Theorem isotr 3897

Description: Composition (transitive) law for isomorphism. Proposition 6.30(3) of [TakeutiZaring] p. 33.

Assertion

Ref	Expression
isotr	|- ((H Isom R, S (A, B) /\ G Isom S, T (B, C)) -> (G o. H) Isom R, T (A, C))

Proof of Theorem isotr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.26 319	. . . . . 6 |- ((G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u))) -> G:B-1-1-onto->C)
2		pm3.26 319	. . . . . 6 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) -> H:A-1-1-onto->B)
3	1, 2	anim12i 333	. . . . 5 |- (((G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u))) /\ (H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w)))) -> (G:B-1-1-onto->C /\ H:A-1-1-onto->B))
4	3	ancoms 436	. . . 4 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u)))) -> (G:B-1-1-onto->C /\ H:A-1-1-onto->B))
5		f1oco 3707	. . . 4 |- ((G:B-1-1-onto->C /\ H:A-1-1-onto->B) -> (G o. H):A-1-1-onto->C)
6	4, 5	syl 10	. . 3 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u)))) -> (G o. H):A-1-1-onto->C)
7		f1of 3689	. . . . . . . . . . 11 |- (H:A-1-1-onto->B -> H:A-->B)
8		ffvelrn 3814	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((H:A-->B /\ x e. A) -> (H` x) e. B)
9	8	ex 373	. . . . . . . . . . . 12 |- (H:A-->B -> (x e. A -> (H` x) e. B))
10		ffvelrn 3814	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((H:A-->B /\ y e. A) -> (H` y) e. B)
11	10	ex 373	. . . . . . . . . . . 12 |- (H:A-->B -> (y e. A -> (H` y) e. B))
12	9, 11	anim12d 558	. . . . . . . . . . 11 |- (H:A-->B -> ((x e. A /\ y e. A) -> ((H` x) e. B /\ (H` y) e. B)))
13	7, 12	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (H:A-1-1-onto->B -> ((x e. A /\ y e. A) -> ((H` x) e. B /\ (H` y) e. B)))
14	13	adantr 389	. . . . . . . . 9 |- ((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) -> ((x e. A /\ y e. A) -> ((H` x) e. B /\ (H` y) e. B)))
15		breq1 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v = (H` x) -> (vSu <-> (H` x)Su))
16		fveq2 3724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v = (H` x) -> (G` v) = (G` (H` x)))
17	16	breq1d 2629	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v = (H` x) -> ((G` v)T(G` u) <-> (G` (H` x))T(G` u)))
18	15, 17	bibi12d 629	. . . . . . . . . . . 12 |- (v = (H` x) -> ((vSu <-> (G` v)T(G` u)) <-> ((H` x)Su <-> (G` (H` x))T(G` u))))
19		breq2 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- (u = (H` y) -> ((H` x)Su <-> (H` x)S(H` y)))
20		fveq2 3724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (u = (H` y) -> (G` u) = (G` (H` y)))
21	20	breq2d 2630	. . . . . . . . . . . . 13 |- (u = (H` y) -> ((G` (H` x))T(G` u) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y))))
22	19, 21	bibi12d 629	. . . . . . . . . . . 12 |- (u = (H` y) -> (((H` x)Su <-> (G` (H` x))T(G` u)) <-> ((H` x)S(H` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y)))))
23	18, 22	rcla42v 1880	. . . . . . . . . . 11 |- (((H` x) e. B /\ (H` y) e. B) -> (A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u)) -> ((H` x)S(H` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y)))))
24	23	com12 11	. . . . . . . . . 10 |- (A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u)) -> (((H` x) e. B /\ (H` y) e. B) -> ((H` x)S(H` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y)))))
25	24	adantl 388	. . . . . . . . 9 |- ((G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u))) -> (((H` x) e. B /\ (H` y) e. B) -> ((H` x)S(H` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y)))))
26	14, 25	sylan9 468	. . . . . . . 8 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u)))) -> ((x e. A /\ y e. A) -> ((H` x)S(H` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y)))))
27	26	imp 350	. . . . . . 7 |- ((((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u)))) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> ((H` x)S(H` y) <-> (G` (H` x))T(G` (H` y))))
28		breq1 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = x -> (zRw <-> xRw))
29		fveq2 3724	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = x -> (H` z) = (H` x))
30	29	breq1d 2629	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = x -> ((H` z)S(H` w) <-> (H` x)S(H` w)))
31	28, 30	bibi12d 629	. . . . . . . . . . 11 |- (z = x -> ((zRw <-> (H` z)S(H` w)) <-> (xRw <-> (H` x)S(H` w))))
32		breq2 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- (w = y -> (xRw <-> xRy))
33		fveq2 3724	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w = y -> (H` w) = (H` y))
34	33	breq2d 2630	. . . . . . . . . . . 12 |- (w = y -> ((H` x)S(H` w) <-> (H` x)S(H` y)))
35	32, 34	bibi12d 629	. . . . . . . . . . 11 |- (w = y -> ((xRw <-> (H` x)S(H` w)) <-> (xRy <-> (H` x)S(H` y))))
36	31, 35	rcla42v 1880	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. A /\ y e. A) -> (A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w)) -> (xRy <-> (H` x)S(H` y))))
37	36	impcom 351	. . . . . . . . 9 |- ((A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w)) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> (xRy <-> (H` x)S(H` y)))
38	37	adantll 392	. . . . . . . 8 |- (((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> (xRy <-> (H` x)S(H` y)))
39	38	adantlr 393	. . . . . . 7 |- ((((H:A-1-1-onto->B /\ A.z e. A A.w e. A (zRw <-> (H` z)S(H` w))) /\ (G:B-1-1-onto->C /\ A.v e. B A.u e. B (vSu <-> (G` v)T(G` u)))) /\ (x e. A /\ y e. A)) -> (xRy <-> (H` x)S(H` y)))
40		fvco3 3776	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Fun G /\ H:A-->B /\ x e. A) -> ((G o. H)` x) = (G` (H` x)))
41	40	3expa 833	. . . . . . . . . . 11 |- (((Fun G /\ H:A-->B) /\ x e. A) -> ((G o. H)` x) = (G` (H` x)))
42		fvco3 3776	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Fun G /\ H:A-->B /\ y e. A) -> ((G o. H)` y