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Theorem isph 21361
Description: The predicate "is an inner product space." (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isph.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
isph.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
isph.3  |-  M  =  ( -v `  U
)
isph.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
Assertion
Ref Expression
isph  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  <->  ( U  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, M, y    x, N, y    x, U, y   
x, X, y

Proof of Theorem isph
StepHypRef Expression
1 phnv 21353 . 2  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
2 isph.2 . . . . 5  |-  G  =  ( +v `  U
)
3 eqid 2258 . . . . 5  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
4 isph.6 . . . . 5  |-  N  =  ( normCV `  U )
52, 3, 4nvop 21204 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  U  =  <. <. G ,  ( .s OLD `  U ) >. ,  N >. )
6 eleq1 2318 . . . . 5  |-  ( U  =  <. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  -> 
( U  e.  CPreHil OLD  <->  <. <. G ,  ( .s
OLD `  U ) >. ,  N >.  e.  CPreHil OLD ) )
7 fvex 5472 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  U )  e. 
_V
82, 7eqeltri 2328 . . . . . . 7  |-  G  e. 
_V
9 fvex 5472 . . . . . . 7  |-  ( .s
OLD `  U )  e.  _V
10 fvex 5472 . . . . . . . 8  |-  ( normCV `  U )  e.  _V
114, 10eqeltri 2328 . . . . . . 7  |-  N  e. 
_V
12 isph.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
1312, 2bafval 21121 . . . . . . . 8  |-  X  =  ran  G
1413isphg 21356 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  _V  /\  ( .s OLD `  U
)  e.  _V  /\  N  e.  _V )  ->  ( <. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  e.  CPreHil
OLD 
<->  ( <. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 ( .s OLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) ) ) )
158, 9, 11, 14mp3an 1282 . . . . . 6  |-  ( <. <. G ,  ( .s
OLD `  U ) >. ,  N >.  e.  CPreHil OLD  <->  (
<. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 ( .s OLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
16 isph.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  M  =  ( -v `  U
)
1712, 2, 3, 16nvmval 21161 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x M y )  =  ( x G ( -u 1 ( .s OLD `  U
) y ) ) )
18173expa 1156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( x M y )  =  ( x G (
-u 1 ( .s
OLD `  U )
y ) ) )
1918fveq2d 5462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( N `  ( x M y ) )  =  ( N `  ( x G ( -u 1
( .s OLD `  U
) y ) ) ) )
2019oveq1d 5807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( ( N `  ( x M y ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( x G (
-u 1 ( .s
OLD `  U )
y ) ) ) ^ 2 ) )
2120oveq2d 5808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x M y ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 ( .s OLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) ) )
2221eqeq1d 2266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 x ) ^
2 )  +  ( ( N `  y
) ^ 2 ) ) )  <->  ( (
( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 ( .s OLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
2322ralbidva 2534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) )  <->  A. y  e.  X  ( (
( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 ( .s OLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
2423ralbidva 2534 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x M y ) ) ^
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 ( .s OLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
2524pm5.32i 621 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 x ) ^
2 )  +  ( ( N `  y
) ^ 2 ) ) ) )  <->  ( U  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( N `  (
x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 ( .s OLD `  U
) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
26 eleq1 2318 . . . . . . . 8  |-  ( U  =  <. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  -> 
( U  e.  NrmCVec  <->  <. <. G , 
( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  e.  NrmCVec ) )
2726anbi1d 688 . . . . . . 7  |-  ( U  =  <. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  -> 
( ( U  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 ( .s OLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) )  <->  ( <. <. G , 
( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 ( .s OLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) ) ) )
2825, 27syl5rbb 251 . . . . . 6  |-  ( U  =  <. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  -> 
( ( <. <. G , 
( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x G ( -u
1 ( .s OLD `  U ) y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x
) ^ 2 )  +  ( ( N `
 y ) ^
2 ) ) ) )  <->  ( U  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
2915, 28syl5bb 250 . . . . 5  |-  ( U  =  <. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  -> 
( <. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  e.  CPreHil
OLD 
<->  ( U  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 x ) ^
2 )  +  ( ( N `  y
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
306, 29bitrd 246 . . . 4  |-  ( U  =  <. <. G ,  ( .s OLD `  U
) >. ,  N >.  -> 
( U  e.  CPreHil OLD  <->  ( U  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 x ) ^
2 )  +  ( ( N `  y
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
315, 30syl 17 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( U  e.  CPreHil
OLD 
<->  ( U  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( N `  ( x G y ) ) ^ 2 )  +  ( ( N `  ( x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `
 x ) ^
2 )  +  ( ( N `  y
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
3231bianabs 855 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( U  e.  CPreHil
OLD 
<-> 
A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
331, 32biadan2 626 1  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  <->  ( U  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( N `
 ( x G y ) ) ^
2 )  +  ( ( N `  (
x M y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  x ) ^ 2 )  +  ( ( N `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   _Vcvv 2763   <.cop 3617   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   1c1 8706    + caddc 8708    x. cmul 8710   -ucneg 9006   2c2 9763   ^cexp 11071   NrmCVeccnv 21101   +vcpv 21102   BaseSetcba 21103   .s
OLDcns 21104   -vcnsb 21106   normCVcnmcv 21107   CPreHil OLDccphlo 21351
This theorem is referenced by:  phpar2  21362  sspph  21394
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-ltxr 8840  df-sub 9007  df-neg 9008  df-grpo 20819  df-gid 20820  df-ginv 20821  df-gdiv 20822  df-ablo 20910  df-vc 21063  df-nv 21109  df-va 21112  df-ba 21113  df-sm 21114  df-0v 21115  df-vs 21116  df-nmcv 21117  df-ph 21352
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