Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isspthonpth Structured version   Unicode version

Theorem isspthonpth 21584
 Description: Properties of a pair of functions to be a simple path between two given vertices(in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
isspthonpth SPathOn SPaths

Proof of Theorem isspthonpth
StepHypRef Expression
1 isspthon 21583 . 2 SPathOn WalkOn SPaths
2 iswlkon 21531 . . . 4 WalkOn Walks
32anbi1d 686 . . 3 WalkOn SPaths Walks SPaths
4 simpl 444 . . . . . 6 SPaths Walks SPaths
5 simpr2 964 . . . . . 6 SPaths Walks
6 simpr3 965 . . . . . 6 SPaths Walks
74, 5, 63jca 1134 . . . . 5 SPaths Walks SPaths
87ancoms 440 . . . 4 Walks SPaths SPaths
9 spthispth 21573 . . . . . . 7 SPaths Paths
10 pthistrl 21572 . . . . . . 7 Paths Trails
11 trliswlk 21539 . . . . . . 7 Trails Walks
129, 10, 113syl 19 . . . . . 6 SPaths Walks
13123anim1i 1140 . . . . 5 SPaths Walks
14 simp1 957 . . . . 5 SPaths SPaths
1513, 14jca 519 . . . 4 SPaths Walks SPaths
168, 15impbii 181 . . 3 Walks SPaths SPaths
173, 16syl6bb 253 . 2 WalkOn SPaths SPaths
181, 17bitrd 245 1 SPathOn SPaths
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   class class class wbr 4212  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc0 8990  chash 11618   Walks cwalk 21506   Trails ctrail 21507   Paths cpath 21508   SPaths cspath 21509   WalkOn cwlkon 21510   SPathOn cspthon 21513 This theorem is referenced by:  el2spthonot0  28338 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-hash 11619  df-word 11723  df-wlk 21516  df-trail 21517  df-pth 21518  df-spth 21519  df-wlkon 21522  df-spthon 21525
 Copyright terms: Public domain W3C validator