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Theorem istos 14419
Description: The predicate "is a toset." (Contributed by FL, 17-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
istos.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
istos.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
istos  |-  ( K  e. Toset 
<->  ( K  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x,  .<_ , y
Allowed substitution hints:    K( x, y)

Proof of Theorem istos
Dummy variables  f 
b  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( f  =  K  ->  ( le `  f )  =  ( le `  K
) )
2 dfsbcq 3123 . . . . . 6  |-  ( ( le `  f )  =  ( le `  K )  ->  ( [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  [. ( le `  K )  /  r ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x ) ) )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  [. ( le `  K )  /  r ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x ) ) )
43sbcbidv 3175 . . . 4  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  [. ( Base `  f
)  /  b ]. [. ( le `  K
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x ) ) )
5 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( f  =  K  ->  ( Base `  f )  =  ( Base `  K
) )
6 dfsbcq 3123 . . . . 5  |-  ( (
Base `  f )  =  ( Base `  K
)  ->  ( [. ( Base `  f )  /  b ]. [. ( le `  K )  / 
r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x )  <->  [. ( Base `  K )  /  b ]. [. ( le `  K )  /  r ]. A. x  e.  b 
A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x ) ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  b ]. [. ( le `  K
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  [. ( Base `  K
)  /  b ]. [. ( le `  K
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x ) ) )
84, 7bitrd 245 . . 3  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  [. ( Base `  K
)  /  b ]. [. ( le `  K
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x ) ) )
9 fvex 5701 . . . 4  |-  ( Base `  K )  e.  _V
10 fvex 5701 . . . 4  |-  ( le
`  K )  e. 
_V
11 istos.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
12 eqtr 2421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  =  ( Base `  K )  /\  ( Base `  K )  =  B )  ->  b  =  B )
13 istos.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
14 eqtr 2421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  =  ( le
`  K )  /\  ( le `  K )  =  .<_  )  ->  r  =  .<_  )
15 breq 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  .<_  ->  ( x r y  <->  x  .<_  y ) )
16 breq 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  .<_  ->  ( y r x  <->  y  .<_  x ) )
1715, 16orbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  .<_  ->  ( ( x r y  \/  y r x )  <-> 
( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) )
18172ralbidv 2708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  .<_  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  (
x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) )
19 raleq 2864 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  B  ->  ( A. y  e.  b 
( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )  <->  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) ) )
2019raleqbi1dv 2872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) ) )
2118, 20sylan9bb 681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  =  .<_  /\  b  =  B )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) )
2221ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  .<_  ->  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) ) )
2314, 22syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  =  ( le
`  K )  /\  ( le `  K )  =  .<_  )  ->  ( b  =  B  -> 
( A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) ) ) )
2423expcom 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( le `  K )  =  .<_  ->  ( r  =  ( le `  K )  ->  (
b  =  B  -> 
( A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) ) ) ) )
2524eqcoms 2407 . . . . . . . . . 10  |-  (  .<_  =  ( le `  K )  ->  (
r  =  ( le
`  K )  -> 
( b  =  B  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( x
r y  \/  y
r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) ) ) ) )
2613, 25ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( le `  K )  ->  (
b  =  B  -> 
( A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) ) ) )
2712, 26syl5com 28 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  =  ( Base `  K )  /\  ( Base `  K )  =  B )  ->  (
r  =  ( le
`  K )  -> 
( A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) ) ) )
2827expcom 425 . . . . . . 7  |-  ( (
Base `  K )  =  B  ->  ( b  =  ( Base `  K
)  ->  ( r  =  ( le `  K )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) ) ) )
2928eqcoms 2407 . . . . . 6  |-  ( B  =  ( Base `  K
)  ->  ( b  =  ( Base `  K
)  ->  ( r  =  ( le `  K )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) ) ) )
3011, 29ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( b  =  ( Base `  K
)  ->  ( r  =  ( le `  K )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) ) )
3130imp 419 . . . 4  |-  ( ( b  =  ( Base `  K )  /\  r  =  ( le `  K ) )  -> 
( A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) ) )
329, 10, 31sbc2ie 3188 . . 3  |-  ( [. ( Base `  K )  /  b ]. [. ( le `  K )  / 
r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) )
338, 32syl6bb 253 . 2  |-  ( f  =  K  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  b ]. [. ( le `  f
)  /  r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b 
( x r y  \/  y r x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) )
34 df-toset 14418 . 2  |- Toset  =  {
f  e.  Poset  |  [. ( Base `  f )  /  b ]. [. ( le `  f )  / 
r ]. A. x  e.  b  A. y  e.  b  ( x r y  \/  y r x ) }
3533, 34elrab2 3054 1  |-  ( K  e. Toset 
<->  ( K  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   [.wsbc 3121   class class class wbr 4172   ` cfv 5413   Basecbs 13424   lecple 13491   Posetcpo 14352  Tosetctos 14417
This theorem is referenced by:  tosso  14420  zntoslem  16792  tospos  24139  resstos  24141  tleile  24142  xrstos  24154
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-nul 4298
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-iota 5377  df-fv 5421  df-toset 14418
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