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Theorem isrng 15361
Description: The predicate "is a (unital) ring." Definition of ring with unit in [Schechter] p. 187. (Contributed by NM, 18-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isrng.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
isrng.g  |-  G  =  (mulGrp `  R )
isrng.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
isrng.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
isrng  |-  ( R  e.  Ring  <->  ( R  e. 
Grp  /\  G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x 
.x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, B    x,  .+ , y, z    x, R, y, z    x,  .x. , y, z
Allowed substitution hints:    G( x, y, z)

Proof of Theorem isrng
Dummy variables  p  b  r  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (mulGrp `  r )  =  (mulGrp `  R ) )
2 isrng.g . . . . . 6  |-  G  =  (mulGrp `  R )
31, 2syl6eqr 2346 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  (mulGrp `  r )  =  G )
43eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  (
(mulGrp `  r )  e.  Mnd  <->  G  e.  Mnd ) )
5 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( Base `  r )  e.  _V
65a1i 10 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  e. 
_V )
7 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  =  ( Base `  R
) )
8 isrng.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
97, 8syl6eqr 2346 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  =  B )
10 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  r )  e.  _V
1110a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  ->  ( +g  `  r
)  e.  _V )
12 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  ->  r  =  R )
1312fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  ->  ( +g  `  r
)  =  ( +g  `  R ) )
14 isrng.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  R )
1513, 14syl6eqr 2346 . . . . . 6  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  ->  ( +g  `  r
)  =  .+  )
16 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  r )  e. 
_V
1716a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( .r `  r )  e. 
_V )
18 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  r  =  R )
1918fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( .r `  r )  =  ( .r `  R
) )
20 isrng.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  R )
2119, 20syl6eqr 2346 . . . . . . 7  |-  ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( .r `  r )  = 
.x.  )
22 simpllr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  b  =  B )
23 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  t  =  .x.  )
24 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  x  =  x )
25 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  p  =  .+  )
2625oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
y p z )  =  ( y  .+  z ) )
2723, 24, 26oveq123d 5895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
x t ( y p z ) )  =  ( x  .x.  ( y  .+  z
) ) )
2823oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
x t y )  =  ( x  .x.  y ) )
2923oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
x t z )  =  ( x  .x.  z ) )
3025, 28, 29oveq123d 5895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
( x t y ) p ( x t z ) )  =  ( ( x 
.x.  y )  .+  ( x  .x.  z ) ) )
3127, 30eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  <->  ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) ) ) )
3225oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
x p y )  =  ( x  .+  y ) )
33 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  z  =  z )
3423, 32, 33oveq123d 5895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
( x p y ) t z )  =  ( ( x 
.+  y )  .x.  z ) )
3523oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
y t z )  =  ( y  .x.  z ) )
3625, 29, 35oveq123d 5895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
( x t z ) p ( y t z ) )  =  ( ( x 
.x.  z )  .+  ( y  .x.  z
) ) )
3734, 36eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) )  <->  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) )
3831, 37anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  (
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  ( ( x 
.x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
3922, 38raleqbidv 2761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  ( A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
4022, 39raleqbidv 2761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  ( A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
4122, 40raleqbidv 2761 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  =  .+  )  /\  t  =  .x.  )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
4217, 21, 41sbcied2 3041 . . . . . 6  |-  ( ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  /\  p  = 
.+  )  ->  ( [. ( .r `  r
)  /  t ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
4311, 15, 42sbcied2 3041 . . . . 5  |-  ( ( r  =  R  /\  b  =  B )  ->  ( [. ( +g  `  r )  /  p ]. [. ( .r `  r )  /  t ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b 
A. z  e.  b  ( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
446, 9, 43sbcied2 3041 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  ( [. ( Base `  r
)  /  b ]. [. ( +g  `  r
)  /  p ]. [. ( .r `  r
)  /  t ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .x.  ( y  .+  z
) )  =  ( ( x  .x.  y
)  .+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
454, 44anbi12d 691 . . 3  |-  ( r  =  R  ->  (
( (mulGrp `  r
)  e.  Mnd  /\  [. ( Base `  r
)  /  b ]. [. ( +g  `  r
)  /  p ]. [. ( .r `  r
)  /  t ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) )  <->  ( G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) ) )
46 df-rng 15356 . . 3  |-  Ring  =  { r  e.  Grp  |  ( (mulGrp `  r
)  e.  Mnd  /\  [. ( Base `  r
)  /  b ]. [. ( +g  `  r
)  /  p ]. [. ( .r `  r
)  /  t ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  A. z  e.  b 
( ( x t ( y p z ) )  =  ( ( x t y ) p ( x t z ) )  /\  ( ( x p y ) t z )  =  ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) ) }
4745, 46elrab2 2938 . 2  |-  ( R  e.  Ring  <->  ( R  e. 
Grp  /\  ( G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) ) )
48 3anass 938 . 2  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) )  /\  ( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) )  <->  ( R  e. 
Grp  /\  ( G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) ) )
4947, 48bitr4i 243 1  |-  ( R  e.  Ring  <->  ( R  e. 
Grp  /\  G  e.  Mnd  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x 
.x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
)  /\  ( (
x  .+  y )  .x.  z )  =  ( ( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   [.wsbc 3004   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225   Mndcmnd 14377   Grpcgrp 14378  mulGrpcmgp 15341   Ringcrg 15353
This theorem is referenced by:  rnggrp  15362  rngmgp  15363  rngi  15369  rngpropd  15388  isrngd  15391  prdsrngd  15411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-nul 4165
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-iota 5235  df-fv 5279  df-ov 5877  df-rng 15356
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