Theorem isopn 7859

Description: The defining property of an open set of a metric space.

Hypotheses

Ref	Expression
opnfval.1	|- X = dom dom D
opnfval.2	|- J = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
isopn	|- (D e. Met -> (A e. J <-> (A (_ X /\ A.x e. A E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ A))))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,D,y   x,X,y

Proof of Theorem isopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opnfval.1	. . . 4 |- X = dom dom D
2		opnfval.2	. . . 4 |- J = (Open` D)
3	1, 2	opnfval 7857	. . 3 |- (D e. Met -> J = {z | (z (_ X /\ A.x e. z E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ z))})
4	3	eleq2d 1541	. 2 |- (D e. Met -> (A e. J <-> A e. {z | (z (_ X /\ A.x e. z E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ z))}))
5		dmexg 3358	. . . . 5 |- (D e. Met -> dom D e. V)
6		dmexg 3358	. . . . 5 |- (dom D e. V -> dom dom D e. V)
7	5, 6	syl 10	. . . 4 |- (D e. Met -> dom dom D e. V)
8	7, 1	syl5eqel 1552	. . 3 |- (D e. Met -> X e. V)
9		sseq2 2083	. . . . . . 7 |- (z = A -> (y (_ z <-> y (_ A))
10	9	anbi2d 616	. . . . . 6 |- (z = A -> ((x e. y /\ y (_ z) <-> (x e. y /\ y (_ A)))
11	10	rexbidv 1664	. . . . 5 |- (z = A -> (E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ z) <-> E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ A)))
12	11	raleqd 1791	. . . 4 |- (z = A -> (A.x e. z E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ z) <-> A.x e. A E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ A)))
13	12	elssabg 2726	. . 3 |- (X e. V -> (A e. {z | (z (_ X /\ A.x e. z E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ z))} <-> (A (_ X /\ A.x e. A E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ A))))
14	8, 13	syl 10	. 2 |- (D e. Met -> (A e. {z | (z (_ X /\ A.x e. z E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ z))} <-> (A (_ X /\ A.x e. A E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ A))))
15	4, 14	bitrd 528	1 |- (D e. Met -> (A e. J <-> (A (_ X /\ A.x e. A E.y e. ran ( ball ` D)(x e. y /\ y (_ A))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463  A.wral 1645  E.wrex 1646  Vcvv 1811   (_ wss 2047  dom cdm 3170  ran crn 3171  ` cfv 3182  Metcme 7789   ball cbl 7791  Opencopn 7792

This theorem is referenced by:  opnm 7860  isopn4 7862  opnss 7863  opni 7864  blssopn 7867  opnuni 7868  opnin 7869

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-opn 7796

Copyright terms: Public domain