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Theorem istendo 30949
Description: The predicate "is a trace-preserving endomorphism". Similar to definition of trace-preserving endomorphism in [Crawley] p. 117, penultimate line. (Contributed by NM, 8-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoset.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
tendoset.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tendoset.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tendoset.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
tendoset.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
istendo  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( S  e.  E  <->  ( S : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( S `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( S `  f )  o.  ( S `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( S `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, K    T, f, g    f, W, g    S, f, g
Allowed substitution hints:    R( f, g)    E( f, g)    H( f, g)    .<_ ( f, g)    V( f, g)

Proof of Theorem istendo
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tendoset.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 tendoset.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 tendoset.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
4 tendoset.r . . . 4  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
5 tendoset.e . . . 4  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
61, 2, 3, 4, 5tendoset 30948 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  E  =  { s  |  ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  (
s `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) } )
76eleq2d 2350 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( S  e.  E  <->  S  e.  { s  |  ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( s `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( s `  f
)  o.  ( s `
 g ) )  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) } ) )
8 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  e.  _V
93, 8eqeltri 2353 . . . . 5  |-  T  e. 
_V
10 fex 5749 . . . . 5  |-  ( ( S : T --> T  /\  T  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
119, 10mpan2 652 . . . 4  |-  ( S : T --> T  ->  S  e.  _V )
12113ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( S : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( S `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( S `  f )  o.  ( S `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( S `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) )  ->  S  e.  _V )
13 feq1 5375 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  (
s : T --> T  <->  S : T
--> T ) )
14 fveq1 5524 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
s `  ( f  o.  g ) )  =  ( S `  (
f  o.  g ) ) )
15 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
s `  f )  =  ( S `  f ) )
16 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
s `  g )  =  ( S `  g ) )
1715, 16coeq12d 4848 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( s `  f
)  o.  ( s `
 g ) )  =  ( ( S `
 f )  o.  ( S `  g
) ) )
1814, 17eqeq12d 2297 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  <->  ( S `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( S `  f
)  o.  ( S `
 g ) ) ) )
19182ralbidv 2585 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( s `  (
f  o.  g ) )  =  ( ( s `  f )  o.  ( s `  g ) )  <->  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( S `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( S `  f
)  o.  ( S `
 g ) ) ) )
2015fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( R `  ( s `  f ) )  =  ( R `  ( S `  f )
) )
2120breq1d 4033 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( R `  (
s `  f )
)  .<_  ( R `  f )  <->  ( R `  ( S `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) )
2221ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( A. f  e.  T  ( R `  ( s `
 f ) ) 
.<_  ( R `  f
)  <->  A. f  e.  T  ( R `  ( S `
 f ) ) 
.<_  ( R `  f
) ) )
2313, 19, 223anbi123d 1252 . . 3  |-  ( s  =  S  ->  (
( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( s `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( s `  f
)  o.  ( s `
 g ) )  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) )  <-> 
( S : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( S `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( S `  f
)  o.  ( S `
 g ) )  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( S `  f ) )  .<_  ( R `  f ) ) ) )
2412, 23elab3 2921 . 2  |-  ( S  e.  { s  |  ( s : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( s `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( s `  f
)  o.  ( s `
 g ) )  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( s `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) }  <->  ( S : T
--> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( S `  ( f  o.  g
) )  =  ( ( S `  f
)  o.  ( S `
 g ) )  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( S `  f ) )  .<_  ( R `  f ) ) )
257, 24syl6bb 252 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( S  e.  E  <->  ( S : T --> T  /\  A. f  e.  T  A. g  e.  T  ( S `  ( f  o.  g ) )  =  ( ( S `  f )  o.  ( S `  g )
)  /\  A. f  e.  T  ( R `  ( S `  f
) )  .<_  ( R `
 f ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255   lecple 13215   LHypclh 30173   LTrncltrn 30290   trLctrl 30347   TEndoctendo 30941
This theorem is referenced by:  tendotp  30950  istendod  30951  tendof  30952  tendovalco  30954
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-tendo 30944
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