Theorem isumclt 7152

Description: The sum of a converging infinite series is a complex number.

Hypothesis

Ref	Expression
isumclt.1	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
isumclt	|- ((M e. ZZ /\ E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) e. CC)

Distinct variable groups:   x,k,F   x,M

Proof of Theorem isumclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumclt.1	. . . . 5 |- F e. V
2	1	isumvalt 7136	. . . 4 |- (M e. ZZ -> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) = U.{x | (<.M, + >. seq F) ~~> x})
3	2	eleq1d 1537	. . 3 |- (M e. ZZ -> (sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) e. CC <-> U.{x | (<.M, + >. seq F) ~~> x} e. CC))
4		hbreu1 1765	. . . . . 6 |- (E!x e. CC (<.M, + >. seq F) ~~> x -> A.xE!x e. CC (<.M, + >. seq F) ~~> x)
5		visset 1809	. . . . . . 7 |- x e. V
6	5	climreu 7046	. . . . . 6 |- ((<.M, + >. seq F) ~~> x -> E!x e. CC (<.M, + >. seq F) ~~> x)
7	4, 6	19.23ai 1062	. . . . 5 |- (E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x -> E!x e. CC (<.M, + >. seq F) ~~> x)
8		reucl 2880	. . . . 5 |- (E!x e. CC (<.M, + >. seq F) ~~> x -> U.{x e. CC | (<.M, + >. seq F) ~~> x} e. CC)
9	7, 8	syl 10	. . . 4 |- (E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x -> U.{x e. CC | (<.M, + >. seq F) ~~> x} e. CC)
10		climcl 6924	. . . . . . . . 9 |- ((x e. V /\ (<.M, + >. seq F) ~~> x) -> x e. CC)
11	5, 10	mpan 694	. . . . . . . 8 |- ((<.M, + >. seq F) ~~> x -> x e. CC)
12	11	pm4.71ri 637	. . . . . . 7 |- ((<.M, + >. seq F) ~~> x <-> (x e. CC /\ (<.M, + >. seq F) ~~> x))
13	12	abbii 1572	. . . . . 6 |- {x | (<.M, + >. seq F) ~~> x} = {x | (x e. CC /\ (<.M, + >. seq F) ~~> x)}
14		df-rab 1649	. . . . . 6 |- {x e. CC | (<.M, + >. seq F) ~~> x} = {x | (x e. CC /\ (<.M, + >. seq F) ~~> x)}
15	13, 14	eqtr4 1495	. . . . 5 |- {x | (<.M, + >. seq F) ~~> x} = {x e. CC | (<.M, + >. seq F) ~~> x}
16	15	unieqi 2506	. . . 4 |- U.{x | (<.M, + >. seq F) ~~> x} = U.{x e. CC | (<.M, + >. seq F) ~~> x}
17	9, 16	syl5eqel 1549	. . 3 |- (E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x -> U.{x | (<.M, + >. seq F) ~~> x} e. CC)
18	3, 17	syl5bir 210	. 2 |- (M e. ZZ -> (E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x -> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) e. CC))
19	18	imp 350	1 |- ((M e. ZZ /\ E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) e. CC)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 956  E.wex 978  {cab 1461  E!wreu 1644  {crab 1645  Vcvv 1807  <.cop 2407  U.cuni 2498   class class class wbr 2614  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212   + caddc 5217  ZZcz 5278  ZZ>cuz 6357   seq cseqz 6471   ~~> cli 6920  sum_csu 6925

This theorem is referenced by:  isumsplit 7159  efclt 7262  eftlclt 7329  eirrlem5 7342  efsep 7345

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-shft 6286  df-uz 6358  df-fz 6408  df-seqz 6473  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-clim 6921  df-sum 6926

Copyright terms: Public domain