->  ran  H  =  B )
54eleq2d 2351 . . . . . . . . 9  |-  ( H : A -onto-> B  -> 
( y  e.  ran  H  <-> 
y  e.  B ) )
62, 3, 53syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( y  e. 
ran  H  <->  y  e.  B
) )
7 f1ofn 5439 . . . . . . . . 9  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H  Fn  A )
8 fvelrnb 5532 . . . . . . . . 9  |-  ( H  Fn  A  ->  (
y  e.  ran  H  <->  E. x  e.  A  ( H `  x )  =  y ) )
92, 7, 83syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( y  e. 
ran  H  <->  E. x  e.  A  ( H `  x )  =  y ) )
106, 9bitr3d 246 . . . . . . 7  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( y  e.  B  <->  E. x  e.  A  ( H `  x )  =  y ) )
11 fvex 5500 . . . . . . . 8  |-  ( H `
 D )  e. 
_V
12 vex 2792 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
1312eliniseg 5041 . . . . . . . 8  |-  ( ( H `  D )  e.  _V  ->  (
y  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } )  <->  y S
( H `  D
) ) )
1411, 13mp1i 11 . . . . . . 7  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( y  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } )  <-> 
y S ( H `
 D ) ) )
1510, 14anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( ( y  e.  B  /\  y  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  <->  ( E. x  e.  A  ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) )
1615adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  (
( y  e.  B  /\  y  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  <->  ( E. x  e.  A  ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) )
17 elin 3359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( `' R " { D } ) ) )
18 vex 2792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
1918eliniseg 5041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  A  ->  (
x  e.  ( `' R " { D } )  <->  x R D ) )
2019anbi2d 684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  A  ->  (
( x  e.  A  /\  x  e.  ( `' R " { D } ) )  <->  ( x  e.  A  /\  x R D ) ) )
2117, 20syl5bb 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  A  ->  (
x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) )  <->  ( x  e.  A  /\  x R D ) ) )
2221anbi1d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  A  ->  (
( x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) )  /\  x H y )  <->  ( (
x  e.  A  /\  x R D )  /\  x H y ) ) )
23 anass 630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x R D )  /\  x H y )  <->  ( x  e.  A  /\  ( x R D  /\  x H y ) ) )
2422, 23syl6bb 252 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  A  ->  (
( x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) )  /\  x H y )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x R D  /\  x H y ) ) ) )
2524adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  (
( x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) )  /\  x H y )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x R D  /\  x H y ) ) ) )
26 isorel 5785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
x  e.  A  /\  D  e.  A )
)  ->  ( x R D  <->  ( H `  x ) S ( H `  D ) ) )
272, 7syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  H  Fn  A
)
28 fnbrfvb 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( H  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( ( H `  x )  =  y  <-> 
x H y ) )
2928bicomd 192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( H  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x H y  <-> 
( H `  x
)  =  y ) )
3027, 29sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  x  e.  A )  ->  (
x H y  <->  ( H `  x )  =  y ) )
3130adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
x  e.  A  /\  D  e.  A )
)  ->  ( x H y  <->  ( H `  x )  =  y ) )
3226, 31anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
x  e.  A  /\  D  e.  A )
)  ->  ( (
x R D  /\  x H y )  <->  ( ( H `  x ) S ( H `  D )  /\  ( H `  x )  =  y ) ) )
33 ancom 437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( H `  x
) S ( H `
 D )  /\  ( H `  x )  =  y )  <->  ( ( H `  x )  =  y  /\  ( H `  x ) S ( H `  D ) ) )
34 breq1 4027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( H `  x )  =  y  ->  (
( H `  x
) S ( H `
 D )  <->  y S
( H `  D
) ) )
3534pm5.32i 618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( H `  x
)  =  y  /\  ( H `  x ) S ( H `  D ) )  <->  ( ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) )
3633, 35bitri 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( H `  x
) S ( H `
 D )  /\  ( H `  x )  =  y )  <->  ( ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) )
3732, 36syl6bb 252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
x  e.  A  /\  D  e.  A )
)  ->  ( (
x R D  /\  x H y )  <->  ( ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) )
3837exp32 588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( x  e.  A  ->  ( D  e.  A  ->  ( ( x R D  /\  x H y )  <->  ( ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) ) ) )
3938com23 72 . . . . . . . . . 10  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( D  e.  A  ->  ( x  e.  A  ->  ( ( x R D  /\  x H y )  <->  ( ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) ) ) )
4039imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  (
x  e.  A  -> 
( ( x R D  /\  x H y )  <->  ( ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) ) )
4140pm5.32d 620 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  /\  ( x R D  /\  x H y ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( H `  x
)  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) ) )
4225, 41bitrd 244 . . . . . . 7  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  (
( x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) )  /\  x H y )  <->  ( x  e.  A  /\  (
( H `  x
)  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) ) )
4342rexbidv2 2567 . . . . . 6  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  ( E. x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) ) x H y  <->  E. x  e.  A  ( ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) )
44 r19.41v 2694 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( ( H `  x
)  =  y  /\  y S ( H `  D ) )  <->  ( E. x  e.  A  ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) )
4543, 44syl6bb 252 . . . . 5  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  ( E. x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) ) x H y  <-> 
( E. x  e.  A  ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) )
4616, 45bitr4d 247 . . . 4  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  (
( y  e.  B  /\  y  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  <->  E. x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) ) x H y ) )
471, 46syl5bb 248 . . 3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  (
y  e.  ( B  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  <->  E. x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) ) x H y ) )
4847abbi2dv 2399 . 2  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  ( B  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  =  { y  |  E. x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) ) x H y } )
49 dfima2 5013 . 2  |-  ( H
" ( A  i^i  ( `' R " { D } ) ) )  =  { y  |  E. x  e.  ( A  i^i  ( `' R " { D } ) ) x H y }
5048, 49syl6reqr 2335 1  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  D  e.  A )  ->  ( H " ( A  i^i  ( `' R " { D } ) ) )  =  ( B  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685   {cab 2270   E.wrex 2545   _Vcvv 2789    i^i cin 3152   {csn 3641   class class class wbr 4024   `'ccnv 4687   ran crn 4689   "cima 4691    Fn wfn 5216   -onto->wfo 5219   -1-1-onto->wf1o 5220   ` cfv 5221    Isom wiso 5222
This theorem is referenced by:  isoini2  5798  isoselem  5800  infxpenlem  7637
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230
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