Theorem istps3 7558

Description: A standard textbook definition of a topological space.

Assertion

Ref	Expression
istps3	|- (<.A, J>. e. TopSp <-> ((J (_ P~A /\ (/) e. J /\ A e. J) /\ (A.x(x (_ J -> U.x e. J) /\ A.x e. J A.y e. J (x i^i y) e. J)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,J,y

Proof of Theorem istps3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istps2 7557	. 2 |- (<.A, J>. e. TopSp <-> ((J e. Top /\ J (_ P~A) /\ ((/) e. J /\ A e. J)))
2		anass 439	. 2 |- (((J e. Top /\ J (_ P~A) /\ ((/) e. J /\ A e. J)) <-> (J e. Top /\ (J (_ P~A /\ ((/) e. J /\ A e. J))))
3		ancom 435	. . 3 |- ((J e. Top /\ (J (_ P~A /\ ((/) e. J /\ A e. J))) <-> ((J (_ P~A /\ ((/) e. J /\ A e. J)) /\ J e. Top))
4		3anass 778	. . . 4 |- ((J (_ P~A /\ (/) e. J /\ A e. J) <-> (J (_ P~A /\ ((/) e. J /\ A e. J)))
5	4	anbi1i 481	. . 3 |- (((J (_ P~A /\ (/) e. J /\ A e. J) /\ J e. Top) <-> ((J (_ P~A /\ ((/) e. J /\ A e. J)) /\ J e. Top))
6		ssexg 2716	. . . . . . 7 |- ((J (_ P~A /\ P~A e. V) -> J e. V)
7		pwexg 2741	. . . . . . 7 |- (A e. J -> P~A e. V)
8	6, 7	sylan2 451	. . . . . 6 |- ((J (_ P~A /\ A e. J) -> J e. V)
9	8	3adant2 797	. . . . 5 |- ((J (_ P~A /\ (/) e. J /\ A e. J) -> J e. V)
10		istopg 7546	. . . . 5 |- (J e. V -> (J e. Top <-> (A.x(x (_ J -> U.x e. J) /\ A.x e. J A.y e. J (x i^i y) e. J)))
11	9, 10	syl 10	. . . 4 |- ((J (_ P~A /\ (/) e. J /\ A e. J) -> (J e. Top <-> (A.x(x (_ J -> U.x e. J) /\ A.x e. J A.y e. J (x i^i y) e. J)))
12	11	pm5.32i 644	. . 3 |- (((J (_ P~A /\ (/) e. J /\ A e. J) /\ J e. Top) <-> ((J (_ P~A /\ (/) e. J /\ A e. J) /\ (A.x(x (_ J -> U.x e. J) /\ A.x e. J A.y e. J (x i^i y) e. J)))
13	3, 5, 12	3bitr2 179	. 2 |- ((J e. Top /\ (J (_ P~A /\ ((/) e. J /\ A e. J))) <-> ((J (_ P~A /\ (/) e. J /\ A e. J) /\ (A.x(x (_ J -> U.x e. J) /\ A.x e. J A.y e. J (x i^i y) e. J)))
14	1, 2, 13	3bitr 177	1 |- (<.A, J>. e. TopSp <-> ((J (_ P~A /\ (/) e. J /\ A e. J) /\ (A.x(x (_ J -> U.x e. J) /\ A.x e. J A.y e. J (x i^i y) e. J)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774  A.wal 952   e. wcel 956  A.wral 1642  Vcvv 1807   i^i cin 2042   (_ wss 2043  (/)c0 2276  P~cpw 2397  <.cop 2407  U.cuni 2498  Topctop 7538  TopSpctps 7539

This theorem is referenced by:  istps4 7559

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-xp 3179  df-rel 3180  df-top 7542  df-topsp 7543

Copyright terms: Public domain