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Theorem isumshft 12298
Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumshft.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isumshft.2  |-  W  =  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) )
isumshft.3  |-  ( j  =  ( K  +  k )  ->  A  =  B )
isumshft.4  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
isumshft.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isumshft.6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  W )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
isumshft  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  W  A  =  sum_ k  e.  Z  B )
Distinct variable groups:    A, k    j, k, K    ph, j, k   
j, W, k    B, j    k, Z
Allowed substitution hints:    A( j)    B( k)    M( j, k)    Z( j)

Proof of Theorem isumshft
Dummy variables  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumshft.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 isumshft.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
31, 2zaddcld 10121 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  +  K
)  e.  ZZ )
4 isumshft.2 . . . . . . . . . 10  |-  W  =  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) )
54eleq2i 2347 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  W  <->  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
62zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
7 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  m  e.  ZZ )
87zcnd 10118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  m  e.  CC )
98, 4eleq2s 2375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  W  ->  m  e.  CC )
10 isumshft.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
11 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
1210, 11eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  e. 
_V
1312mptex 5746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  Z  |->  B )  e.  _V
1413shftval 11569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( k  e.  Z  |->  B ) 
shift  K ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  ( m  -  K ) ) )
156, 9, 14syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K ) `  m )  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `
 ( m  -  K ) ) )
16 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  Z )
17 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  Z  |->  B )  =  ( k  e.  Z  |->  B )
1817fvmpt2i 5607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  (  _I 
`  B ) )
1916, 18syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  (  _I 
`  B ) )
20 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
2120zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  CC )
2221, 10eleq2s 2375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  CC )
23 addcom 8998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( K  +  k )  =  ( k  +  K ) )
246, 22, 23syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K  +  k )  =  ( k  +  K ) )
25 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  Z )
2625, 10syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
27 eluzadd 10256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
) )
2826, 2, 27syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
) )
2924, 28eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K  +  k )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
3029, 4syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K  +  k )  e.  W )
31 isumshft.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  ( K  +  k )  ->  A  =  B )
32 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  W  |->  A )  =  ( j  e.  W  |->  A )
3331, 32fvmpti 5601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  +  k )  e.  W  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  =  (  _I 
`  B ) )
3430, 33syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  =  (  _I 
`  B ) )
3519, 34eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k ) ) )
3635ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  k )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
) )
37 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k
( k  e.  Z  |->  B )
38 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k
n
3937, 38nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )
4039nfeq1 2428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)
41 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
42 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  ( K  +  k )  =  ( K  +  n ) )
4342fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n ) ) )
4441, 43eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  B ) `  k )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  <->  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `
 n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n
) ) ) )
4540, 44rspc 2878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  k )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  ->  ( (
k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 ( K  +  n ) ) ) )
4636, 45mpan9 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n ) ) )
4746ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
) )
4847adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  A. n  e.  Z  ( (
k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 ( K  +  n ) ) )
491adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  M  e.  ZZ )
502adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  K  e.  ZZ )
51 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  m  e.  W )
5251, 4syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
53 eluzsub 10257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( m  -  K )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
5449, 50, 52, 53syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
m  -  K )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
5554, 10syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
m  -  K )  e.  Z )
56 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  ( m  -  K ) ) )
57 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  ( K  +  n )  =  ( K  +  ( m  -  K
) ) )
5857fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  ( m  -  K ) ) ) )
5956, 58eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)  <->  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `
 ( m  -  K ) )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  (
m  -  K ) ) ) ) )
6059rspccva 2883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)  /\  ( m  -  K )  e.  Z
)  ->  ( (
k  e.  Z  |->  B ) `  ( m  -  K ) )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 ( K  +  ( m  -  K
) ) ) )
6148, 55, 60syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  (
m  -  K ) )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  ( m  -  K ) ) ) )
62 pncan3 9059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( K  +  ( m  -  K ) )  =  m )
636, 9, 62syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  ( K  +  ( m  -  K ) )  =  m )
6463fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  ( m  -  K ) ) )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 m ) )
6515, 61, 643eqtrrd 2320 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  m
)  =  ( ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K ) `
 m ) )
665, 65sylan2br 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 m )  =  ( ( ( k  e.  Z  |->  B ) 
shift  K ) `  m
) )
673, 66seqfeq 11071 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) )  =  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K )
) )
6867breq1d 4033 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) )  ~~>  x  <->  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K )
)  ~~>  x ) )
6913isershft 12137 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (  seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x  <->  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K )
)  ~~>  x ) )
701, 2, 69syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x  <->  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K )
)  ~~>  x ) )
7168, 70bitr4d 247 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) )  ~~>  x  <->  seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x ) )
7271iotabidv 5240 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( iota x  seq  ( M  +  K
) (  +  , 
( j  e.  W  |->  A ) )  ~~>  x )  =  ( iota x  seq  M (  +  , 
( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x ) )
73 df-fv 5263 . . . 4  |-  (  ~~>  `  seq  ( M  +  K
) (  +  , 
( j  e.  W  |->  A ) ) )  =  ( iota x  seq  ( M  +  K
) (  +  , 
( j  e.  W  |->  A ) )  ~~>  x )
74 df-fv 5263 . . . 4  |-  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) ) )  =  ( iota x  seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x )
7572, 73, 743eqtr4g 2340 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ~~>  `  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) ) )  =  (  ~~>  `
 seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) ) ) )
76 eqidd 2284 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  m
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  m ) )
77 isumshft.6 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  W )  ->  A  e.  CC )
7877, 32fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( j  e.  W  |->  A ) : W --> CC )
79 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( ( j  e.  W  |->  A ) : W --> CC  /\  m  e.  W
)  ->  ( (
j  e.  W  |->  A ) `  m )  e.  CC )
8078, 79sylan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  m
)  e.  CC )
814, 3, 76, 80isum 12192 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  W  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  m )  =  (  ~~>  `
 seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) ) ) )
82 eqidd 2284 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
8378adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
j  e.  W  |->  A ) : W --> CC )
8430ralrimiva 2626 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( K  +  k
)  e.  W )
8542eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( K  +  k )  e.  W  <->  ( K  +  n )  e.  W
) )
8685rspccva 2883 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  Z  ( K  +  k
)  e.  W  /\  n  e.  Z )  ->  ( K  +  n
)  e.  W )
8784, 86sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( K  +  n )  e.  W )
88 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( ( j  e.  W  |->  A ) : W --> CC  /\  ( K  +  n )  e.  W
)  ->  ( (
j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n ) )  e.  CC )
8983, 87, 88syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)  e.  CC )
9046, 89eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  n
)  e.  CC )
9110, 1, 82, 90isum 12192 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  (  ~~>  `
 seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) ) ) )
9275, 81, 913eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  W  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  m )  =  sum_ n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
93 sumfc 12182 . 2  |-  sum_ m  e.  W  ( (
j  e.  W  |->  A ) `  m )  =  sum_ j  e.  W  A
94 sumfc 12182 . 2  |-  sum_ n  e.  Z  ( (
k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  sum_ k  e.  Z  B
9592, 93, 943eqtr3g 2338 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  W  A  =  sum_ k  e.  Z  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    _I cid 4304   iotacio 5217   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735    + caddc 8740    - cmin 9037   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230    seq cseq 11046    shift cshi 11561    ~~> cli 11958   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  eftlub  12389  pserdv2  19806  logtayl  20007
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159
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