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Theorem isotr 6048
Description: Composition (transitive) law for isomorphism. Proposition 6.30(3) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isotr  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  G  Isom  S ,  T  ( B ,  C ) )  ->  ( G  o.  H )  Isom  R ,  T  ( A ,  C ) )

Proof of Theorem isotr
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  (
z S w  <->  ( G `  z ) T ( G `  w ) ) )  ->  G : B -1-1-onto-> C )
2 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  H : A -1-1-onto-> B )
3 f1oco 5690 . . . 4  |-  ( ( G : B -1-1-onto-> C  /\  H : A -1-1-onto-> B )  ->  ( G  o.  H ) : A -1-1-onto-> C )
41, 2, 3syl2anr 465 . . 3  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <->  ( G `  z ) T ( G `  w ) ) ) )  -> 
( G  o.  H
) : A -1-1-onto-> C )
5 f1of 5666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A
--> B )
65ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) ) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  H : A
--> B )
7 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) ) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  x  e.  A )
86, 7ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) ) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( H `  x )  e.  B
)
9 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) ) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  y  e.  A )
106, 9ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) ) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( H `  y )  e.  B
)
11 simplrr 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) ) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <->  ( G `  z ) T ( G `  w ) ) )
12 breq1 4207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( H `  x )  ->  (
z S w  <->  ( H `  x ) S w ) )
13 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( H `  x )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  ( H `  x ) ) )
1413breq1d 4214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( H `  x )  ->  (
( G `  z
) T ( G `
 w )  <->  ( G `  ( H `  x
) ) T ( G `  w ) ) )
1512, 14bibi12d 313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( H `  x )  ->  (
( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) )  <-> 
( ( H `  x ) S w  <-> 
( G `  ( H `  x )
) T ( G `
 w ) ) ) )
16 breq2 4208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( H `  y )  ->  (
( H `  x
) S w  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )
17 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( H `  y )  ->  ( G `  w )  =  ( G `  ( H `  y ) ) )
1817breq2d 4216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( H `  y )  ->  (
( G `  ( H `  x )
) T ( G `
 w )  <->  ( G `  ( H `  x
) ) T ( G `  ( H `
 y ) ) ) )
1916, 18bibi12d 313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( H `  y )  ->  (
( ( H `  x ) S w  <-> 
( G `  ( H `  x )
) T ( G `
 w ) )  <-> 
( ( H `  x ) S ( H `  y )  <-> 
( G `  ( H `  x )
) T ( G `
 ( H `  y ) ) ) ) )
2015, 19rspc2va 3051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( H `  x )  e.  B  /\  ( H `  y
)  e.  B )  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <->  ( G `  z ) T ( G `  w ) ) )  ->  (
( H `  x
) S ( H `
 y )  <->  ( G `  ( H `  x
) ) T ( G `  ( H `
 y ) ) ) )
218, 10, 11, 20syl21anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) ) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( ( H `  x ) S ( H `  y )  <->  ( G `  ( H `  x
) ) T ( G `  ( H `
 y ) ) ) )
22 fvco3 5792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( ( G  o.  H ) `  x
)  =  ( G `
 ( H `  x ) ) )
236, 7, 22syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) ) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( ( G  o.  H ) `  x )  =  ( G `  ( H `
 x ) ) )
24 fvco3 5792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H : A --> B  /\  y  e.  A )  ->  ( ( G  o.  H ) `  y
)  =  ( G `
 ( H `  y ) ) )
256, 9, 24syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) ) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( ( G  o.  H ) `  y )  =  ( G `  ( H `
 y ) ) )
2623, 25breq12d 4217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) ) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
( G  o.  H
) `  x ) T ( ( G  o.  H ) `  y )  <->  ( G `  ( H `  x
) ) T ( G `  ( H `
 y ) ) ) )
2721, 26bitr4d 248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) ) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( ( H `  x ) S ( H `  y )  <->  ( ( G  o.  H ) `  x ) T ( ( G  o.  H
) `  y )
) )
2827bibi2d 310 . . . . . . 7  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) ) )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) )  <->  ( x R y  <->  ( ( G  o.  H ) `  x ) T ( ( G  o.  H
) `  y )
) ) )
29282ralbidva 2737 . . . . . 6  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  (
z S w  <->  ( G `  z ) T ( G `  w ) ) ) )  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( ( G  o.  H ) `  x
) T ( ( G  o.  H ) `
 y ) ) ) )
3029biimpd 199 . . . . 5  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  (
z S w  <->  ( G `  z ) T ( G `  w ) ) ) )  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <->  ( ( G  o.  H ) `  x ) T ( ( G  o.  H
) `  y )
) ) )
3130impancom 428 . . . 4  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  (
( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <->  ( ( G  o.  H ) `  x ) T ( ( G  o.  H
) `  y )
) ) )
3231imp 419 . . 3  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <->  ( G `  z ) T ( G `  w ) ) ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( ( G  o.  H ) `  x
) T ( ( G  o.  H ) `
 y ) ) )
334, 32jca 519 . 2  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <->  ( G `  z ) T ( G `  w ) ) ) )  -> 
( ( G  o.  H ) : A -1-1-onto-> C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( ( G  o.  H ) `  x
) T ( ( G  o.  H ) `
 y ) ) ) )
34 df-isom 5455 . . 3  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) ) )
35 df-isom 5455 . . 3  |-  ( G 
Isom  S ,  T  ( B ,  C )  <-> 
( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <-> 
( G `  z
) T ( G `
 w ) ) ) )
3634, 35anbi12i 679 . 2  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  G  Isom  S ,  T  ( B ,  C ) )  <->  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  /\  ( G : B -1-1-onto-> C  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <->  ( G `  z ) T ( G `  w ) ) ) ) )
37 df-isom 5455 . 2  |-  ( ( G  o.  H ) 
Isom  R ,  T  ( A ,  C )  <-> 
( ( G  o.  H ) : A -1-1-onto-> C  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( ( G  o.  H ) `  x
) T ( ( G  o.  H ) `
 y ) ) ) )
3833, 36, 373imtr4i 258 1  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  G  Isom  S ,  T  ( B ,  C ) )  ->  ( G  o.  H )  Isom  R ,  T  ( A ,  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   class class class wbr 4204    o. ccom 4874   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446    Isom wiso 5447
This theorem is referenced by:  weisoeq  6068  oieu  7498  fz1isolem  11700  erdsze2lem2  24880
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455
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