Theorem isumclimtf 7082

Description: Version of isumclimt 7083 with a bound-variable hypothesis instead of a distinct variable condition.

Hypotheses

Ref	Expression
isumclimtf.1	|- (y e. F -> A.k y e. F)
isumclimtf.2	|- F e. V
isumclimtf.3	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
isumclimtf	|- ((M e. ZZ /\ (<.M, + >. seq F) ~~> A) -> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) = A)

Distinct variable groups:   y,F   y,k

Proof of Theorem isumclimtf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumclimtf.2	. . . 4 |- F e. V
2		isumclimtf.1	. . . 4 |- (y e. F -> A.k y e. F)
3	1, 2	isumvaltf 7080	. . 3 |- (M e. ZZ -> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) = U.{x | (<.M, + >. seq F) ~~> x})
4		rabab 1797	. . . 4 |- {x e. V | (<.M, + >. seq F) ~~> x} = {x | (<.M, + >. seq F) ~~> x}
5	4	unieqi 2479	. . 3 |- U.{x e. V | (<.M, + >. seq F) ~~> x} = U.{x | (<.M, + >. seq F) ~~> x}
6	3, 5	syl6eqr 1501	. 2 |- (M e. ZZ -> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) = U.{x e. V | (<.M, + >. seq F) ~~> x})
7		isumclimtf.3	. . . . . . 7 |- A e. V
8	7	climeu 6988	. . . . . 6 |- ((<.M, + >. seq F) ~~> A -> E!x(<.M, + >. seq F) ~~> x)
9		df-reu 1627	. . . . . . 7 |- (E!x e. V (<.M, + >. seq F) ~~> x <-> E!x(x e. V /\ (<.M, + >. seq F) ~~> x))
10		visset 1788	. . . . . . . . 9 |- x e. V
11	10	biantrur 722	. . . . . . . 8 |- ((<.M, + >. seq F) ~~> x <-> (x e. V /\ (<.M, + >. seq F) ~~> x))
12	11	eubii 1364	. . . . . . 7 |- (E!x(<.M, + >. seq F) ~~> x <-> E!x(x e. V /\ (<.M, + >. seq F) ~~> x))
13	9, 12	bitr4 176	. . . . . 6 |- (E!x e. V (<.M, + >. seq F) ~~> x <-> E!x(<.M, + >. seq F) ~~> x)
14	8, 13	sylibr 200	. . . . 5 |- ((<.M, + >. seq F) ~~> A -> E!x e. V (<.M, + >. seq F) ~~> x)
15	14, 7	jctil 292	. . . 4 |- ((<.M, + >. seq F) ~~> A -> (A e. V /\ E!x e. V (<.M, + >. seq F) ~~> x))
16		breq2 2591	. . . . 5 |- (x = A -> ((<.M, + >. seq F) ~~> x <-> (<.M, + >. seq F) ~~> A))
17	16	reuuni2 2847	. . . 4 |- ((A e. V /\ E!x e. V (<.M, + >. seq F) ~~> x) -> ((<.M, + >. seq F) ~~> A <-> U.{x e. V | (<.M, + >. seq F) ~~> x} = A))
18	15, 17	syl 10	. . 3 |- ((<.M, + >. seq F) ~~> A -> ((<.M, + >. seq F) ~~> A <-> U.{x e. V | (<.M, + >. seq F) ~~> x} = A))
19	18	ibi 590	. 2 |- ((<.M, + >. seq F) ~~> A -> U.{x e. V | (<.M, + >. seq F) ~~> x} = A)
20	6, 19	sylan9eq 1503	1 |- ((M e. ZZ /\ (<.M, + >. seq F) ~~> A) -> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 950   = wceq 1099   e. wcel 1105  E!weu 1357  {cab 1440  E!wreu 1623  {crab 1624  Vcvv 1786  <.cop 2382  U.cuni 2471   class class class wbr 2587  ` cfv 3145  (class class class)co 3902   + caddc 5160  ZZcz 5221  ZZ>cuz 6300   seq cseqz 6414   ~~> cli 6863  sum_csu 6868

This theorem is referenced by:  isumclimt 7083  isumclim2tf 7084  isumclim4t 7087

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-nel 1564  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-f1 3158  df-fo 3159  df-f1o 3160  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-en 4305  df-dom 4306  df-sdom 4307  df-sup 4500  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-mp 5012  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-mpr 5088  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-mr 5092  df-ltr 5093  df-0r 5094  df-1r 5095  df-m1r 5096  df-c 5163  df-0 5164  df-1 5165  df-i 5166  df-r 5167  df-plus 5168  df-mul 5169  df-lt 5170  df-sub 5279  df-neg 5281  df-pnf 5410  df-mnf 5411  df-xr 5412  df-ltxr 5413  df-le 5414  df-div 5623  df-n 5824  df-2 5868  df-n0 5998  df-z 6034  df-seq1 6196  df-shft 6229  df-uz 6301  df-fz 6351  df-seqz 6416  df-exp 6452  df-sqr 6551  df-re 6633  df-im 6634  df-cj 6635  df-abs 6636  df-clim 6864  df-sum 6869

Copyright terms: Public domain