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Theorem isrngo 21038
Description: The predicate "is a (unital) ring." Definition of ring with unit in [Schechter] p. 187. (Contributed by Jeffrey Hankins, 21-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
isring.1  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
isrngo  |-  ( H  e.  A  ->  ( <. G ,  H >.  e.  RingOps  <->  ( ( G  e.  AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, G    x, H, y, z    x, X, y, z
Dummy variables  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem isrngo
StepHypRef Expression
1 df-br 4026 . . . 4  |-  ( G
RingOps H  <->  <. G ,  H >.  e.  RingOps )
2 relrngo 21037 . . . . 5  |-  Rel  RingOps
32brrelexi 4729 . . . 4  |-  ( G
RingOps H  ->  G  e.  _V )
41, 3sylbir 206 . . 3  |-  ( <. G ,  H >.  e.  RingOps 
->  G  e.  _V )
54a1i 12 . 2  |-  ( H  e.  A  ->  ( <. G ,  H >.  e.  RingOps 
->  G  e.  _V ) )
6 elex 2798 . . . 4  |-  ( G  e.  AbelOp  ->  G  e.  _V )
76ad2antrr 708 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) )  ->  G  e.  _V )
87a1i 12 . 2  |-  ( H  e.  A  ->  (
( ( G  e. 
AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) )  ->  G  e.  _V ) )
9 df-rngo 21036 . . . . 5  |-  RingOps  =  { <. g ,  h >.  |  ( ( g  e. 
AbelOp  /\  h : ( ran  g  X.  ran  g ) --> ran  g
)  /\  ( A. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g A. z  e.  ran  g ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  /\  ( x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  /\  ( ( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) ) )  /\  E. x  e. 
ran  g A. y  e.  ran  g ( ( x h y )  =  y  /\  (
y h x )  =  y ) ) ) }
109eleq2i 2349 . . . 4  |-  ( <. G ,  H >.  e.  RingOps  <->  <. G ,  H >.  e. 
{ <. g ,  h >.  |  ( ( g  e.  AbelOp  /\  h :
( ran  g  X.  ran  g ) --> ran  g
)  /\  ( A. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g A. z  e.  ran  g ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  /\  ( x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  /\  ( ( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) ) )  /\  E. x  e. 
ran  g A. y  e.  ran  g ( ( x h y )  =  y  /\  (
y h x )  =  y ) ) ) } )
11 simpl 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  g  =  G )
1211eleq1d 2351 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( g  e.  AbelOp  <->  G  e.  AbelOp ) )
13 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  h  =  H )
1413feq1d 5345 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( h : ( ran  g  X.  ran  g ) --> ran  g  <->  H : ( ran  g  X.  ran  g ) --> ran  g ) )
1511rneqd 4906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ran  g  =  ran  G )
16 isring.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ran  G
1715, 16syl6eqr 2335 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ran  g  =  X )
1817, 17xpeq12d 4714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ran  g  X. 
ran  g )  =  ( X  X.  X
) )
1918, 17feq23d 5352 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( H : ( ran  g  X.  ran  g ) --> ran  g  <->  H : ( X  X.  X ) --> X ) )
2014, 19bitrd 246 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( h : ( ran  g  X.  ran  g ) --> ran  g  <->  H : ( X  X.  X ) --> X ) )
2112, 20anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( g  e. 
AbelOp  /\  h : ( ran  g  X.  ran  g ) --> ran  g
)  <->  ( G  e. 
AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X ) ) )
2213oveqd 5837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( x h y )  =  ( x H y ) )
23 eqidd 2286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  z  =  z )
2413, 22, 23oveq123d 5841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( x h y ) h z )  =  ( ( x H y ) H z ) )
25 eqidd 2286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  x  =  x )
2613oveqd 5837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( y h z )  =  ( y H z ) )
2713, 25, 26oveq123d 5841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( x h ( y h z ) )  =  ( x H ( y H z ) ) )
2824, 27eqeq12d 2299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  <-> 
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) ) ) )
2911oveqd 5837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( y g z )  =  ( y G z ) )
3013, 25, 29oveq123d 5841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( x h ( y g z ) )  =  ( x H ( y G z ) ) )
3113oveqd 5837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( x h z )  =  ( x H z ) )
3211, 22, 31oveq123d 5841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) ) )
3330, 32eqeq12d 2299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  <-> 
( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) ) ) )
3411oveqd 5837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( x g y )  =  ( x G y ) )
3513, 34, 23oveq123d 5841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( x g y ) h z )  =  ( ( x G y ) H z ) )
3611, 31, 26oveq123d 5841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( x h z ) g ( y h z ) )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )
3735, 36eqeq12d 2299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( ( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) )  <-> 
( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) )
3828, 33, 373anbi123d 1254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  /\  ( x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  /\  ( ( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) ) )  <->  ( (
( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
3917, 38raleqbidv 2750 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( A. z  e. 
ran  g ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  /\  (
x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  /\  (
( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) ) )  <->  A. z  e.  X  ( (
( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
4017, 39raleqbidv 2750 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( A. y  e. 
ran  g A. z  e.  ran  g ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  /\  (
x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  /\  (
( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
4117, 40raleqbidv 2750 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( A. x  e. 
ran  g A. y  e.  ran  g A. z  e.  ran  g ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  /\  (
x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  /\  (
( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  (
x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  (
( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
4222eqeq1d 2293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( x h y )  =  y  <-> 
( x H y )  =  y ) )
4313oveqd 5837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( y h x )  =  ( y H x ) )
4443eqeq1d 2293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( y h x )  =  y  <-> 
( y H x )  =  y ) )
4542, 44anbi12d 693 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( ( x h y )  =  y  /\  ( y h x )  =  y )  <->  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) )
4617, 45raleqbidv 2750 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( A. y  e. 
ran  g ( ( x h y )  =  y  /\  (
y h x )  =  y )  <->  A. y  e.  X  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) )
4717, 46rexeqbidv 2751 . . . . . . 7  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( E. x  e. 
ran  g A. y  e.  ran  g ( ( x h y )  =  y  /\  (
y h x )  =  y )  <->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) )
4841, 47anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( A. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g A. z  e.  ran  g ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  /\  (
x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  /\  (
( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g ( ( x h y )  =  y  /\  ( y h x )  =  y ) )  <->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) ) )
4921, 48anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ( ( g  e.  AbelOp  /\  h :
( ran  g  X.  ran  g ) --> ran  g
)  /\  ( A. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g A. z  e.  ran  g ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  /\  ( x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  /\  ( ( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) ) )  /\  E. x  e. 
ran  g A. y  e.  ran  g ( ( x h y )  =  y  /\  (
y h x )  =  y ) ) )  <->  ( ( G  e.  AbelOp  /\  H :
( X  X.  X
) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) ) ) )
5049opelopabga 4278 . . . 4  |-  ( ( G  e.  _V  /\  H  e.  A )  ->  ( <. G ,  H >.  e.  { <. g ,  h >.  |  (
( g  e.  AbelOp  /\  h : ( ran  g  X.  ran  g
) --> ran  g )  /\  ( A. x  e. 
ran  g A. y  e.  ran  g A. z  e.  ran  g ( ( ( x h y ) h z )  =  ( x h ( y h z ) )  /\  (
x h ( y g z ) )  =  ( ( x h y ) g ( x h z ) )  /\  (
( x g y ) h z )  =  ( ( x h z ) g ( y h z ) ) )  /\  E. x  e.  ran  g A. y  e.  ran  g ( ( x h y )  =  y  /\  ( y h x )  =  y ) ) ) }  <->  ( ( G  e.  AbelOp  /\  H :
( X  X.  X
) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) ) ) )
5110, 50syl5bb 250 . . 3  |-  ( ( G  e.  _V  /\  H  e.  A )  ->  ( <. G ,  H >.  e.  RingOps 
<->  ( ( G  e. 
AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x H y )  =  y  /\  (
y H x )  =  y ) ) ) ) )
5251expcom 426 . 2  |-  ( H  e.  A  ->  ( G  e.  _V  ->  (
<. G ,  H >.  e.  RingOps  <->  ( ( G  e.  AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) ) ) ) )
535, 8, 52pm5.21ndd 345 1  |-  ( H  e.  A  ->  ( <. G ,  H >.  e.  RingOps  <->  ( ( G  e.  AbelOp  /\  H : ( X  X.  X ) --> X )  /\  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( ( x H y ) H z )  =  ( x H ( y H z ) )  /\  ( x H ( y G z ) )  =  ( ( x H y ) G ( x H z ) )  /\  ( ( x G y ) H z )  =  ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x H y )  =  y  /\  ( y H x )  =  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2545   E.wrex 2546   _Vcvv 2790   <.cop 3645   class class class wbr 4025   {copab 4078    X. cxp 4687   ran crn 4690   -->wf 5218  (class class class)co 5820   AbelOpcablo 20941   RingOpscrngo 21035
This theorem is referenced by:  isrngod  21039  rngoi  21040  cnrngo  21063
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-fv 5230  df-ov 5823  df-rngo 21036
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