Theorem istps 7556

Description: Express the predicate "is a topological space."

Assertion

Ref	Expression
istps	|- (<.A, J>. e. TopSp <-> (J e. Top /\ A = U.J))

Proof of Theorem istps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpsex 7555	. 2 |- (<.A, J>. e. TopSp -> (A e. V /\ J e. V))
2		pm3.27 323	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A = U.J) -> A = U.J)
3		uniexg 2866	. . . . 5 |- (J e. Top -> U.J e. V)
4	3	adantr 389	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A = U.J) -> U.J e. V)
5	2, 4	eqeltrd 1545	. . 3 |- ((J e. Top /\ A = U.J) -> A e. V)
6		elisset 1813	. . . 4 |- (J e. Top -> J e. V)
7	6	adantr 389	. . 3 |- ((J e. Top /\ A = U.J) -> J e. V)
8	5, 7	jca 288	. 2 |- ((J e. Top /\ A = U.J) -> (A e. V /\ J e. V))
9		eqeq1 1478	. . . . 5 |- (x = A -> (x = U.y <-> A = U.y))
10	9	anbi2d 615	. . . 4 |- (x = A -> ((y e. Top /\ x = U.y) <-> (y e. Top /\ A = U.y)))
11		eleq1 1531	. . . . 5 |- (y = J -> (y e. Top <-> J e. Top))
12		unieq 2505	. . . . . 6 |- (y = J -> U.y = U.J)
13	12	eqeq2d 1483	. . . . 5 |- (y = J -> (A = U.y <-> A = U.J))
14	11, 13	anbi12d 627	. . . 4 |- (y = J -> ((y e. Top /\ A = U.y) <-> (J e. Top /\ A = U.J)))
15	10, 14	opelopabg 2812	. . 3 |- ((A e. V /\ J e. V) -> (<.A, J>. e. {<.x, y>. | (y e. Top /\ x = U.y)} <-> (J e. Top /\ A = U.J)))
16		df-topsp 7543	. . . 4 |- TopSp = {<.x, y>. | (y e. Top /\ x = U.y)}
17	16	eleq2i 1535	. . 3 |- (<.A, J>. e. TopSp <-> <.A, J>. e. {<.x, y>. | (y e. Top /\ x = U.y)})
18	15, 17	syl5bb 531	. 2 |- ((A e. V /\ J e. V) -> (<.A, J>. e. TopSp <-> (J e. Top /\ A = U.J)))
19	1, 8, 18	pm5.21nii 678	1 |- (<.A, J>. e. TopSp <-> (J e. Top /\ A = U.J))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807  <.cop 2407  U.cuni 2498  {copab 2661  Topctop 7538  TopSpctps 7539

This theorem is referenced by:  istps2 7557  retps 7608  stoi 10519

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-xp 3179  df-rel 3180  df-top 7542  df-topsp 7543

Copyright terms: Public domain