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Theorem isomin 5686
Description: Isomorphisms preserve minimal elements. Note that  ( `' R " { D } ) is Takeuti and Zaring's idiom for the initial segment  { x  |  x R D }. Proposition 6.31(1) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 19-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
isomin  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  ( C  C_  A  /\  D  e.  A ) )  -> 
( ( C  i^i  ( `' R " { D } ) )  =  (/) 
<->  ( ( H " C )  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  =  (/) ) )

Proof of Theorem isomin
StepHypRef Expression
1 neq0 3372 . . . 4  |-  ( -.  ( ( H " C )  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  =  (/) 
<->  E. y  y  e.  ( ( H " C )  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) ) )
2 ssel 3097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C 
C_  A  ->  (
x  e.  C  ->  x  e.  A )
)
3 isof1o 5674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  H : A -1-1-onto-> B
)
4 f1ofn 5330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H  Fn  A )
5 fnbrfvb 5415 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( H  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( ( H `  x )  =  y  <-> 
x H y ) )
65ex 425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( H  Fn  A  ->  (
x  e.  A  -> 
( ( H `  x )  =  y  <-> 
x H y ) ) )
73, 4, 63syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( x  e.  A  ->  ( ( H `  x )  =  y  <->  x H y ) ) )
82, 7syl9r 69 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( C  C_  A  ->  ( x  e.  C  ->  ( ( H `  x )  =  y  <->  x H y ) ) ) )
98imp31 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  x  e.  C )  ->  (
( H `  x
)  =  y  <->  x H
y ) )
109rexbidva 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  ->  ( E. x  e.  C  ( H `  x )  =  y  <->  E. x  e.  C  x H
y ) )
11 vex 2730 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
1211elima 4924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( H " C )  <->  E. x  e.  C  x H
y )
1310, 12syl6rbbr 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  ->  (
y  e.  ( H
" C )  <->  E. x  e.  C  ( H `  x )  =  y ) )
14 fvex 5391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H `
 D )  e. 
_V
1511eliniseg 4949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H `  D )  e.  _V  ->  (
y  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } )  <->  y S
( H `  D
) ) )
1614, 15mp1i 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  ->  (
y  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } )  <->  y S
( H `  D
) ) )
1713, 16anbi12d 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  ->  (
( y  e.  ( H " C )  /\  y  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  <->  ( E. x  e.  C  ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) )
18 elin 3266 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ( H
" C )  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  <->  ( y  e.  ( H " C
)  /\  y  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } ) ) )
19 r19.41v 2655 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  C  ( ( H `  x
)  =  y  /\  y S ( H `  D ) )  <->  ( E. x  e.  C  ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) )
2017, 18, 193bitr4g 281 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  ->  (
y  e.  ( ( H " C )  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  <->  E. x  e.  C  ( ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) )
2120adantrr 700 . . . . . . 7  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  ( C  C_  A  /\  D  e.  A ) )  -> 
( y  e.  ( ( H " C
)  i^i  ( `' S " { ( H `
 D ) } ) )  <->  E. x  e.  C  ( ( H `  x )  =  y  /\  y S ( H `  D ) ) ) )
22 breq1 3923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H `  x )  =  y  ->  (
( H `  x
) S ( H `
 D )  <->  y S
( H `  D
) ) )
2322biimpar 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( H `  x
)  =  y  /\  y S ( H `  D ) )  -> 
( H `  x
) S ( H `
 D ) )
24 vex 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
2524eliniseg 4949 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  A  ->  (
x  e.  ( `' R " { D } )  <->  x R D ) )
2625ad2antll 712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
x  e.  A  /\  D  e.  A )
)  ->  ( x  e.  ( `' R " { D } )  <->  x R D ) )
27 isorel 5675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
x  e.  A  /\  D  e.  A )
)  ->  ( x R D  <->  ( H `  x ) S ( H `  D ) ) )
2826, 27bitrd 246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
x  e.  A  /\  D  e.  A )
)  ->  ( x  e.  ( `' R " { D } )  <->  ( H `  x ) S ( H `  D ) ) )
2923, 28syl5ibr 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
x  e.  A  /\  D  e.  A )
)  ->  ( (
( H `  x
)  =  y  /\  y S ( H `  D ) )  ->  x  e.  ( `' R " { D }
) ) )
3029exp32 591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( x  e.  A  ->  ( D  e.  A  ->  ( ( ( H `  x
)  =  y  /\  y S ( H `  D ) )  ->  x  e.  ( `' R " { D }
) ) ) ) )
312, 30syl9r 69 . . . . . . . . . 10  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( C  C_  A  ->  ( x  e.  C  ->  ( D  e.  A  ->  ( ( ( H `  x
)  =  y  /\  y S ( H `  D ) )  ->  x  e.  ( `' R " { D }
) ) ) ) ) )
3231com34 79 . . . . . . . . 9  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( C  C_  A  ->  ( D  e.  A  ->  ( x  e.  C  ->  ( ( ( H `  x
)  =  y  /\  y S ( H `  D ) )  ->  x  e.  ( `' R " { D }
) ) ) ) ) )
3332imp32 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  ( C  C_  A  /\  D  e.  A ) )  -> 
( x  e.  C  ->  ( ( ( H `
 x )  =  y  /\  y S ( H `  D
) )  ->  x  e.  ( `' R " { D } ) ) ) )
3433reximdvai 2615 . . . . . . 7  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  ( C  C_  A  /\  D  e.  A ) )  -> 
( E. x  e.  C  ( ( H `
 x )  =  y  /\  y S ( H `  D
) )  ->  E. x  e.  C  x  e.  ( `' R " { D } ) ) )
3521, 34sylbid 208 . . . . . 6  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  ( C  C_  A  /\  D  e.  A ) )  -> 
( y  e.  ( ( H " C
)  i^i  ( `' S " { ( H `
 D ) } ) )  ->  E. x  e.  C  x  e.  ( `' R " { D } ) ) )
36 elin 3266 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( C  i^i  ( `' R " { D } ) )  <->  ( x  e.  C  /\  x  e.  ( `' R " { D } ) ) )
3736exbii 1580 . . . . . . 7  |-  ( E. x  x  e.  ( C  i^i  ( `' R " { D } ) )  <->  E. x
( x  e.  C  /\  x  e.  ( `' R " { D } ) ) )
38 neq0 3372 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( C  i^i  ( `' R " { D } ) )  =  (/) 
<->  E. x  x  e.  ( C  i^i  ( `' R " { D } ) ) )
39 df-rex 2514 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  C  x  e.  ( `' R " { D } )  <->  E. x ( x  e.  C  /\  x  e.  ( `' R " { D } ) ) )
4037, 38, 393bitr4i 270 . . . . . 6  |-  ( -.  ( C  i^i  ( `' R " { D } ) )  =  (/) 
<->  E. x  e.  C  x  e.  ( `' R " { D }
) )
4135, 40syl6ibr 220 . . . . 5  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  ( C  C_  A  /\  D  e.  A ) )  -> 
( y  e.  ( ( H " C
)  i^i  ( `' S " { ( H `
 D ) } ) )  ->  -.  ( C  i^i  ( `' R " { D } ) )  =  (/) ) )
4241exlimdv 1932 . . . 4  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  ( C  C_  A  /\  D  e.  A ) )  -> 
( E. y  y  e.  ( ( H
" C )  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  ->  -.  ( C  i^i  ( `' R " { D } ) )  =  (/) ) )
431, 42syl5bi 210 . . 3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  ( C  C_  A  /\  D  e.  A ) )  -> 
( -.  ( ( H " C )  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  =  (/)  ->  -.  ( C  i^i  ( `' R " { D } ) )  =  (/) ) )
4443con4d 99 . 2  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  ( C  C_  A  /\  D  e.  A ) )  -> 
( ( C  i^i  ( `' R " { D } ) )  =  (/)  ->  ( ( H
" C )  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  =  (/) ) )
453, 4syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  H  Fn  A
)
46 fnfvima 5608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Fn  A  /\  C  C_  A  /\  x  e.  C )  ->  ( H `  x )  e.  ( H " C
) )
47463expia 1158 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Fn  A  /\  C  C_  A )  -> 
( x  e.  C  ->  ( H `  x
)  e.  ( H
" C ) ) )
4847adantrr 700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Fn  A  /\  ( C  C_  A  /\  D  e.  A )
)  ->  ( x  e.  C  ->  ( H `
 x )  e.  ( H " C
) ) )
4945, 48sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  ( C  C_  A  /\  D  e.  A ) )  -> 
( x  e.  C  ->  ( H `  x
)  e.  ( H
" C ) ) )
5049adantrd 456 . . . . . . 7  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  ( C  C_  A  /\  D  e.  A ) )  -> 
( ( x  e.  C  /\  x  e.  ( `' R " { D } ) )  ->  ( H `  x )  e.  ( H " C ) ) )
5127biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
x  e.  A  /\  D  e.  A )
)  ->  ( x R D  ->  ( H `
 x ) S ( H `  D
) ) )
52 fvex 5391 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( H `
 x )  e. 
_V
5352eliniseg 4949 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( H `  D )  e.  _V  ->  (
( H `  x
)  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } )  <->  ( H `  x ) S ( H `  D ) ) )
5414, 53ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H `  x )  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } )  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 D ) )
5551, 54syl6ibr 220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
x  e.  A  /\  D  e.  A )
)  ->  ( x R D  ->  ( H `
 x )  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } ) ) )
5626, 55sylbid 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
x  e.  A  /\  D  e.  A )
)  ->  ( x  e.  ( `' R " { D } )  -> 
( H `  x
)  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } ) ) )
5756exp32 591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( x  e.  A  ->  ( D  e.  A  ->  ( x  e.  ( `' R " { D } )  ->  ( H `  x )  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } ) ) ) ) )
582, 57syl9r 69 . . . . . . . . . 10  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( C  C_  A  ->  ( x  e.  C  ->  ( D  e.  A  ->  ( x  e.  ( `' R " { D } )  ->  ( H `  x )  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } ) ) ) ) ) )
5958com34 79 . . . . . . . . 9  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( C  C_  A  ->  ( D  e.  A  ->  ( x  e.  C  ->  ( x  e.  ( `' R " { D } )  ->  ( H `  x )  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } ) ) ) ) ) )
6059imp32 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  ( C  C_  A  /\  D  e.  A ) )  -> 
( x  e.  C  ->  ( x  e.  ( `' R " { D } )  ->  ( H `  x )  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } ) ) ) )
6160imp3a 422 . . . . . . 7  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  ( C  C_  A  /\  D  e.  A ) )  -> 
( ( x  e.  C  /\  x  e.  ( `' R " { D } ) )  ->  ( H `  x )  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } ) ) )
6250, 61jcad 521 . . . . . 6  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  ( C  C_  A  /\  D  e.  A ) )  -> 
( ( x  e.  C  /\  x  e.  ( `' R " { D } ) )  ->  ( ( H `
 x )  e.  ( H " C
)  /\  ( H `  x )  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } ) ) ) )
63 elin 3266 . . . . . 6  |-  ( ( H `  x )  e.  ( ( H
" C )  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  <->  ( ( H `
 x )  e.  ( H " C
)  /\  ( H `  x )  e.  ( `' S " { ( H `  D ) } ) ) )
6462, 36, 633imtr4g 263 . . . . 5  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  ( C  C_  A  /\  D  e.  A ) )  -> 
( x  e.  ( C  i^i  ( `' R " { D } ) )  -> 
( H `  x
)  e.  ( ( H " C )  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) ) ) )
65 n0i 3367 . . . . 5  |-  ( ( H `  x )  e.  ( ( H
" C )  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  ->  -.  (
( H " C
)  i^i  ( `' S " { ( H `
 D ) } ) )  =  (/) )
6664, 65syl6 31 . . . 4  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  ( C  C_  A  /\  D  e.  A ) )  -> 
( x  e.  ( C  i^i  ( `' R " { D } ) )  ->  -.  ( ( H " C )  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  =  (/) ) )
6766exlimdv 1932 . . 3  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  ( C  C_  A  /\  D  e.  A ) )  -> 
( E. x  x  e.  ( C  i^i  ( `' R " { D } ) )  ->  -.  ( ( H " C )  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  =  (/) ) )
6838, 67syl5bi 210 . 2  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  ( C  C_  A  /\  D  e.  A ) )  -> 
( -.  ( C  i^i  ( `' R " { D } ) )  =  (/)  ->  -.  ( ( H " C )  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  =  (/) ) )
6944, 68impcon4bid 198 1  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  ( C  C_  A  /\  D  e.  A ) )  -> 
( ( C  i^i  ( `' R " { D } ) )  =  (/) 
<->  ( ( H " C )  i^i  ( `' S " { ( H `  D ) } ) )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2510   _Vcvv 2727    i^i cin 3077    C_ wss 3078   (/)c0 3362   {csn 3544   class class class wbr 3920   `'ccnv 4579   "cima 4583    Fn wfn 4587   -1-1-onto->wf1o 4591   ` cfv 4592    Isom wiso 4593
This theorem is referenced by:  isofrlem  5689
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609
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