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Theorem isrngo 21949
Description: The predicate "is a (unital) ring." Definition of ring with unit in [Schechter] p. 187. (Contributed by Jeffrey Hankins, 21-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
isring.1  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
isrngo  |-  ( H  e.  A  ->  ( <. G ,  H >.  e.  RingOps  <->  ( ( G  e.  AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, G    x, H, y, z    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem isrngo
Dummy variables  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 4200 . . . 4  |-  ( G
RingOps H  <->  <. G ,  H >.  e.  RingOps )
2 relrngo 21948 . . . . 5  |-  Rel  RingOps
32brrelexi 4904 . . . 4  |-  ( G
RingOps H  ->  G  e.  _V )
41, 3sylbir 205 . . 3  |-  ( <. G ,  H >.  e.  RingOps 
->  G  e.  _V )
54a1i 11 . 2  |-  ( H  e.  A  ->  ( <. G ,  H >.  e.  RingOps 
->  G  e.  _V ) )
6 elex 2951 . . . 4  |-  ( G  e.  AbelOp  ->  G  e.  _V )
76ad2antrr 707 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) )  ->  G  e.  _V )
87a1i 11 . 2  |-  ( H  e.  A  ->  (
( ( G  e. 
AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) )  ->  G  e.  _V ) )
9 df-rngo 21947 . . . . 5  |-  RingOps  =  { <. g ,  h >.  |  ( ( g  e. 
AbelOp  /\  h : ( ran  g  X.  ran  g ) --> ran  g
)  /\  ( A. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g A. z  e.  ran  g ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  /\  ( x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  /\  ( ( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) ) )  /\  E. x  e. 
ran  g A. y  e.  ran  g ( ( x h y )  =  y  /\  (
y h x )  =  y ) ) ) }
109eleq2i 2494 . . . 4  |-  ( <. G ,  H >.  e.  RingOps  <->  <. G ,  H >.  e. 
{ <. g ,  h >.  |  ( ( g  e.  AbelOp  /\  h :
( ran  g  X.  ran  g ) --> ran  g
)  /\  ( A. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g A. z  e.  ran  g ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  /\  ( x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  /\  ( ( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) ) )  /\  E. x  e. 
ran  g A. y  e.  ran  g ( ( x h y )  =  y  /\  (
y h x )  =  y ) ) ) } )
11 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  g  =  G )
1211eleq1d 2496 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( g  e.  AbelOp  <->  G  e.  AbelOp ) )
13 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  h  =  H )
1411rneqd 5083 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ran  g  =  ran  G )
15 isring.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ran  G
1614, 15syl6eqr 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ran  g  =  X )
1716, 16xpeq12d 4889 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ran  g  X. 
ran  g )  =  ( X  X.  X
) )
1813, 17, 16feq123d 5569 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( h : ( ran  g  X.  ran  g ) --> ran  g  <->  H : ( X  X.  X ) --> X ) )
1912, 18anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( g  e. 
AbelOp  /\  h : ( ran  g  X.  ran  g ) --> ran  g
)  <->  ( G  e. 
AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X ) ) )
2013oveqd 6084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( x h y )  =  ( x H y ) )
21 eqidd 2431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  z  =  z )
2213, 20, 21oveq123d 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( x h y ) h z )  =  ( ( x H y ) H z ) )
23 eqidd 2431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  x  =  x )
2413oveqd 6084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( y h z )  =  ( y H z ) )
2513, 23, 24oveq123d 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( x h ( y h z ) )  =  ( x H ( y H z ) ) )
2622, 25eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  <-> 
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) ) ) )
2711oveqd 6084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( y g z )  =  ( y G z ) )
2813, 23, 27oveq123d 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( x h ( y g z ) )  =  ( x H ( y G z ) ) )
2913oveqd 6084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( x h z )  =  ( x H z ) )
3011, 20, 29oveq123d 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) ) )
3128, 30eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  <-> 
( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) ) ) )
3211oveqd 6084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( x g y )  =  ( x G y ) )
3313, 32, 21oveq123d 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( x g y ) h z )  =  ( ( x G y ) H z ) )
3411, 29, 24oveq123d 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( x h z ) g ( y h z ) )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )
3533, 34eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( ( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) )  <-> 
( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) )
3626, 31, 353anbi123d 1254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  /\  ( x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  /\  ( ( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) ) )  <->  ( (
( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
3716, 36raleqbidv 2903 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( A. z  e. 
ran  g ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  /\  (
x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  /\  (
( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) ) )  <->  A. z  e.  X  ( (
( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
3816, 37raleqbidv 2903 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( A. y  e. 
ran  g A. z  e.  ran  g ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  /\  (
x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  /\  (
( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
3916, 38raleqbidv 2903 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( A. x  e. 
ran  g A. y  e.  ran  g A. z  e.  ran  g ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  /\  (
x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  /\  (
( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
4020eqeq1d 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( x h y )  =  y  <-> 
( x H y )  =  y ) )
4113oveqd 6084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( y h x )  =  ( y H x ) )
4241eqeq1d 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( y h x )  =  y  <-> 
( y H x )  =  y ) )
4340, 42anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( ( x h y )  =  y  /\  ( y h x )  =  y )  <->  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) )
4416, 43raleqbidv 2903 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( A. y  e. 
ran  g ( ( x h y )  =  y  /\  (
y h x )  =  y )  <->  A. y  e.  X  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) )
4516, 44rexeqbidv 2904 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( E. x  e. 
ran  g A. y  e.  ran  g ( ( x h y )  =  y  /\  (
y h x )  =  y )  <->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) )
4639, 45anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( A. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g A. z  e.  ran  g ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  /\  (
x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  /\  (
( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g ( ( x h y )  =  y  /\  ( y h x )  =  y ) )  <->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) ) )
4719, 46anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( ( g  e.  AbelOp  /\  h :
( ran  g  X.  ran  g ) --> ran  g
)  /\  ( A. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g A. z  e.  ran  g ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  /\  ( x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  /\  ( ( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) ) )  /\  E. x  e. 
ran  g A. y  e.  ran  g ( ( x h y )  =  y  /\  (
y h x )  =  y ) ) )  <->  ( ( G  e.  AbelOp  /\  H :
( X  X.  X
) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) ) ) )
4847opelopabga 4455 . . . 4  |-  ( ( G  e.  _V  /\  H  e.  A )  ->  ( <. G ,  H >.  e.  { <. g ,  h >.  |  (
( g  e.  AbelOp  /\  h : ( ran  g  X.  ran  g
) --> ran  g )  /\  ( A. x  e. 
ran  g A. y  e.  ran  g A. z  e.  ran  g ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  /\  (
x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  /\  (
( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g ( ( x h y )  =  y  /\  ( y h x )  =  y ) ) ) }  <->  ( ( G  e.  AbelOp  /\  H :
( X  X.  X
) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) ) ) )
4910, 48syl5bb 249 . . 3  |-  ( ( G  e.  _V  /\  H  e.  A )  ->  ( <. G ,  H >.  e.  RingOps 
<->  ( ( G  e. 
AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) ) ) )
5049expcom 425 . 2  |-  ( H  e.  A  ->  ( G  e.  _V  ->  (
<. G ,  H >.  e.  RingOps  <->  ( ( G  e.  AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) ) ) ) )
515, 8, 50pm5.21ndd 344 1  |-  ( H  e.  A  ->  ( <. G ,  H >.  e.  RingOps  <->  ( ( G  e.  AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2692   E.wrex 2693   _Vcvv 2943   <.cop 3804   class class class wbr 4199   {copab 4252    X. cxp 4862   ran crn 4865   -->wf 5436  (class class class)co 6067   AbelOpcablo 21852   RingOpscrngo 21946
This theorem is referenced by:  isrngod  21950  rngoi  21951  cnrngo  21974
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pr 4390
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-ral 2697  df-rex 2698  df-rab 2701  df-v 2945  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-nul 3616  df-if 3727  df-sn 3807  df-pr 3808  df-op 3810  df-uni 4003  df-br 4200  df-opab 4254  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-fv 5448  df-ov 6070  df-rngo 21947
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