Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isotr Structured version   Unicode version

Theorem isotr 6048
 Description: Composition (transitive) law for isomorphism. Proposition 6.30(3) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isotr

Proof of Theorem isotr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . 4
2 simpl 444 . . . 4
3 f1oco 5690 . . . 4
41, 2, 3syl2anr 465 . . 3
5 f1of 5666 . . . . . . . . . . . 12
65ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11
7 simprl 733 . . . . . . . . . . 11
86, 7ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . 10
9 simprr 734 . . . . . . . . . . 11
106, 9ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . 10
11 simplrr 738 . . . . . . . . . 10
12 breq1 4207 . . . . . . . . . . . 12
13 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13
1413breq1d 4214 . . . . . . . . . . . 12
1512, 14bibi12d 313 . . . . . . . . . . 11
16 breq2 4208 . . . . . . . . . . . 12
17 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13
1817breq2d 4216 . . . . . . . . . . . 12
1916, 18bibi12d 313 . . . . . . . . . . 11
2015, 19rspc2va 3051 . . . . . . . . . 10
218, 10, 11, 20syl21anc 1183 . . . . . . . . 9
22 fvco3 5792 . . . . . . . . . . 11
236, 7, 22syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
24 fvco3 5792 . . . . . . . . . . 11
256, 9, 24syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
2623, 25breq12d 4217 . . . . . . . . 9
2721, 26bitr4d 248 . . . . . . . 8
2827bibi2d 310 . . . . . . 7
29282ralbidva 2737 . . . . . 6
3029biimpd 199 . . . . 5
3130impancom 428 . . . 4
3231imp 419 . . 3
334, 32jca 519 . 2
34 df-isom 5455 . . 3
35 df-isom 5455 . . 3
3634, 35anbi12i 679 . 2
37 df-isom 5455 . 2
3833, 36, 373imtr4i 258 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697   class class class wbr 4204   ccom 4874  wf 5442  wf1o 5445  cfv 5446   wiso 5447 This theorem is referenced by:  weisoeq  6068  oieu  7498  fz1isolem  11700  erdsze2lem2  24880 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455
 Copyright terms: Public domain W3C validator