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Theorem isreg2 17479
Description: A topological space is regular if any closed set is separated from any point not in it by neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isreg2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Reg  <->  A. c  e.  (
Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:    o, c, p, x, J    X, c,
o, p, x

Proof of Theorem isreg2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1r 983 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  J  e.  Reg )
2 simp2l 984 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  c  e.  ( Clsd `  J ) )
3 simp2r 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  x  e.  X )
4 simp1l 982 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5 toponuni 17030 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
64, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  X  =  U. J
)
73, 6eleqtrd 2519 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  x  e.  U. J
)
8 simp3 960 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  -.  x  e.  c )
9 eqid 2443 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
109regsep2 17478 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Reg  /\  ( c  e.  (
Clsd `  J )  /\  x  e.  U. J  /\  -.  x  e.  c ) )  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p )  =  (/) ) )
111, 2, 7, 8, 10syl13anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X )  /\  -.  x  e.  c )  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )
12113expia 1156 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  /\  (
c  e.  ( Clsd `  J )  /\  x  e.  X ) )  -> 
( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p )  =  (/) ) ) )
1312ralrimivva 2805 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Reg )  ->  A. c  e.  ( Clsd `  J
) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p )  =  (/) ) ) )
14 topontop 17029 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
1514adantr 453 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  (
c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Top )
165adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  X  =  U. J )
1716difeq1d 3453 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( X  \  y )  =  ( U. J  \ 
y ) )
189opncld 17135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  J )  ->  ( U. J  \ 
y )  e.  (
Clsd `  J )
)
1914, 18sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( U. J  \  y
)  e.  ( Clsd `  J ) )
2017, 19eqeltrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( X  \  y )  e.  ( Clsd `  J
) )
21 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( X  \ 
y )  ->  (
x  e.  c  <->  x  e.  ( X  \  y
) ) )
2221notbid 287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( X  \ 
y )  ->  ( -.  x  e.  c  <->  -.  x  e.  ( X 
\  y ) ) )
23 eldif 3319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X  \ 
y )  <->  ( x  e.  X  /\  -.  x  e.  y ) )
2423baibr 874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X  ->  ( -.  x  e.  y  <->  x  e.  ( X  \ 
y ) ) )
2524con1bid 322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  X  ->  ( -.  x  e.  ( X  \  y )  <->  x  e.  y ) )
2622, 25sylan9bb 682 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  ( -.  x  e.  c  <->  x  e.  y
) )
27 simpl 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  c  =  ( X 
\  y ) )
2827sseq1d 3364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  ( c  C_  o  <->  ( X  \  y ) 
C_  o ) )
29283anbi1d 1259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  <->  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )
30292rexbidv 2755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  ( E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  <->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )
3126, 30imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  =  ( X 
\  y )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p )  =  (/) ) )  <->  ( x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
3231ralbidva 2728 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ( X  \ 
y )  ->  ( A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  <->  A. x  e.  X  ( x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
3332rspcv 3057 . . . . . . 7  |-  ( ( X  \  y )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  (
c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  X  ( x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
3420, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  X  ( x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
35 ralcom3 2880 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  X  (
x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  <->  A. x  e.  y 
( x  e.  X  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )
36 toponss 17032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  y  C_  X )
3736sselda 3337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  /\  x  e.  y )  ->  x  e.  X )
38 simprr2 1007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  p )
395ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  X  =  U. J )
4039difeq1d 3453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( X  \  o )  =  ( U. J  \  o
) )
4114ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Top )
42 simprll 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  o  e.  J )
439opncld 17135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  Top  /\  o  e.  J )  ->  ( U. J  \ 
o )  e.  (
Clsd `  J )
)
4441, 42, 43syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( U. J  \  o )  e.  ( Clsd `  J
) )
4540, 44eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( X  \  o )  e.  (
Clsd `  J )
)
46 incom 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  i^i  o )  =  ( o  i^i  p
)
47 simprr3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( o  i^i  p )  =  (/) )
4846, 47syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( p  i^i  o )  =  (/) )
49 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
50 simprlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  p  e.  J )
51 toponss 17032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  p  e.  J )  ->  p  C_  X )
5249, 50, 51syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  p  C_  X
)
53 reldisj 3699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p 
C_  X  ->  (
( p  i^i  o
)  =  (/)  <->  p  C_  ( X  \  o ) ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( (
p  i^i  o )  =  (/)  <->  p  C_  ( X 
\  o ) ) )
5548, 54mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  p  C_  ( X  \  o ) )
569clsss2 17174 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  \  o
)  e.  ( Clsd `  J )  /\  p  C_  ( X  \  o
) )  ->  (
( cls `  J
) `  p )  C_  ( X  \  o
) )
5745, 55, 56syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  p )  C_  ( X  \  o ) )
58 simprr1 1006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( X  \  y )  C_  o
)
59 difcom 3740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  \  y ) 
C_  o  <->  ( X  \  o )  C_  y
)
6058, 59sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( X  \  o )  C_  y
)
6157, 60sstrd 3347 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  p )  C_  y
)
6238, 61jca 520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
( o  e.  J  /\  p  e.  J
)  /\  ( ( X  \  y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  ( x  e.  p  /\  (
( cls `  J
) `  p )  C_  y ) )
6362expr 600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  (
o  e.  J  /\  p  e.  J )
)  ->  ( (
( X  \  y
)  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6463anassrs 631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  y  e.  J )  /\  x  e.  y )  /\  o  e.  J )  /\  p  e.  J )  ->  (
( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6564reximdva 2825 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J
)  /\  x  e.  y )  /\  o  e.  J )  ->  ( E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  ->  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6665rexlimdva 2837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  /\  x  e.  y )  ->  ( E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) )  ->  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6737, 66embantd 53 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  /\  x  e.  y )  ->  (
( x  e.  X  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6867ralimdva 2791 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( A. x  e.  y 
( x  e.  X  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
6935, 68syl5bi 210 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( A. x  e.  X  ( x  e.  y  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( ( X  \ 
y )  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
7034, 69syld 43 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  y  e.  J )  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
7170ralrimdva 2803 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  (
c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) )  ->  A. y  e.  J  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  ( ( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
7271imp 420 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  (
c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  A. y  e.  J  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  (
( cls `  J
) `  p )  C_  y ) )
73 isreg 17434 . . 3  |-  ( J  e.  Reg  <->  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  J  A. x  e.  y  E. p  e.  J  ( x  e.  p  /\  (
( cls `  J
) `  p )  C_  y ) ) )
7415, 72, 73sylanbrc 647 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A. c  e.  ( Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  (
c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) )  ->  J  e.  Reg )
7513, 74impbida 807 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Reg  <->  A. c  e.  (
Clsd `  J ) A. x  e.  X  ( -.  x  e.  c  ->  E. o  e.  J  E. p  e.  J  ( c  C_  o  /\  x  e.  p  /\  ( o  i^i  p
)  =  (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1654    e. wcel 1728   A.wral 2712   E.wrex 2713    \ cdif 3306    i^i cin 3308    C_ wss 3309   (/)c0 3616   U.cuni 4044   ` cfv 5489   Topctop 16996  TopOnctopon 16997   Clsdccld 17118   clsccl 17120   Regcreg 17411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-iin 4125  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-id 4533  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-top 17001  df-topon 17004  df-cld 17121  df-cls 17123  df-reg 17418
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