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Theorem isumshft 12293
Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumshft.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isumshft.2  |-  W  =  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) )
isumshft.3  |-  ( j  =  ( K  +  k )  ->  A  =  B )
isumshft.4  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
isumshft.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isumshft.6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  W )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
isumshft  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  W  A  =  sum_ k  e.  Z  B )
Distinct variable groups:    A, k    j, k, K    ph, j, k   
j, W, k    B, j    k, Z
Dummy variables  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
Allowed substitution hints:    A( j)    B( k)    M( j, k)    Z( j)

Proof of Theorem isumshft
StepHypRef Expression
1 isumshft.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 isumshft.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
31, 2zaddcld 10117 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  +  K
)  e.  ZZ )
4 isumshft.2 . . . . . . . . . 10  |-  W  =  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) )
54eleq2i 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  W  <->  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
62zcnd 10114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
7 eluzelz 10234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  m  e.  ZZ )
87zcnd 10114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  m  e.  CC )
98, 4eleq2s 2377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  W  ->  m  e.  CC )
10 isumshft.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
11 fvex 5500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
1210, 11eqeltri 2355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  e. 
_V
1312mptex 5708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  Z  |->  B )  e.  _V
1413shftval 11564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( k  e.  Z  |->  B ) 
shift  K ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  ( m  -  K ) ) )
156, 9, 14syl2an 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K ) `  m )  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `
 ( m  -  K ) ) )
16 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  Z )
17 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  Z  |->  B )  =  ( k  e.  Z  |->  B )
1817fvmpt2i 5569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  (  _I 
`  B ) )
1916, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  (  _I 
`  B ) )
20 eluzelz 10234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
2120zcnd 10114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  CC )
2221, 10eleq2s 2377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  CC )
23 addcom 8994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( K  +  k )  =  ( k  +  K ) )
246, 22, 23syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K  +  k )  =  ( k  +  K ) )
25 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  Z )
2625, 10syl6eleq 2375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
27 eluzadd 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
) )
2826, 2, 27syl2anr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
) )
2924, 28eqeltrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K  +  k )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
3029, 4syl6eleqr 2376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K  +  k )  e.  W )
31 isumshft.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  ( K  +  k )  ->  A  =  B )
32 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  W  |->  A )  =  ( j  e.  W  |->  A )
3331, 32fvmpti 5563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  +  k )  e.  W  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  =  (  _I 
`  B ) )
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  =  (  _I 
`  B ) )
3519, 34eqtr4d 2320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k ) ) )
3635ralrimiva 2628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  k )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
) )
37 nfmpt1 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k
( k  e.  Z  |->  B )
38 nfcv 2421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k
n
3937, 38nffv 5493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )
4039nfeq1 2430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)
41 fveq2 5486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
42 oveq2 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  ( K  +  k )  =  ( K  +  n ) )
4342fveq2d 5490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n ) ) )
4441, 43eqeq12d 2299 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  B ) `  k )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  <->  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `
 n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n
) ) ) )
4540, 44rspc 2880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  k )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  ->  ( (
k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 ( K  +  n ) ) ) )
4636, 45mpan9 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n ) ) )
4746ralrimiva 2628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
) )
4847adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  A. n  e.  Z  ( (
k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 ( K  +  n ) ) )
491adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  M  e.  ZZ )
502adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  K  e.  ZZ )
51 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  m  e.  W )
5251, 4syl6eleq 2375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
53 eluzsub 10253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( m  -  K )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
5449, 50, 52, 53syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
m  -  K )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
5554, 10syl6eleqr 2376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
m  -  K )  e.  Z )
56 fveq2 5486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  ( m  -  K ) ) )
57 oveq2 5828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  ( K  +  n )  =  ( K  +  ( m  -  K
) ) )
5857fveq2d 5490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  ( m  -  K ) ) ) )
5956, 58eqeq12d 2299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)  <->  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `
 ( m  -  K ) )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  (
m  -  K ) ) ) ) )
6059rspccva 2885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)  /\  ( m  -  K )  e.  Z
)  ->  ( (
k  e.  Z  |->  B ) `  ( m  -  K ) )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 ( K  +  ( m  -  K
) ) ) )
6148, 55, 60syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  (
m  -  K ) )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  ( m  -  K ) ) ) )
62 pncan3 9055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( K  +  ( m  -  K ) )  =  m )
636, 9, 62syl2an 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  ( K  +  ( m  -  K ) )  =  m )
6463fveq2d 5490 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  ( m  -  K ) ) )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 m ) )
6515, 61, 643eqtrrd 2322 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  m
)  =  ( ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K ) `
 m ) )
665, 65sylan2br 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 m )  =  ( ( ( k  e.  Z  |->  B ) 
shift  K ) `  m
) )
673, 66seqfeq 11066 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) )  =  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K )
) )
6867breq1d 4035 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) )  ~~>  x  <->  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K )
)  ~~>  x ) )
6913isershft 12132 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (  seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x  <->  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K )
)  ~~>  x ) )
701, 2, 69syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x  <->  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K )
)  ~~>  x ) )
7168, 70bitr4d 249 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) )  ~~>  x  <->  seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x ) )
7271iotabidv 6274 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( iota x  seq  ( M  +  K
) (  +  , 
( j  e.  W  |->  A ) )  ~~>  x )  =  ( iota x  seq  M (  +  , 
( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x ) )
73 fv4 6282 . . . 4  |-  (  ~~>  `  seq  ( M  +  K
) (  +  , 
( j  e.  W  |->  A ) ) )  =  ( iota x  seq  ( M  +  K
) (  +  , 
( j  e.  W  |->  A ) )  ~~>  x )
74 fv4 6282 . . . 4  |-  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) ) )  =  ( iota x  seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x )
7572, 73, 743eqtr4g 2342 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ~~>  `  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) ) )  =  (  ~~>  `
 seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) ) ) )
76 eqidd 2286 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  m
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  m ) )
77 isumshft.6 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  W )  ->  A  e.  CC )
7877, 32fmptd 5646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( j  e.  W  |->  A ) : W --> CC )
79 ffvelrn 5625 . . . . 5  |-  ( ( ( j  e.  W  |->  A ) : W --> CC  /\  m  e.  W
)  ->  ( (
j  e.  W  |->  A ) `  m )  e.  CC )
8078, 79sylan 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  m
)  e.  CC )
814, 3, 76, 80isum 12187 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  W  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  m )  =  (  ~~>  `
 seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) ) ) )
82 eqidd 2286 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
8378adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
j  e.  W  |->  A ) : W --> CC )
8430ralrimiva 2628 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( K  +  k
)  e.  W )
8542eleq1d 2351 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( K  +  k )  e.  W  <->  ( K  +  n )  e.  W
) )
8685rspccva 2885 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  Z  ( K  +  k
)  e.  W  /\  n  e.  Z )  ->  ( K  +  n
)  e.  W )
8784, 86sylan 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( K  +  n )  e.  W )
88 ffvelrn 5625 . . . . . 6  |-  ( ( ( j  e.  W  |->  A ) : W --> CC  /\  ( K  +  n )  e.  W
)  ->  ( (
j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n ) )  e.  CC )
8983, 87, 88syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)  e.  CC )
9046, 89eqeltrd 2359 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  n
)  e.  CC )
9110, 1, 82, 90isum 12187 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  (  ~~>  `
 seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) ) ) )
9275, 81, 913eqtr4d 2327 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  W  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  m )  =  sum_ n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
93 sumfc 12177 . 2  |-  sum_ m  e.  W  ( (
j  e.  W  |->  A ) `  m )  =  sum_ j  e.  W  A
94 sumfc 12177 . 2  |-  sum_ n  e.  Z  ( (
k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  sum_ k  e.  Z  B
9592, 93, 943eqtr3g 2340 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  W  A  =  sum_ k  e.  Z  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2545   _Vcvv 2790   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079    _I cid 4304   -->wf 5218   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   iotacio 6251   CCcc 8731    + caddc 8736    - cmin 9033   ZZcz 10020   ZZ>=cuz 10226    seq cseq 11041    shift cshi 11556    ~~> cli 11953   sum_csu 12153
This theorem is referenced by:  eftlub  12384  pserdv2  19801  logtayl  20002
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-isom 5231  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-oi 7221  df-card 7568  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-rp 10351  df-fz 10778  df-fzo 10866  df-seq 11042  df-exp 11100  df-hash 11333  df-shft 11557  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581  df-sqr 11715  df-abs 11716  df-clim 11957  df-sum 12154
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