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Theorem issrc 25279
Description: Properties of a source. (Contributed by FL, 27-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issrc.1  |-  D  =  ( dom_ `  T
)
issrc.2  |-  M  =  dom  ( dom_ `  T
)
Assertion
Ref Expression
issrc  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  A )  ->  ( S  e.  ( T  Source  I )  <-> 
( S  e.  ( M  ^m  I )  /\  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( D `  ( S `  x ) )  =  ( D `
 ( S `  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, I    x, T, y    x, S, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    D( x, y)    M( x, y)

Proof of Theorem issrc
Dummy variables  i 
c  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . . . 4  |-  ( I  e.  A  ->  I  e.  _V )
2 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( dom  ( dom_ `  T
)  ^m  I )  e.  _V
3 rabexg 4164 . . . . 5  |-  ( ( dom  ( dom_ `  T
)  ^m  I )  e.  _V  ->  { s  e.  ( dom  ( dom_ `  T )  ^m  I
)  |  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( ( dom_ `  T ) `  ( s `  x
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) ) }  e.  _V )
4 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  T  ->  ( dom_ `  c )  =  ( dom_ `  T
) )
54adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  T  /\  i  =  I )  ->  ( dom_ `  c
)  =  ( dom_ `  T ) )
65dmeqd 4881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  T  /\  i  =  I )  ->  dom  ( dom_ `  c
)  =  dom  ( dom_ `  T ) )
7 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  T  /\  i  =  I )  ->  i  =  I )
86, 7oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  =  T  /\  i  =  I )  ->  ( dom  ( dom_ `  c )  ^m  i
)  =  ( dom  ( dom_ `  T
)  ^m  I )
)
95fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =  T  /\  i  =  I )  ->  ( ( dom_ `  c
) `  ( s `  x ) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  x ) ) )
105fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  =  T  /\  i  =  I )  ->  ( ( dom_ `  c
) `  ( s `  y ) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) ) )
119, 10eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  =  T  /\  i  =  I )  ->  ( ( ( dom_ `  c ) `  (
s `  x )
)  =  ( (
dom_ `  c ) `  ( s `  y
) )  <->  ( ( dom_ `  T ) `  ( s `  x
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) ) ) )
127, 11raleqbidv 2748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  =  T  /\  i  =  I )  ->  ( A. y  e.  i  ( ( dom_ `  c ) `  (
s `  x )
)  =  ( (
dom_ `  c ) `  ( s `  y
) )  <->  A. y  e.  I  ( ( dom_ `  T ) `  ( s `  x
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) ) ) )
137, 12raleqbidv 2748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  =  T  /\  i  =  I )  ->  ( A. x  e.  i  A. y  e.  i  ( ( dom_ `  c ) `  (
s `  x )
)  =  ( (
dom_ `  c ) `  ( s `  y
) )  <->  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( ( dom_ `  T ) `  ( s `  x
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) ) ) )
148, 13rabeqbidv 2783 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  =  T  /\  i  =  I )  ->  { s  e.  ( dom  ( dom_ `  c
)  ^m  i )  |  A. x  e.  i 
A. y  e.  i  ( ( dom_ `  c
) `  ( s `  x ) )  =  ( ( dom_ `  c
) `  ( s `  y ) ) }  =  { s  e.  ( dom  ( dom_ `  T )  ^m  I
)  |  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( ( dom_ `  T ) `  ( s `  x
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) ) } )
15 df-source 25278 . . . . . . . 8  |-  Source  =  ( c  e.  Cat OLD  ,  i  e.  _V  |->  { s  e.  ( dom  ( dom_ `  c
)  ^m  i )  |  A. x  e.  i 
A. y  e.  i  ( ( dom_ `  c
) `  ( s `  x ) )  =  ( ( dom_ `  c
) `  ( s `  y ) ) } )
1614, 15ovmpt2ga 5977 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  _V  /\  { s  e.  ( dom  ( dom_ `  T
)  ^m  I )  |  A. x  e.  I  A. y  e.  I 
( ( dom_ `  T
) `  ( s `  x ) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) ) }  e.  _V )  -> 
( T  Source  I )  =  { s  e.  ( dom  ( dom_ `  T )  ^m  I
)  |  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( ( dom_ `  T ) `  ( s `  x
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) ) } )
17163expia 1153 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  _V )  ->  ( { s  e.  ( dom  ( dom_ `  T )  ^m  I
)  |  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( ( dom_ `  T ) `  ( s `  x
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) ) }  e.  _V  ->  ( T  Source  I )  =  { s  e.  ( dom  ( dom_ `  T
)  ^m  I )  |  A. x  e.  I  A. y  e.  I 
( ( dom_ `  T
) `  ( s `  x ) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) ) } ) )
1817com12 27 . . . . 5  |-  ( { s  e.  ( dom  ( dom_ `  T
)  ^m  I )  |  A. x  e.  I  A. y  e.  I 
( ( dom_ `  T
) `  ( s `  x ) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) ) }  e.  _V  ->  (
( T  e.  Cat OLD 
/\  I  e.  _V )  ->  ( T  Source  I )  =  { s  e.  ( dom  ( dom_ `  T )  ^m  I )  |  A. x  e.  I  A. y  e.  I  (
( dom_ `  T ) `  ( s `  x
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) ) } ) )
192, 3, 18mp2b 9 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  _V )  ->  ( T  Source  I )  =  { s  e.  ( dom  ( dom_ `  T )  ^m  I
)  |  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( ( dom_ `  T ) `  ( s `  x
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) ) } )
201, 19sylan2 460 . . 3  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  A )  ->  ( T  Source  I )  =  { s  e.  ( dom  ( dom_ `  T )  ^m  I )  |  A. x  e.  I  A. y  e.  I  (
( dom_ `  T ) `  ( s `  x
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) ) } )
2120eleq2d 2350 . 2  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  A )  ->  ( S  e.  ( T  Source  I )  <-> 
S  e.  { s  e.  ( dom  ( dom_ `  T )  ^m  I )  |  A. x  e.  I  A. y  e.  I  (
( dom_ `  T ) `  ( s `  x
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) ) } ) )
22 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
s `  x )  =  ( S `  x ) )
2322fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( dom_ `  T ) `  ( s `  x
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( S `  x ) ) )
24 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
s `  y )  =  ( S `  y ) )
2524fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( dom_ `  T ) `  ( s `  y
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( S `  y ) ) )
2623, 25eqeq12d 2297 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( dom_ `  T
) `  ( s `  x ) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) )  <->  ( ( dom_ `  T ) `  ( S `  x ) )  =  ( (
dom_ `  T ) `  ( S `  y
) ) ) )
27262ralbidv 2585 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  I  A. y  e.  I 
( ( dom_ `  T
) `  ( s `  x ) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) )  <->  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( ( dom_ `  T ) `  ( S `  x ) )  =  ( (
dom_ `  T ) `  ( S `  y
) ) ) )
2827elrab 2923 . . 3  |-  ( S  e.  { s  e.  ( dom  ( dom_ `  T )  ^m  I
)  |  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( ( dom_ `  T ) `  ( s `  x
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) ) }  <-> 
( S  e.  ( dom  ( dom_ `  T
)  ^m  I )  /\  A. x  e.  I  A. y  e.  I 
( ( dom_ `  T
) `  ( S `  x ) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( S `  y ) ) ) )
29 issrc.2 . . . . . . . 8  |-  M  =  dom  ( dom_ `  T
)
3029eqcomi 2287 . . . . . . 7  |-  dom  ( dom_ `  T )  =  M
3130a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  A )  ->  dom  ( dom_ `  T )  =  M )
3231oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  A )  ->  ( dom  ( dom_ `  T )  ^m  I )  =  ( M  ^m  I ) )
3332eleq2d 2350 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  A )  ->  ( S  e.  ( dom  ( dom_ `  T )  ^m  I
)  <->  S  e.  ( M  ^m  I ) ) )
34 issrc.1 . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( dom_ `  T
)
3534eqcomi 2287 . . . . . . . 8  |-  ( dom_ `  T )  =  D
3635fveq1i 5526 . . . . . . 7  |-  ( (
dom_ `  T ) `  ( S `  x
) )  =  ( D `  ( S `
 x ) )
3735fveq1i 5526 . . . . . . 7  |-  ( (
dom_ `  T ) `  ( S `  y
) )  =  ( D `  ( S `
 y ) )
3836, 37eqeq12i 2296 . . . . . 6  |-  ( ( ( dom_ `  T
) `  ( S `  x ) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( S `  y ) )  <->  ( D `  ( S `  x
) )  =  ( D `  ( S `
 y ) ) )
39382ralbii 2569 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  I  A. y  e.  I  (
( dom_ `  T ) `  ( S `  x
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( S `  y ) )  <->  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( D `  ( S `  x
) )  =  ( D `  ( S `
 y ) ) )
4039a1i 10 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  A )  ->  ( A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( ( dom_ `  T ) `  ( S `  x ) )  =  ( (
dom_ `  T ) `  ( S `  y
) )  <->  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( D `  ( S `  x
) )  =  ( D `  ( S `
 y ) ) ) )
4133, 40anbi12d 691 . . 3  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  A )  ->  ( ( S  e.  ( dom  ( dom_ `  T )  ^m  I )  /\  A. x  e.  I  A. y  e.  I  (
( dom_ `  T ) `  ( S `  x
) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( S `  y ) ) )  <-> 
( S  e.  ( M  ^m  I )  /\  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( D `  ( S `  x ) )  =  ( D `
 ( S `  y ) ) ) ) )
4228, 41syl5bb 248 . 2  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  A )  ->  ( S  e. 
{ s  e.  ( dom  ( dom_ `  T
)  ^m  I )  |  A. x  e.  I  A. y  e.  I 
( ( dom_ `  T
) `  ( s `  x ) )  =  ( ( dom_ `  T
) `  ( s `  y ) ) }  <-> 
( S  e.  ( M  ^m  I )  /\  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( D `  ( S `  x ) )  =  ( D `
 ( S `  y ) ) ) ) )
4321, 42bitrd 244 1  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  I  e.  A )  ->  ( S  e.  ( T  Source  I )  <-> 
( S  e.  ( M  ^m  I )  /\  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( D `  ( S `  x ) )  =  ( D `
 ( S `  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   dom_cdom_ 25124    Cat
OLD ccatOLD 25164    Source csrce 25277
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-source 25278
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