MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  istopon Structured version   Unicode version

Theorem istopon 16982
Description: Property of being a topology with a given base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
istopon  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  B  =  U. J ) )

Proof of Theorem istopon
Dummy variables  b 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5750 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  B  e.  _V )
2 uniexg 4698 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
3 eleq1 2495 . . . 4  |-  ( B  =  U. J  -> 
( B  e.  _V  <->  U. J  e.  _V )
)
42, 3syl5ibrcom 214 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( B  =  U. J  ->  B  e.  _V )
)
54imp 419 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  =  U. J )  ->  B  e.  _V )
6 eqeq1 2441 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  (
b  =  U. j  <->  B  =  U. j ) )
76rabbidv 2940 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  { j  e.  Top  |  b  =  U. j }  =  { j  e. 
Top  |  B  =  U. j } )
8 df-topon 16958 . . . . 5  |- TopOn  =  ( b  e.  _V  |->  { j  e.  Top  | 
b  =  U. j } )
9 vex 2951 . . . . . . . 8  |-  b  e. 
_V
109pwex 4374 . . . . . . 7  |-  ~P b  e.  _V
1110pwex 4374 . . . . . 6  |-  ~P ~P b  e.  _V
12 rabss 3412 . . . . . . 7  |-  ( { j  e.  Top  | 
b  =  U. j }  C_  ~P ~P b  <->  A. j  e.  Top  (
b  =  U. j  ->  j  e.  ~P ~P b ) )
13 pwuni 4387 . . . . . . . . . 10  |-  j  C_  ~P U. j
14 pweq 3794 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  U. j  ->  ~P b  =  ~P U. j )
1513, 14syl5sseqr 3389 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  U. j  -> 
j  C_  ~P b
)
16 vex 2951 . . . . . . . . . 10  |-  j  e. 
_V
1716elpw 3797 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ~P ~P b  <->  j 
C_  ~P b )
1815, 17sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  U. j  -> 
j  e.  ~P ~P b )
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  Top  ->  (
b  =  U. j  ->  j  e.  ~P ~P b ) )
2012, 19mprgbir 2768 . . . . . 6  |-  { j  e.  Top  |  b  =  U. j } 
C_  ~P ~P b
2111, 20ssexi 4340 . . . . 5  |-  { j  e.  Top  |  b  =  U. j }  e.  _V
227, 8, 21fvmpt3i 5801 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  (TopOn `  B )  =  {
j  e.  Top  |  B  =  U. j } )
2322eleq2d 2502 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( J  e.  (TopOn `  B
)  <->  J  e.  { j  e.  Top  |  B  =  U. j } ) )
24 unieq 4016 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  U. j  =  U. J )
2524eqeq2d 2446 . . . 4  |-  ( j  =  J  ->  ( B  =  U. j  <->  B  =  U. J ) )
2625elrab 3084 . . 3  |-  ( J  e.  { j  e. 
Top  |  B  =  U. j }  <->  ( J  e.  Top  /\  B  = 
U. J ) )
2723, 26syl6bb 253 . 2  |-  ( B  e.  _V  ->  ( J  e.  (TopOn `  B
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  B  =  U. J ) ) )
281, 5, 27pm5.21nii 343 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  B  =  U. J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007   ` cfv 5446   Topctop 16950  TopOnctopon 16951
This theorem is referenced by:  topontop  16983  toponuni  16984  toponcom  16987  toptopon  16990  istps2  16994  tgtopon  17028  distopon  17053  indistopon  17057  fctop  17060  cctop  17062  ppttop  17063  epttop  17065  mretopd  17148  toponmre  17149  resttopon  17217  resttopon2  17224  kgentopon  17562  txtopon  17615  pttopon  17620  xkotopon  17624  qtoptopon  17728  flimtopon  17994  fclstopon  18036  fclsfnflim  18051  utoptopon  18258  onsuctopon  26176  neibastop1  26379  rfcnpre1  27657  cnfex  27666  stoweidlem47  27763
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-topon 16958
  Copyright terms: Public domain W3C validator