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Theorem isvclem 22056
Description: Lemma for isvc 22060. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
isvclem.1  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
isvclem  |-  ( ( G  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( <. G ,  S >.  e.  CVec OLD  <->  ( G  e. 
AbelOp  /\  S : ( CC  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  ( (
1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, G    x, S, y, z    x, X, z
Allowed substitution hint:    X( y)

Proof of Theorem isvclem
Dummy variables  g 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-vc 22025 . . 3  |-  CVec OLD  =  { <. g ,  s
>.  |  ( g  e.  AbelOp  /\  s :
( CC  X.  ran  g ) --> ran  g  /\  A. x  e.  ran  g ( ( 1 s x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  ran  g ( y s ( x g z ) )  =  ( ( y s x ) g ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) g ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) ) ) }
21eleq2i 2500 . 2  |-  ( <. G ,  S >.  e. 
CVec OLD  <->  <. G ,  S >.  e.  { <. g ,  s >.  |  ( g  e.  AbelOp  /\  s : ( CC  X.  ran  g ) --> ran  g  /\  A. x  e.  ran  g ( ( 1 s x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  ran  g ( y s ( x g z ) )  =  ( ( y s x ) g ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) g ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) ) ) } )
3 eleq1 2496 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  (
g  e.  AbelOp  <->  G  e.  AbelOp ) )
4 rneq 5095 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  ran  g  =  ran  G )
5 isvclem.1 . . . . . 6  |-  X  =  ran  G
64, 5syl6eqr 2486 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  ran  g  =  X )
7 xpeq2 4893 . . . . . . 7  |-  ( ran  g  =  X  -> 
( CC  X.  ran  g )  =  ( CC  X.  X ) )
87feq2d 5581 . . . . . 6  |-  ( ran  g  =  X  -> 
( s : ( CC  X.  ran  g
) --> ran  g  <->  s :
( CC  X.  X
) --> ran  g )
)
9 feq3 5578 . . . . . 6  |-  ( ran  g  =  X  -> 
( s : ( CC  X.  X ) --> ran  g  <->  s :
( CC  X.  X
) --> X ) )
108, 9bitrd 245 . . . . 5  |-  ( ran  g  =  X  -> 
( s : ( CC  X.  ran  g
) --> ran  g  <->  s :
( CC  X.  X
) --> X ) )
116, 10syl 16 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  (
s : ( CC 
X.  ran  g ) --> ran  g  <->  s : ( CC  X.  X ) --> X ) )
12 oveq 6087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  G  ->  (
x g z )  =  ( x G z ) )
1312oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
y s ( x g z ) )  =  ( y s ( x G z ) ) )
14 oveq 6087 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
( y s x ) g ( y s z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) ) )
1513, 14eqeq12d 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
( y s ( x g z ) )  =  ( ( y s x ) g ( y s z ) )  <->  ( y
s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) ) ) )
166, 15raleqbidv 2916 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  ( A. z  e.  ran  g ( y s ( x g z ) )  =  ( ( y s x ) g ( y s z ) )  <->  A. z  e.  X  ( y s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) ) ) )
17 oveq 6087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  G  ->  (
( y s x ) g ( z s x ) )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) ) )
1817eqeq2d 2447 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) g ( z s x ) )  <->  ( (
y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) ) ) )
1918anbi1d 686 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) g ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) )  <->  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) )
2019ralbidv 2725 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  ( A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) g ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) )  <->  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) )
2116, 20anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
( A. z  e. 
ran  g ( y s ( x g z ) )  =  ( ( y s x ) g ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) g ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) )  <->  ( A. z  e.  X  (
y s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) ) )
2221ralbidv 2725 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  ( A. y  e.  CC  ( A. z  e.  ran  g ( y s ( x g z ) )  =  ( ( y s x ) g ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) g ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) )  <->  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y
s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) ) )
2322anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( 1 s x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  ran  g ( y s ( x g z ) )  =  ( ( y s x ) g ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) g ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) )  <-> 
( ( 1 s x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y
s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) ) ) )
246, 23raleqbidv 2916 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  ( A. x  e.  ran  g ( ( 1 s x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  ran  g ( y s ( x g z ) )  =  ( ( y s x ) g ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) g ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) )  <->  A. x  e.  X  ( ( 1 s x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y
s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) ) ) )
253, 11, 243anbi123d 1254 . . 3  |-  ( g  =  G  ->  (
( g  e.  AbelOp  /\  s : ( CC 
X.  ran  g ) --> ran  g  /\  A. x  e.  ran  g ( ( 1 s x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  ran  g ( y s ( x g z ) )  =  ( ( y s x ) g ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) g ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) ) )  <->  ( G  e. 
AbelOp  /\  s : ( CC  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  ( (
1 s x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) ) ) ) )
26 feq1 5576 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  (
s : ( CC 
X.  X ) --> X  <-> 
S : ( CC 
X.  X ) --> X ) )
27 oveq 6087 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
1 s x )  =  ( 1 S x ) )
2827eqeq1d 2444 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  (
( 1 s x )  =  x  <->  ( 1 S x )  =  x ) )
29 oveq 6087 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
y s ( x G z ) )  =  ( y S ( x G z ) ) )
30 oveq 6087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
y s x )  =  ( y S x ) )
31 oveq 6087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
y s z )  =  ( y S z ) )
3230, 31oveq12d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
( y s x ) G ( y s z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) )
3329, 32eqeq12d 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
( y s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) )  <->  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) ) )
3433ralbidv 2725 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ( A. z  e.  X  ( y s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) )  <->  A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) ) ) )
35 oveq 6087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
( y  +  z ) s x )  =  ( ( y  +  z ) S x ) )
36 oveq 6087 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  (
z s x )  =  ( z S x ) )
3730, 36oveq12d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
( y s x ) G ( z s x ) )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) ) )
3835, 37eqeq12d 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  <->  ( (
y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) ) ) )
39 oveq 6087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
( y  x.  z
) s x )  =  ( ( y  x.  z ) S x ) )
40 oveq 6087 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  (
y s ( z s x ) )  =  ( y S ( z s x ) ) )
4136oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  (
y S ( z s x ) )  =  ( y S ( z S x ) ) )
4240, 41eqtrd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
y s ( z s x ) )  =  ( y S ( z S x ) ) )
4339, 42eqeq12d 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) )  <->  ( (
y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) )
4438, 43anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) )  <->  ( ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) )
4544ralbidv 2725 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ( A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) )  <->  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) )
4634, 45anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. z  e.  X  ( y s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) )  <->  ( A. z  e.  X  (
y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) )
4746ralbidv 2725 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) )  <->  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) )
4828, 47anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( 1 s x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y
s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) )  <-> 
( ( 1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) ) )
4948ralbidv 2725 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  X  ( ( 1 s x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y
s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) )  <->  A. x  e.  X  ( ( 1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) ) )
5026, 493anbi23d 1257 . . 3  |-  ( s  =  S  ->  (
( G  e.  AbelOp  /\  s : ( CC 
X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  ( ( 1 s x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y
s ( x G z ) )  =  ( ( y s x ) G ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) G ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) ) )  <->  ( G  e. 
AbelOp  /\  S : ( CC  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  ( (
1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) ) ) )
5125, 50opelopabg 4473 . 2  |-  ( ( G  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( <. G ,  S >.  e.  { <. g ,  s >.  |  ( g  e.  AbelOp  /\  s : ( CC  X.  ran  g ) --> ran  g  /\  A. x  e.  ran  g ( ( 1 s x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  ran  g ( y s ( x g z ) )  =  ( ( y s x ) g ( y s z ) )  /\  A. z  e.  CC  ( ( ( y  +  z ) s x )  =  ( ( y s x ) g ( z s x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) s x )  =  ( y s ( z s x ) ) ) ) ) ) }  <->  ( G  e.  AbelOp  /\  S :
( CC  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  (
( 1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) ) ) )
522, 51syl5bb 249 1  |-  ( ( G  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( <. G ,  S >.  e.  CVec OLD  <->  ( G  e. 
AbelOp  /\  S : ( CC  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  ( (
1 S x )  =  x  /\  A. y  e.  CC  ( A. z  e.  X  ( y S ( x G z ) )  =  ( ( y S x ) G ( y S z ) )  /\  A. z  e.  CC  (
( ( y  +  z ) S x )  =  ( ( y S x ) G ( z S x ) )  /\  ( ( y  x.  z ) S x )  =  ( y S ( z S x ) ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   _Vcvv 2956   <.cop 3817   {copab 4265    X. cxp 4876   ran crn 4879   -->wf 5450  (class class class)co 6081   CCcc 8988   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995   AbelOpcablo 21869   CVec
OLDcvc 22024
This theorem is referenced by:  vcoprnelem  22057  isvc  22060
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fv 5462  df-ov 6084  df-vc 22025
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