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Theorem isumshft 12609
Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumshft.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
isumshft.2  |-  W  =  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) )
isumshft.3  |-  ( j  =  ( K  +  k )  ->  A  =  B )
isumshft.4  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
isumshft.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
isumshft.6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  W )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
isumshft  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  W  A  =  sum_ k  e.  Z  B )
Distinct variable groups:    A, k    j, k, K    ph, j, k   
j, W, k    B, j    k, Z
Allowed substitution hints:    A( j)    B( k)    M( j, k)    Z( j)

Proof of Theorem isumshft
Dummy variables  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumshft.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2 isumshft.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
31, 2zaddcld 10369 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  +  K
)  e.  ZZ )
4 isumshft.2 . . . . . . . . . 10  |-  W  =  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) )
54eleq2i 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  W  <->  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
62zcnd 10366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
7 eluzelz 10486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  m  e.  ZZ )
87zcnd 10366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
)  ->  m  e.  CC )
98, 4eleq2s 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  W  ->  m  e.  CC )
10 isumshft.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
11 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
1210, 11eqeltri 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  e. 
_V
1312mptex 5958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  Z  |->  B )  e.  _V
1413shftval 11879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( ( k  e.  Z  |->  B ) 
shift  K ) `  m
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  ( m  -  K ) ) )
156, 9, 14syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K ) `  m )  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `
 ( m  -  K ) ) )
16 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  Z )
17 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  Z  |->  B )  =  ( k  e.  Z  |->  B )
1817fvmpt2i 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  (  _I 
`  B ) )
1916, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  (  _I 
`  B ) )
20 eluzelz 10486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  ZZ )
2120zcnd 10366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  CC )
2221, 10eleq2s 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  CC )
23 addcom 9242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( K  +  k )  =  ( k  +  K ) )
246, 22, 23syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K  +  k )  =  ( k  +  K ) )
25 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  Z )
2625, 10syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
27 eluzadd 10504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
) )
2826, 2, 27syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  +  K )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K )
) )
2924, 28eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K  +  k )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
3029, 4syl6eleqr 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( K  +  k )  e.  W )
31 isumshft.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  ( K  +  k )  ->  A  =  B )
32 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  W  |->  A )  =  ( j  e.  W  |->  A )
3331, 32fvmpti 5797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  +  k )  e.  W  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  =  (  _I 
`  B ) )
3430, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  =  (  _I 
`  B ) )
3519, 34eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k ) ) )
3635ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  k )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
) )
37 nffvmpt1 5728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )
3837nfeq1 2580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)
39 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
40 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  ( K  +  k )  =  ( K  +  n ) )
4140fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n ) ) )
4239, 41eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  B ) `  k )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  <->  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `
 n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n
) ) ) )
4338, 42rspc 3038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  k )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  k )
)  ->  ( (
k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 ( K  +  n ) ) ) )
4436, 43mpan9 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n ) ) )
4544ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
) )
4645adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  A. n  e.  Z  ( (
k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 ( K  +  n ) ) )
471adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  M  e.  ZZ )
482adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  K  e.  ZZ )
49 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  m  e.  W )
5049, 4syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )
51 eluzsub 10505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( m  -  K )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
5247, 48, 50, 51syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
m  -  K )  e.  ( ZZ>= `  M
) )
5352, 10syl6eleqr 2526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
m  -  K )  e.  Z )
54 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  ( m  -  K ) ) )
55 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  ( K  +  n )  =  ( K  +  ( m  -  K
) ) )
5655fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  ( m  -  K ) ) ) )
5754, 56eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  -  K )  ->  (
( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)  <->  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `
 ( m  -  K ) )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  (
m  -  K ) ) ) ) )
5857rspccva 3043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)  /\  ( m  -  K )  e.  Z
)  ->  ( (
k  e.  Z  |->  B ) `  ( m  -  K ) )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 ( K  +  ( m  -  K
) ) ) )
5946, 53, 58syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  (
m  -  K ) )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  ( m  -  K ) ) ) )
60 pncan3 9303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( K  +  ( m  -  K ) )  =  m )
616, 9, 60syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  ( K  +  ( m  -  K ) )  =  m )
6261fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  ( m  -  K ) ) )  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 m ) )
6315, 59, 623eqtrrd 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  m
)  =  ( ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K ) `
 m ) )
645, 63sylan2br 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  K ) ) )  ->  ( ( j  e.  W  |->  A ) `
 m )  =  ( ( ( k  e.  Z  |->  B ) 
shift  K ) `  m
) )
653, 64seqfeq 11338 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) )  =  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K )
) )
6665breq1d 4214 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) )  ~~>  x  <->  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K )
)  ~~>  x ) )
6713isershft 12447 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (  seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x  <->  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K )
)  ~~>  x ) )
681, 2, 67syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x  <->  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( ( k  e.  Z  |->  B )  shift  K )
)  ~~>  x ) )
6966, 68bitr4d 248 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) )  ~~>  x  <->  seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x ) )
7069iotabidv 5431 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( iota x  seq  ( M  +  K
) (  +  , 
( j  e.  W  |->  A ) )  ~~>  x )  =  ( iota x  seq  M (  +  , 
( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x ) )
71 df-fv 5454 . . . 4  |-  (  ~~>  `  seq  ( M  +  K
) (  +  , 
( j  e.  W  |->  A ) ) )  =  ( iota x  seq  ( M  +  K
) (  +  , 
( j  e.  W  |->  A ) )  ~~>  x )
72 df-fv 5454 . . . 4  |-  (  ~~>  `  seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) ) )  =  ( iota x  seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) )  ~~>  x )
7370, 71, 723eqtr4g 2492 . . 3  |-  ( ph  ->  (  ~~>  `  seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) ) )  =  (  ~~>  `
 seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) ) ) )
74 eqidd 2436 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  m
)  =  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  m ) )
75 isumshft.6 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  W )  ->  A  e.  CC )
7675, 32fmptd 5885 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( j  e.  W  |->  A ) : W --> CC )
77 ffvelrn 5860 . . . . 5  |-  ( ( ( j  e.  W  |->  A ) : W --> CC  /\  m  e.  W
)  ->  ( (
j  e.  W  |->  A ) `  m )  e.  CC )
7876, 77sylan 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  W )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  m
)  e.  CC )
794, 3, 74, 78isum 12503 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  W  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  m )  =  (  ~~>  `
 seq  ( M  +  K ) (  +  ,  ( j  e.  W  |->  A ) ) ) )
80 eqidd 2436 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
8176adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
j  e.  W  |->  A ) : W --> CC )
8230ralrimiva 2781 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( K  +  k
)  e.  W )
8340eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( K  +  k )  e.  W  <->  ( K  +  n )  e.  W
) )
8483rspccva 3043 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  Z  ( K  +  k
)  e.  W  /\  n  e.  Z )  ->  ( K  +  n
)  e.  W )
8582, 84sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( K  +  n )  e.  W )
86 ffvelrn 5860 . . . . . 6  |-  ( ( ( j  e.  W  |->  A ) : W --> CC  /\  ( K  +  n )  e.  W
)  ->  ( (
j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n ) )  e.  CC )
8781, 85, 86syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( j  e.  W  |->  A ) `  ( K  +  n )
)  e.  CC )
8844, 87eqeltrd 2509 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( k  e.  Z  |->  B ) `  n
)  e.  CC )
8910, 1, 80, 88isum 12503 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  (  ~~>  `
 seq  M (  +  ,  ( k  e.  Z  |->  B ) ) ) )
9073, 79, 893eqtr4d 2477 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  W  ( ( j  e.  W  |->  A ) `  m )  =  sum_ n  e.  Z  ( ( k  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
91 sumfc 12493 . 2  |-  sum_ m  e.  W  ( (
j  e.  W  |->  A ) `  m )  =  sum_ j  e.  W  A
92 sumfc 12493 . 2  |-  sum_ n  e.  Z  ( (
k  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  sum_ k  e.  Z  B
9390, 91, 923eqtr3g 2490 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  W  A  =  sum_ k  e.  Z  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    _I cid 4485   iotacio 5408   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8978    + caddc 8983    - cmin 9281   ZZcz 10272   ZZ>=cuz 10478    seq cseq 11313    shift cshi 11871    ~~> cli 12268   sum_csu 12469
This theorem is referenced by:  eftlub  12700  pserdv2  20336  logtayl  20541
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7469  df-card 7816  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-rp 10603  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-seq 11314  df-exp 11373  df-hash 11609  df-shft 11872  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-clim 12272  df-sum 12470
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