Theorem isopn2 7615

Description: A subset of the underlying set of a topology is open iff its complement is closed.

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
isopn2	|- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (S e. J <-> (X \ S) e. (Clsd` J)))

Proof of Theorem isopn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 2157	. . . 4 |- (X \ S) (_ X
2		iscld.1	. . . . 5 |- X = U.J
3	2	iscld2 7612	. . . 4 |- ((J e. Top /\ (X \ S) (_ X) -> ((X \ S) e. (Clsd` J) <-> (X \ (X \ S)) e. J))
4	1, 3	mpan2 694	. . 3 |- (J e. Top -> ((X \ S) e. (Clsd` J) <-> (X \ (X \ S)) e. J))
5		dfss4 2232	. . . . 5 |- (S (_ X <-> (X \ (X \ S)) = S)
6	5	biimp 151	. . . 4 |- (S (_ X -> (X \ (X \ S)) = S)
7	6	eleq1d 1532	. . 3 |- (S (_ X -> ((X \ (X \ S)) e. J <-> S e. J))
8	4, 7	sylan9bb 538	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((X \ S) e. (Clsd` J) <-> S e. J))
9	8	bicomd 519	1 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (S e. J <-> (X \ S) e. (Clsd` J)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   \ cdif 2034   (_ wss 2037  U.cuni 2493  ` cfv 3172  Topctop 7530  Clsdccld 7602

This theorem is referenced by:  opncld 7616  iincld 7621  iscncl 7709

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fv 3188  df-cld 7605

Copyright terms: Public domain