Theorem istps2 7607

Description: Express the predicate "is a topological space."

Assertion

Ref	Expression
istps2	|- (<.A, J>. e. TopSp <-> ((J e. Top /\ J (_ P~A) /\ ((/) e. J /\ A e. J)))

Proof of Theorem istps2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqimss 2109	. . . . . . . 8 |- (U.J = A -> U.J (_ A)
2	1	adantl 388	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ U.J = A) -> U.J (_ A)
3		0opnt 7601	. . . . . . . . 9 |- (J e. Top -> (/) e. J)
4	3	adantr 389	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ U.J = A) -> (/) e. J)
5		pm3.27 323	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ U.J = A) -> U.J = A)
6		eqid 1475	. . . . . . . . . . 11 |- U.J = U.J
7	6	topopn 7602	. . . . . . . . . 10 |- (J e. Top -> U.J e. J)
8	7	adantr 389	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ U.J = A) -> U.J e. J)
9	5, 8	eqeltrrd 1549	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ U.J = A) -> A e. J)
10	4, 9	jca 288	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ U.J = A) -> ((/) e. J /\ A e. J))
11	2, 10	jca 288	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ U.J = A) -> (U.J (_ A /\ ((/) e. J /\ A e. J)))
12	11	ex 373	. . . . 5 |- (J e. Top -> (U.J = A -> (U.J (_ A /\ ((/) e. J /\ A e. J))))
13		unissel 2527	. . . . . 6 |- ((U.J (_ A /\ A e. J) -> U.J = A)
14	13	adantrl 394	. . . . 5 |- ((U.J (_ A /\ ((/) e. J /\ A e. J)) -> U.J = A)
15	12, 14	impbid1 517	. . . 4 |- (J e. Top -> (U.J = A <-> (U.J (_ A /\ ((/) e. J /\ A e. J))))
16		eqcom 1477	. . . 4 |- (A = U.J <-> U.J = A)
17		sspwuni 2758	. . . . 5 |- (J (_ P~A <-> U.J (_ A)
18	17	anbi1i 481	. . . 4 |- ((J (_ P~A /\ ((/) e. J /\ A e. J)) <-> (U.J (_ A /\ ((/) e. J /\ A e. J)))
19	15, 16, 18	3bitr4g 555	. . 3 |- (J e. Top -> (A = U.J <-> (J (_ P~A /\ ((/) e. J /\ A e. J))))
20	19	pm5.32i 645	. 2 |- ((J e. Top /\ A = U.J) <-> (J e. Top /\ (J (_ P~A /\ ((/) e. J /\ A e. J))))
21		istps 7606	. 2 |- (<.A, J>. e. TopSp <-> (J e. Top /\ A = U.J))
22		anass 439	. 2 |- (((J e. Top /\ J (_ P~A) /\ ((/) e. J /\ A e. J)) <-> (J e. Top /\ (J (_ P~A /\ ((/) e. J /\ A e. J))))
23	20, 21, 22	3bitr4 183	1 |- (<.A, J>. e. TopSp <-> ((J e. Top /\ J (_ P~A) /\ ((/) e. J /\ A e. J)))

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   (_ wss 2047  (/)c0 2280  P~cpw 2401  <.cop 2411  U.cuni 2503  Topctop 7588  TopSpctps 7589

This theorem is referenced by:  istps3 7608

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185  df-top 7592  df-topsp 7593

Copyright terms: Public domain