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Theorem isr0 17722
Description: The property " J is an R0 space". A space is R0 if any two topologically distinguishable points are separated (there is an open set containing each one and disjoint from the other). Or in contraposition, if every open set which contains  x also contains  y, so there is no separation, then  x and  y are members of the same open sets. We have chosen not to give this definition a name, because it turns out that a space is R0 if and only if its Kolmogorov quotient is T1, so that is what we prove here. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
isr0  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (KQ `  J )  e.  Fre  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) ) )
Distinct variable groups:    w, o, x, y, z, J    o, F, w, z    o, X, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem isr0
Dummy variables  a 
b  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
21kqid 17713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J ) ) )
32ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J ) ) )
4 cnima 17283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  (KQ `  J
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( `' F " v )  e.  J )
53, 4sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( `' F " v )  e.  J )
6 eleq2 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  =  ( `' F " v )  ->  (
z  e.  o  <->  z  e.  ( `' F " v ) ) )
7 eleq2 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o  =  ( `' F " v )  ->  (
w  e.  o  <->  w  e.  ( `' F " v ) ) )
86, 7imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  ( `' F " v )  ->  (
( z  e.  o  ->  w  e.  o )  <->  ( z  e.  ( `' F "
v )  ->  w  e.  ( `' F "
v ) ) ) )
98rspcv 3008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " v )  e.  J  ->  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  ( z  e.  ( `' F "
v )  ->  w  e.  ( `' F "
v ) ) ) )
105, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( A. o  e.  J  (
z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  ( z  e.  ( `' F " v )  ->  w  e.  ( `' F " v ) ) ) )
111kqffn 17710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  F  Fn  X )
1211ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  ->  F  Fn  X )
1312adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  F  Fn  X )
14 fnfun 5501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  X  ->  Fun  F )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  Fun  F )
16 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
z  e.  X )
1716adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  z  e.  X )
18 fndm 5503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  X  ->  dom  F  =  X )
1913, 18syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  dom  F  =  X )
2017, 19eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  z  e.  dom  F )
21 fvimacnv 5804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  z )  e.  v  <-> 
z  e.  ( `' F " v ) ) )
2215, 20, 21syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( ( F `  z )  e.  v  <->  z  e.  ( `' F " v ) ) )
23 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  ->  w  e.  X )
2423adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  w  e.  X )
2524, 19eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  w  e.  dom  F )
26 fvimacnv 5804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  w  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  w )  e.  v  <-> 
w  e.  ( `' F " v ) ) )
2715, 25, 26syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( ( F `  w )  e.  v  <->  w  e.  ( `' F " v ) ) )
2822, 27imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( (
( F `  z
)  e.  v  -> 
( F `  w
)  e.  v )  <-> 
( z  e.  ( `' F " v )  ->  w  e.  ( `' F " v ) ) ) )
2910, 28sylibrd 226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  /\  v  e.  (KQ `  J ) )  ->  ( A. o  e.  J  (
z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v ) ) )
3029ralrimdva 2756 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v ) ) )
31 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
(KQ `  J )  e.  Fre )
32 fnfvelrn 5826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  X  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z
)  e.  ran  F
)
3312, 16, 32syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( F `  z
)  e.  ran  F
)
341kqtopon 17712 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  (TopOn `  ran  F ) )
3534ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
(KQ `  J )  e.  (TopOn `  ran  F ) )
36 toponuni 16947 . . . . . . . . 9  |-  ( (KQ
`  J )  e.  (TopOn `  ran  F )  ->  ran  F  =  U. (KQ `  J ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  ->  ran  F  =  U. (KQ `  J ) )
3833, 37eleqtrd 2480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( F `  z
)  e.  U. (KQ `  J ) )
39 fnfvelrn 5826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  X  /\  w  e.  X )  ->  ( F `  w
)  e.  ran  F
)
4012, 23, 39syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ran  F
)
4140, 37eleqtrd 2480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( F `  w
)  e.  U. (KQ `  J ) )
42 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  U. (KQ `  J )  =  U. (KQ `  J )
4342t1sep2 17387 . . . . . . 7  |-  ( ( (KQ `  J )  e.  Fre  /\  ( F `  z )  e.  U. (KQ `  J
)  /\  ( F `  w )  e.  U. (KQ `  J ) )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
4431, 38, 41, 43syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
4530, 44syld 42 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
461kqfeq 17709 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  A. y  e.  J  ( z  e.  y  <->  w  e.  y
) ) )
47 eleq2 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  y  ->  (
z  e.  o  <->  z  e.  y ) )
48 eleq2 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( o  =  y  ->  (
w  e.  o  <->  w  e.  y ) )
4947, 48bibi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  y  ->  (
( z  e.  o  <-> 
w  e.  o )  <-> 
( z  e.  y  <-> 
w  e.  y ) ) )
5049cbvralv 2892 . . . . . . . 8  |-  ( A. o  e.  J  (
z  e.  o  <->  w  e.  o )  <->  A. y  e.  J  ( z  e.  y  <->  w  e.  y
) )
5146, 50syl6bbr 255 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) )
52513expb 1154 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (
z  e.  X  /\  w  e.  X )
)  ->  ( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) )
5352adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( F `  z )  =  ( F `  w )  <->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <-> 
w  e.  o ) ) )
5445, 53sylibd 206 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) )
5554ralrimivva 2758 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  ->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) )
5655ex 424 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (KQ `  J )  e.  Fre  ->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) ) )
57 simpll 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
581kqopn 17719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  o  e.  J )  ->  ( F " o )  e.  (KQ `  J ) )
5957, 58sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X
)  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  ( F " o )  e.  (KQ `  J ) )
60 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( F "
o )  ->  (
( F `  z
)  e.  v  <->  ( F `  z )  e.  ( F " o ) ) )
61 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( F "
o )  ->  (
( F `  w
)  e.  v  <->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) )
6260, 61imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( F "
o )  ->  (
( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  <->  ( ( F `
 z )  e.  ( F " o
)  ->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) ) )
6362rspcv 3008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " o )  e.  (KQ `  J
)  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( ( F `  z )  e.  ( F " o
)  ->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) ) )
6459, 63syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X
)  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( F
" o )  -> 
( F `  w
)  e.  ( F
" o ) ) ) )
651kqfvima 17715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  o  e.  J  /\  z  e.  X )  ->  (
z  e.  o  <->  ( F `  z )  e.  ( F " o ) ) )
66653expa 1153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  o  e.  J )  /\  z  e.  X )  ->  (
z  e.  o  <->  ( F `  z )  e.  ( F " o ) ) )
6766an32s 780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  (
z  e.  o  <->  ( F `  z )  e.  ( F " o ) ) )
6867adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X
)  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  (
z  e.  o  <->  ( F `  z )  e.  ( F " o ) ) )
691kqfvima 17715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  o  e.  J  /\  w  e.  X )  ->  (
w  e.  o  <->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) )
70693expa 1153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  o  e.  J )  /\  w  e.  X )  ->  (
w  e.  o  <->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) )
7170an32s 780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  (
w  e.  o  <->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) )
7271adantllr 700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X
)  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  (
w  e.  o  <->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) )
7368, 72imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X
)  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  (
( z  e.  o  ->  w  e.  o )  <->  ( ( F `
 z )  e.  ( F " o
)  ->  ( F `  w )  e.  ( F " o ) ) ) )
7464, 73sylibrd 226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X
)  /\  w  e.  X )  /\  o  e.  J )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  (
z  e.  o  ->  w  e.  o )
) )
7574ralrimdva 2756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o ) ) )
761kqfval 17708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z )  =  { y  e.  J  |  z  e.  y } )
7776adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  ( F `  z )  =  { y  e.  J  |  z  e.  y } )
781kqfval 17708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  w  e.  X )  ->  ( F `  w )  =  { y  e.  J  |  w  e.  y } )
7978adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  ( F `  w )  =  { y  e.  J  |  w  e.  y } )
8077, 79eqeq12d 2418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  { y  e.  J  |  z  e.  y }  =  {
y  e.  J  |  w  e.  y }
) )
81 rabbi 2846 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  J  (
z  e.  y  <->  w  e.  y )  <->  { y  e.  J  |  z  e.  y }  =  {
y  e.  J  |  w  e.  y }
)
8250, 81bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( A. o  e.  J  (
z  e.  o  <->  w  e.  o )  <->  { y  e.  J  |  z  e.  y }  =  {
y  e.  J  |  w  e.  y }
)
8380, 82syl6bbr 255 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  z
)  =  ( F `
 w )  <->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) )
8483biimprd 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  <-> 
w  e.  o )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
8575, 84imim12d 70 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  (
( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
8685ralimdva 2744 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  X )  ->  ( A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) )  ->  A. w  e.  X  ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
8786ralimdva 2744 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) )  ->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
88 eleq1 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
a  e.  v  <->  ( F `  z )  e.  v ) )
8988imbi1d 309 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
( a  e.  v  ->  b  e.  v )  <->  ( ( F `
 z )  e.  v  ->  b  e.  v ) ) )
9089ralbidv 2686 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  v  ->  b  e.  v )  <->  A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  b  e.  v ) ) )
91 eqeq1 2410 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
a  =  b  <->  ( F `  z )  =  b ) )
9290, 91imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  (
( A. v  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  a  =  b )  <->  ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  b ) ) )
9392ralbidv 2686 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( F `  z )  ->  ( A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  a  =  b )  <->  A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  b ) ) )
9493ralrn 5832 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  a  =  b )  <->  A. z  e.  X  A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  b ) ) )
95 eleq1 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
b  e.  v  <->  ( F `  w )  e.  v ) )
9695imbi2d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
( ( F `  z )  e.  v  ->  b  e.  v )  <->  ( ( F `
 z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v ) ) )
9796ralbidv 2686 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  b  e.  v )  <->  A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v ) ) )
98 eqeq2 2413 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
( F `  z
)  =  b  <->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) )
9997, 98imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( F `  w )  ->  (
( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  b )  <->  ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
10099ralrn 5832 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  b )  <->  A. w  e.  X  ( A. v  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  v  -> 
( F `  w
)  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
101100ralbidv 2686 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. z  e.  X  A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( ( F `  z )  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  b )  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. v  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  v  -> 
( F `  w
)  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
10294, 101bitrd 245 . . . . 5  |-  ( F  Fn  X  ->  ( A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J ) ( a  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  a  =  b )  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( ( F `
 z )  e.  v  ->  ( F `  w )  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
10311, 102syl 16 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ
`  J ) ( a  e.  v  -> 
b  e.  v )  ->  a  =  b )  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. v  e.  (KQ
`  J ) ( ( F `  z
)  e.  v  -> 
( F `  w
)  e.  v )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) ) ) )
10487, 103sylibrd 226 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) )  ->  A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ `  J
) ( a  e.  v  ->  b  e.  v )  ->  a  =  b ) ) )
105 ist1-2 17365 . . . 4  |-  ( (KQ
`  J )  e.  (TopOn `  ran  F )  ->  ( (KQ `  J )  e.  Fre  <->  A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ
`  J ) ( a  e.  v  -> 
b  e.  v )  ->  a  =  b ) ) )
10634, 105syl 16 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (KQ `  J )  e.  Fre  <->  A. a  e.  ran  F A. b  e.  ran  F ( A. v  e.  (KQ
`  J ) ( a  e.  v  -> 
b  e.  v )  ->  a  =  b ) ) )
107104, 106sylibrd 226 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) )  ->  (KQ `  J )  e.  Fre ) )
10856, 107impbid 184 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (KQ `  J )  e.  Fre  <->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( A. o  e.  J  ( z  e.  o  ->  w  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( z  e.  o  <->  w  e.  o
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   {crab 2670   U.cuni 3975    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   ` cfv 5413  (class class class)co 6040  TopOnctopon 16914    Cn ccn 17242   Frect1 17325  KQckq 17678
This theorem is referenced by:  r0sep  17733
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-map 6979  df-topgen 13622  df-qtop 13688  df-top 16918  df-topon 16921  df-cld 17038  df-cn 17245  df-t1 17332  df-kq 17679
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