Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2cn Unicode version

Theorem itg2cn 19112
 Description: A sort of absolute continuity of the Lebesgue integral (this is the core of ftc1a 19378 which is about actual absolute continuity). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2cn.1
itg2cn.2 MblFn
itg2cn.3
itg2cn.4
Assertion
Ref Expression
itg2cn
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem itg2cn
StepHypRef Expression
1 itg2cn.3 . . . . . 6
2 itg2cn.4 . . . . . . 7
32rphalfcld 10397 . . . . . 6
41, 3ltsubrpd 10413 . . . . 5
53rpred 10385 . . . . . . 7
61, 5resubcld 9206 . . . . . 6
76, 1ltnled 8961 . . . . 5
84, 7mpbid 203 . . . 4
9 itg2cn.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10 ffvelrn 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
119, 10sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12 elrege0 10740 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1311, 12sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15
1413simpld 447 . . . . . . . . . . . . . 14
1514rexrd 8876 . . . . . . . . . . . . 13
1613simprd 451 . . . . . . . . . . . . 13
17 elxrge0 10741 . . . . . . . . . . . . 13
1815, 16, 17sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . 12
19 0xr 8873 . . . . . . . . . . . . 13
20 0le0 9822 . . . . . . . . . . . . 13
21 elxrge0 10741 . . . . . . . . . . . . 13
2219, 20, 21mpbir2an 888 . . . . . . . . . . . 12
23 ifcl 3602 . . . . . . . . . . . 12
2418, 22, 23sylancl 645 . . . . . . . . . . 11
2524adantlr 697 . . . . . . . . . 10
26 eqid 2284 . . . . . . . . . 10
2725, 26fmptd 5645 . . . . . . . . 9
28 itg2cl 19081 . . . . . . . . 9
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8
30 eqid 2284 . . . . . . . 8
3129, 30fmptd 5645 . . . . . . 7
32 frn 5360 . . . . . . 7
3331, 32syl 17 . . . . . 6
346rexrd 8876 . . . . . 6
35 supxrleub 10639 . . . . . 6
3633, 34, 35syl2anc 644 . . . . 5
37 itg2cn.2 . . . . . . 7 MblFn
389, 37, 1itg2cnlem1 19110 . . . . . 6
3938breq1d 4034 . . . . 5
40 ffn 5354 . . . . . . 7
4131, 40syl 17 . . . . . 6
42 breq1 4027 . . . . . . . 8
4342ralrn 5629 . . . . . . 7
44 breq2 4028 . . . . . . . . . . . . 13
4544ifbid 3584 . . . . . . . . . . . 12
4645mpteq2dv 4108 . . . . . . . . . . 11
4746fveq2d 5489 . . . . . . . . . 10
48 fvex 5499 . . . . . . . . . 10
4947, 30, 48fvmpt 5563 . . . . . . . . 9
5049breq1d 4034 . . . . . . . 8
5150ralbiia 2576 . . . . . . 7
5243, 51syl6bb 254 . . . . . 6
5341, 52syl 17 . . . . 5
5436, 39, 533bitr3d 276 . . . 4
558, 54mtbid 293 . . 3
56 rexnal 2555 . . 3
5755, 56sylibr 205 . 2
589adantr 453 . . . . . 6
5937adantr 453 . . . . . 6 MblFn
601adantr 453 . . . . . 6
612adantr 453 . . . . . 6
62 simprl 734 . . . . . 6
63 simprr 735 . . . . . . 7
64 fveq2 5485 . . . . . . . . . . . 12
6564breq1d 4034 . . . . . . . . . . 11
66 eqidd 2285 . . . . . . . . . . 11
6765, 64, 66ifbieq12d 3588 . . . . . . . . . 10
6867cbvmptv 4112 . . . . . . . . 9
6968fveq2i 5488 . . . . . . . 8
7069breq1i 4031 . . . . . . 7
7163, 70sylnib 297 . . . . . 6
7258, 59, 60, 61, 62, 71itg2cnlem2 19111 . . . . 5
73 elequ1 1688 . . . . . . . . . . . 12
7473, 64, 66ifbieq12d 3588 . . . . . . . . . . 11
7574cbvmptv 4112 . . . . . . . . . 10
7675fveq2i 5488 . . . . . . . . 9
7776breq1i 4031 . . . . . . . 8
7877imbi2i 305 . . . . . . 7
7978ralbii 2568 . . . . . 6
8079rexbii 2569 . . . . 5
8172, 80sylibr 205 . . . 4
8281expr 600 . . 3
8382rexlimdva 2668 . 2
8457, 83mpd 16 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 5   wi 6   wb 178   wa 360   wceq 1624   wcel 1685  wral 2544  wrex 2545   wss 3153  cif 3566   class class class wbr 4024   cmpt 4078   cdm 4688   crn 4689   wfn 5216  wf 5217  cfv 5221  (class class class)co 5819  csup 7188  cr 8731  cc0 8732   cpnf 8859  cxr 8861   clt 8862   cle 8863   cmin 9032   cdiv 9418  cn 9741  c2 9790  crp 10349  cico 10652  cicc 10653  cvol 18817  MblFncmbf 18963  citg2 18965 This theorem is referenced by:  itgcn  19191 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cc 8056  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-disj 3995  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-ofr 6040  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-acn 7570  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ioc 10655  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-seq 11041  df-exp 11099  df-hash 11332  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-sum 12153  df-rest 13321  df-topgen 13338  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-cmp 17108  df-ovol 18818  df-vol 18819  df-mbf 18969  df-itg1 18970  df-itg2 18971  df-0p 19019
 Copyright terms: Public domain W3C validator