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Theorem issubmnd 14725
Description: Characterize a submonoid by closure properties. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubmnd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
issubmnd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
issubmnd.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
issubmnd.h  |-  H  =  ( Gs  S )
Assertion
Ref Expression
issubmnd  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  ->  ( H  e.  Mnd  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, G, y    x, H, y    x,  .+ , y    x, S, y    x,  .0. , y

Proof of Theorem issubmnd
Dummy variables  v  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 733 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  H  e.  Mnd )
2 simprl 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  x  e.  S )
3 simpll2 998 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  S  C_  B )
4 issubmnd.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( Gs  S )
5 issubmnd.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
64, 5ressbas2 13521 . . . . . . 7  |-  ( S 
C_  B  ->  S  =  ( Base `  H
) )
73, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  S  =  ( Base `  H ) )
82, 7eleqtrd 2513 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  x  e.  ( Base `  H ) )
9 simprr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  e.  S )
109, 7eleqtrd 2513 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  e.  ( Base `  H ) )
11 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
12 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
1311, 12mndcl 14696 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  Mnd  /\  x  e.  ( Base `  H )  /\  y  e.  ( Base `  H
) )  ->  (
x ( +g  `  H
) y )  e.  ( Base `  H
) )
141, 8, 10, 13syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x ( +g  `  H ) y )  e.  ( Base `  H
) )
15 fvex 5743 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  G )  e.  _V
165, 15eqeltri 2507 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
1716ssex 4348 . . . . . . . 8  |-  ( S 
C_  B  ->  S  e.  _V )
18173ad2ant2 980 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  ->  S  e.  _V )
19 issubmnd.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
204, 19ressplusg 13572 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  _V  ->  .+  =  ( +g  `  H ) )
2118, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  ->  .+  =  ( +g  `  H ) )
2221ad2antrr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  ->  .+  =  ( +g  `  H ) )
2322oveqd 6099 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( x ( +g  `  H
) y ) )
2414, 23, 73eltr4d 2518 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
2524ralrimivva 2799 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  H  e.  Mnd )  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S )
26 simpl2 962 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  S  C_  B )
2726, 6syl 16 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  S  =  ( Base `  H
) )
2821adantr 453 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  .+  =  ( +g  `  H ) )
29 proplem2 13915 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  S  /\  v  e.  S
)  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  ->  ( u  .+  v )  e.  S
)
3029ancoms 441 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  (
u  e.  S  /\  v  e.  S )
)  ->  ( u  .+  v )  e.  S
)
31303impb 1150 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S )  ->  (
u  .+  v )  e.  S )
32313adant1l 1177 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  u  e.  S  /\  v  e.  S
)  ->  ( u  .+  v )  e.  S
)
3326sseld 3348 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  (
u  e.  S  ->  u  e.  B )
)
3426sseld 3348 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  (
v  e.  S  -> 
v  e.  B ) )
3526sseld 3348 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  (
w  e.  S  ->  w  e.  B )
)
3633, 34, 353anim123d 1262 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  (
( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  w  e.  S
)  ->  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) ) )
3736imp 420 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  w  e.  S ) )  -> 
( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B
) )
38 simpl1 961 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  G  e.  Mnd )
395, 19mndass 14697 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( u  .+  v
)  .+  w )  =  ( u  .+  ( v  .+  w
) ) )
4038, 39sylan 459 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u  .+  v )  .+  w
)  =  ( u 
.+  ( v  .+  w ) ) )
4137, 40syldan 458 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  ( u  e.  S  /\  v  e.  S  /\  w  e.  S ) )  -> 
( ( u  .+  v )  .+  w
)  =  ( u 
.+  ( v  .+  w ) ) )
42 simpl3 963 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  .0.  e.  S )
4326sselda 3349 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  u  e.  S )  ->  u  e.  B )
44 issubmnd.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
455, 19, 44mndlid 14717 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  u  e.  B )  ->  (  .0.  .+  u
)  =  u )
4638, 45sylan 459 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  u  e.  B )  ->  (  .0.  .+  u )  =  u )
4743, 46syldan 458 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  u  e.  S )  ->  (  .0.  .+  u )  =  u )
485, 19, 44mndrid 14718 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  u  e.  B )  ->  ( u  .+  .0.  )  =  u )
4938, 48sylan 459 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  u  e.  B )  ->  (
u  .+  .0.  )  =  u )
5043, 49syldan 458 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
)  /\  u  e.  S )  ->  (
u  .+  .0.  )  =  u )
5127, 28, 32, 41, 42, 47, 50ismndd 14720 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  .+  y )  e.  S )  ->  H  e.  Mnd )
5225, 51impbida 807 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  S  C_  B  /\  .0.  e.  S )  ->  ( H  e.  Mnd  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  .+  y )  e.  S
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   _Vcvv 2957    C_ wss 3321   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Basecbs 13470   ↾s cress 13471   +g cplusg 13530   0gc0g 13724   Mndcmnd 14685
This theorem is referenced by:  issubm2  14750
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-0g 13728  df-mnd 14691
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