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Theorem istendo 30216
Description: The predicate "is a trace-preserving endomorphism". Similar to definition of trace-preserving endomorphism in [Crawley] p. 117, penultimate line. (Contributed by NM, 8-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoset.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
tendoset.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendoset.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendoset.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
tendoset.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
istendo  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( S  e.  E  <->  ( S : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( S `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( S `  f )  o.  ( S `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( S `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, K    T, f, g    f, W, g    S, f, g
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
Allowed substitution hints:    R( f, g)    E( f, g)    H( f, g)    .<_ ( f, g)    V( f, g)

Proof of Theorem istendo
StepHypRef Expression
1 tendoset.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 tendoset.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 tendoset.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 tendoset.r . . . 4  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
5 tendoset.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
61, 2, 3, 4, 5tendoset 30215 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  E  =  { s  |  ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) } )
76eleq2d 2351 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( S  e.  E  <->  S  e.  { s  |  ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( s `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( s `  f
)  o.  ( s `
 g ) )  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) } ) )
8 fvex 5499 . . . . . 6  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  e.  _V
93, 8eqeltri 2354 . . . . 5  |-  T  e. 
_V
10 fex 5710 . . . . 5  |-  ( ( S : T --> T  /\  T  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
119, 10mpan2 654 . . . 4  |-  ( S : T --> T  ->  S  e.  _V )
12113ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( S : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( S `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( S `  f )  o.  ( S `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( S `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) )  ->  S  e.  _V )
13 feq1 5340 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  (
s : T --> T  <->  S : T
--> T ) )
14 fveq1 5484 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( S `  (
f  o.  g ) ) )
15 fveq1 5484 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
s `  f )  =  ( S `  f ) )
16 fveq1 5484 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
s `  g )  =  ( S `  g ) )
1715, 16coeq12d 4847 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( s `  f
)  o.  ( s `
 g ) )  =  ( ( S `
 f )  o.  ( S `  g
) ) )
1814, 17eqeq12d 2298 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  <->  ( S `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( S `  f
)  o.  ( S `
 g ) ) ) )
19182ralbidv 2586 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  <->  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( S `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( S `  f
)  o.  ( S `
 g ) ) ) )
2015fveq2d 5489 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( R `  ( s `  f ) )  =  ( R `  ( S `  f )
) )
2120breq1d 4034 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f )  <->  ( R `  ( S `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) )
2221ralbidv 2564 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( A. f  e.  T  ( R `  ( s `
 f ) ) 
.<_  ( R `  f
)  <->  A. f  e.  T  ( R `  ( S `
 f ) ) 
.<_  ( R `  f
) ) )
2313, 19, 223anbi123d 1254 . . 3  |-  ( s  =  S  ->  (
( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( s `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( s `  f
)  o.  ( s `
 g ) )  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) )  <-> 
( S : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( S `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( S `  f
)  o.  ( S `
 g ) )  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( S `  f ) )  .<_  ( R `  f ) ) ) )
2412, 23elab3 2922 . 2  |-  ( S  e.  { s  |  ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( s `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( s `  f
)  o.  ( s `
 g ) )  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) }  <->  ( S : T
--> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( S `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( S `  f
)  o.  ( S `
 g ) )  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( S `  f ) )  .<_  ( R `  f ) ) )
257, 24syl6bb 254 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( S  e.  E  <->  ( S : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( S `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( S `  f )  o.  ( S `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( S `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685   {cab 2270   A.wral 2544   _Vcvv 2789   class class class wbr 4024    o. ccom 4692   -->wf 5217   ` cfv 5221   lecple 13209   LHypclh 29440   LTrncltrn 29557   trLctrl 29614   TEndoctendo 30208
This theorem is referenced by:  tendotp  30217  istendod  30218  tendof  30219  tendovalco  30221
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-map 6769  df-tendo 30211
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