Theorem isssp 8369

Description: The predicate "is a subspace."

Hypotheses

Ref	Expression
isssp.g	|- G = (+v` U)
isssp.f	|- F = (+v` W)
isssp.s	|- S = (.s` U)
isssp.r	|- R = (.s` W)
isssp.n	|- N = (norm` U)
isssp.m	|- M = (norm` W)
isssp.h	|- H = (SubSp` U)

Assertion

Ref	Expression
isssp	|- (U e. NrmCVec -> (W e. H <-> (W e. NrmCVec /\ (F (_ G /\ R (_ S /\ M (_ N))))

Proof of Theorem isssp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isssp.g	. . . 4 |- G = (+v` U)
2		isssp.s	. . . 4 |- S = (.s` U)
3		isssp.n	. . . 4 |- N = (norm` U)
4		isssp.h	. . . 4 |- H = (SubSp` U)
5	1, 2, 3, 4	sspval 8368	. . 3 |- (U e. NrmCVec -> H = {w e. NrmCVec | ((+v` w) (_ G /\ (.s` w) (_ S /\ (norm` w) (_ N)})
6	5	eleq2d 1540	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (W e. H <-> W e. {w e. NrmCVec | ((+v` w) (_ G /\ (.s` w) (_ S /\ (norm` w) (_ N)}))
7		fveq2 3721	. . . . . 6 |- (w = W -> (+v` w) = (+v` W))
8		isssp.f	. . . . . 6 |- F = (+v` W)
9	7, 8	syl6eqr 1524	. . . . 5 |- (w = W -> (+v` w) = F)
10	9	sseq1d 2086	. . . 4 |- (w = W -> ((+v` w) (_ G <-> F (_ G))
11		fveq2 3721	. . . . . 6 |- (w = W -> (.s` w) = (.s` W))
12		isssp.r	. . . . . 6 |- R = (.s` W)
13	11, 12	syl6eqr 1524	. . . . 5 |- (w = W -> (.s` w) = R)
14	13	sseq1d 2086	. . . 4 |- (w = W -> ((.s` w) (_ S <-> R (_ S))
15		fveq2 3721	. . . . . 6 |- (w = W -> (norm` w) = (norm` W))
16		isssp.m	. . . . . 6 |- M = (norm` W)
17	15, 16	syl6eqr 1524	. . . . 5 |- (w = W -> (norm` w) = M)
18	17	sseq1d 2086	. . . 4 |- (w = W -> ((norm` w) (_ N <-> M (_ N))
19	10, 14, 18	3anbi123d 892	. . 3 |- (w = W -> (((+v` w) (_ G /\ (.s` w) (_ S /\ (norm` w) (_ N) <-> (F (_ G /\ R (_ S /\ M (_ N)))
20	19	elrab 1903	. 2 |- (W e. {w e. NrmCVec | ((+v` w) (_ G /\ (.s` w) (_ S /\ (norm` w) (_ N)} <-> (W e. NrmCVec /\ (F (_ G /\ R (_ S /\ M (_ N)))
21	6, 20	syl6bb 535	1 |- (U e. NrmCVec -> (W e. H <-> (W e. NrmCVec /\ (F (_ G /\ R (_ S /\ M (_ N))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957  {crab 1647   (_ wss 2045  ` cfv 3179  NrmCVeccnv 8188  +vcpv 8189  .scns 8191  normcnm 8194  SubSpcss 8366

This theorem is referenced by:  sspid 8370  sspnv 8371  sspba 8372  sspg 8373  ssps 8375  sspn 8381  hhsst 9124  hhsssh2 9128

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-rab 1651  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fo 3193  df-fv 3195  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-nv 8196  df-va 8199  df-sm 8201  df-nm 8204  df-ssp 8367

Copyright terms: Public domain