Theorem isumshft 7147

Description: Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumshft.1	|- F e. V
isumshft.2	|- K e. ZZ
isumshft.3	|- M e. ZZ
isumshft.4	|- N = (M + K)

Assertion

Ref	Expression
isumshft	|- sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) = sum_k e. (ZZ>` N)(F` (k - K))

Distinct variable groups:   k,F   k,K   k,M   k,N

Proof of Theorem isumshft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumshft.3	. . . . 5 |- M e. ZZ
2		isumshft.1	. . . . . 6 |- F e. V
3		visset 1809	. . . . . 6 |- x e. V
4	2, 3	isumclimt 7140	. . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ (<.M, + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) = x)
5	1, 4	mpan 694	. . . 4 |- ((<.M, + >. seq F) ~~> x -> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) = x)
6		isumshft.2	. . . . . . . 8 |- K e. ZZ
7		isumshft.4	. . . . . . . 8 |- N = (M + K)
8		eqid 1473	. . . . . . . 8 |- (F shift K) = (F shift K)
9	2, 1, 6, 7, 8	iserzshft 7088	. . . . . . 7 |- (x e. V -> ((<.M, + >. seq F) ~~> x <-> (<.N, + >. seq (F shift K)) ~~> x))
10	3, 9	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ((<.M, + >. seq F) ~~> x <-> (<.N, + >. seq (F shift K)) ~~> x)
11		zaddclt 6120	. . . . . . . . 9 |- ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (M + K) e. ZZ)
12	1, 6, 11	mp2an 696	. . . . . . . 8 |- (M + K) e. ZZ
13	7, 12	eqeltr 1541	. . . . . . 7 |- N e. ZZ
14		oprex 3974	. . . . . . . 8 |- (F shift K) e. V
15	14, 3	isumclimt 7140	. . . . . . 7 |- ((N e. ZZ /\ (<.N, + >. seq (F shift K)) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>` N)((F shift K)` k) = x)
16	13, 15	mpan 694	. . . . . 6 |- ((<.N, + >. seq (F shift K)) ~~> x -> sum_k e. (ZZ>` N)((F shift K)` k) = x)
17	10, 16	sylbi 199	. . . . 5 |- ((<.M, + >. seq F) ~~> x -> sum_k e. (ZZ>` N)((F shift K)` k) = x)
18		eluzelz 6363	. . . . . . . 8 |- (k e. (ZZ>` N) -> k e. ZZ)
19		zcnt 6095	. . . . . . . 8 |- (k e. ZZ -> k e. CC)
20	18, 19	syl 10	. . . . . . 7 |- (k e. (ZZ>` N) -> k e. CC)
21	2	shftvalt 6291	. . . . . . . 8 |- ((K e. ZZ /\ k e. CC) -> ((F shift K)` k) = (F` (k - K)))
22	6, 21	mpan 694	. . . . . . 7 |- (k e. CC -> ((F shift K)` k) = (F` (k - K)))
23	20, 22	syl 10	. . . . . 6 |- (k e. (ZZ>` N) -> ((F shift K)` k) = (F` (k - K)))
24	23	sumeq2i 6934	. . . . 5 |- sum_k e. (ZZ>` N)((F shift K)` k) = sum_k e. (ZZ>` N)(F` (k - K))
25	17, 24	syl5eqr 1518	. . . 4 |- ((<.M, + >. seq F) ~~> x -> sum_k e. (ZZ>` N)(F` (k - K)) = x)
26	5, 25	eqtr4d 1507	. . 3 |- ((<.M, + >. seq F) ~~> x -> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) = sum_k e. (ZZ>` N)(F` (k - K)))
27	26	19.23aiv 1293	. 2 |- (E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x -> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) = sum_k e. (ZZ>` N)(F` (k - K)))
28	2	isumnul 7146	. . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ -. E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) = (/))
29	1, 28	mpan 694	. . . 4 |- (-. E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x -> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) = (/))
30	10	exbii 1049	. . . . . 6 |- (E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x <-> E.x(<.N, + >. seq (F shift K)) ~~> x)
31	30	negbii 187	. . . . 5 |- (-. E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x <-> -. E.x(<.N, + >. seq (F shift K)) ~~> x)
32	14	isumnul 7146	. . . . . 6 |- ((N e. ZZ /\ -. E.x(<.N, + >. seq (F shift K)) ~~> x) -> sum_k e. (ZZ>` N)((F shift K)` k) = (/))
33	13, 32	mpan 694	. . . . 5 |- (-. E.x(<.N, + >. seq (F shift K)) ~~> x -> sum_k e. (ZZ>` N)((F shift K)` k) = (/))
34	31, 33	sylbi 199	. . . 4 |- (-. E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x -> sum_k e. (ZZ>` N)((F shift K)` k) = (/))
35	29, 34	eqtr4d 1507	. . 3 |- (-. E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x -> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) = sum_k e. (ZZ>` N)((F shift K)` k))
36	35, 24	syl6eq 1520	. 2 |- (-. E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x -> sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) = sum_k e. (ZZ>` N)(F` (k - K)))
37	27, 36	pm2.61i 126	1 |- sum_k e. (ZZ>` M)(F` k) = sum_k e. (ZZ>` N)(F` (k - K))

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  Vcvv 1807  (/)c0 2276  <.cop 2407   class class class wbr 2614  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212   + caddc 5217   - cmin 5272  ZZcz 5278   shift cshi 6285  ZZ>cuz 6357   seq cseqz 6471   ~~> cli 6920  sum_csu 6925

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-shft 6286  df-uz 6358  df-fz 6408  df-seqz 6473  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-clim 6921  df-sum 6926

Copyright terms: Public domain