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Theorem itg2cn 19524
Description: A sort of absolute continuity of the Lebesgue integral (this is the core of ftc1a 19790 which is about actual absolute continuity). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2cn.1  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
itg2cn.2  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2cn.3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
itg2cn.4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
itg2cn  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
) )
Distinct variable groups:    u, d, x, C    F, d, u, x    ph, u, x
Allowed substitution hint:    ph( d)

Proof of Theorem itg2cn
Dummy variables  m  y  z  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2cn.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
2 itg2cn.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
32rphalfcld 10594 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  /  2
)  e.  RR+ )
41, 3ltsubrpd 10610 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  <  ( S.2 `  F
) )
53rpred 10582 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  /  2
)  e.  RR )
61, 5resubcld 9399 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  e.  RR )
76, 1ltnled 9154 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) )  <  ( S.2 `  F
)  <->  -.  ( S.2 `  F )  <_  (
( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) ) ) )
84, 7mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( S.2 `  F
)  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) )
9 itg2cn.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
109ffvelrnda 5811 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
11 elrege0 10941 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
1210, 11sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x
) ) )
1312simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
1413rexrd 9069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e. 
RR* )
1512simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( F `  x
) )
16 elxrge0 10942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR*  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
1714, 15, 16sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
18 0xr 9066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR*
19 0le0 10015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  0
20 elxrge0 10942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0 ) )
2118, 19, 20mpbir2an 887 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
22 ifcl 3720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
2317, 21, 22sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
2423adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
25 eqid 2389 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )
2624, 25fmptd 5834 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
27 itg2cl 19493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e. 
RR* )
2826, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e. 
RR* )
29 eqid 2389 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
3028, 29fmptd 5834 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) : NN --> RR* )
31 frn 5539 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) : NN --> RR*  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) 
C_  RR* )
3230, 31syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) 
C_  RR* )
336rexrd 9069 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  e.  RR* )
34 supxrleub 10839 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) 
C_  RR*  /\  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) z  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) ) ) )
3532, 33, 34syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) z  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) ) ) )
36 itg2cn.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
379, 36, 1itg2cnlem1 19522 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  ( S.2 `  F
) )
3837breq1d 4165 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  <-> 
( S.2 `  F )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) ) ) )
39 ffn 5533 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) : NN --> RR*  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )  Fn  NN )
4030, 39syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) )  Fn  NN )
41 breq1 4158 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) `
 m )  -> 
( z  <_  (
( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) )  <->  ( (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) `  m )  <_  (
( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) ) ) )
4241ralrn 5814 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) z  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) `
 m )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) ) )
43 breq2 4159 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( F `  x
)  <_  n  <->  ( F `  x )  <_  m
) )
4443ifbid 3702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )
4544mpteq2dv 4239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
4645fveq2d 5674 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
47 fvex 5684 . . . . . . . . . 10  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e. 
_V
4846, 29, 47fvmpt 5747 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) `  m )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) )
4948breq1d 4165 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) `
 m )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  <-> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  (
( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) ) ) )
5049ralbiia 2683 . . . . . . 7  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) `  m )  <_  (
( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) )  <->  A. m  e.  NN  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
5142, 50syl6bb 253 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) z  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) )  <->  A. m  e.  NN  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) ) )
5240, 51syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) z  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) )  <->  A. m  e.  NN  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) ) )
5335, 38, 523bitr3d 275 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) )  <->  A. m  e.  NN  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) ) )
548, 53mtbid 292 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  A. m  e.  NN  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
55 rexnal 2662 . . 3  |-  ( E. m  e.  NN  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  (
( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) )  <->  -.  A. m  e.  NN  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
5654, 55sylibr 204 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  -.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
579adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
5836adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) ) )  ->  F  e. MblFn )
591adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) ) )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
602adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) ) )  ->  C  e.  RR+ )
61 simprl 733 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) ) )  ->  m  e.  NN )
62 simprr 734 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) ) )  ->  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
63 fveq2 5670 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
6463breq1d 4165 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  <_  m  <->  ( F `  y )  <_  m
) )
65 eqidd 2390 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  0  =  0 )
6664, 63, 65ifbieq12d 3706 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  if ( ( F `  y
)  <_  m , 
( F `  y
) ,  0 ) )
6766cbvmptv 4243 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( F `  y
)  <_  m , 
( F `  y
) ,  0 ) )
6867fveq2i 5673 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( ( F `  y )  <_  m ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) )
6968breq1i 4162 . . . . 5  |-  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  (
( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) )  <->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( ( F `  y )  <_  m ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
7062, 69sylnib 296 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) ) )  ->  -.  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( ( F `  y )  <_  m ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
7157, 58, 59, 60, 61, 70itg2cnlem2 19523 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( F `  y
) ,  0 ) ) )  <  C
) )
72 elequ1 1720 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  u  <->  y  e.  u ) )
7372, 63, 65ifbieq12d 3706 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  if ( y  e.  u ,  ( F `  y
) ,  0 ) )
7473cbvmptv 4243 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( F `  y
) ,  0 ) )
7574fveq2i 5673 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) )
7675breq1i 4162 . . . . . 6  |-  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C  <->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( F `  y
) ,  0 ) ) )  <  C
)
7776imbi2i 304 . . . . 5  |-  ( ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
)  <->  ( ( vol `  u )  <  d  ->  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) )  < 
C ) )
7877ralbii 2675 . . . 4  |-  ( A. u  e.  dom  vol (
( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
)  <->  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( F `  y
) ,  0 ) ) )  <  C
) )
7978rexbii 2676 . . 3  |-  ( E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u )  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <  C )  <->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u )  <  d  ->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) )  <  C ) )
8071, 79sylibr 204 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
) )
8156, 80rexlimddv 2779 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1717   A.wral 2651   E.wrex 2652    C_ wss 3265   ifcif 3684   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   dom cdm 4820   ran crn 4821    Fn wfn 5391   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   supcsup 7382   RRcr 8924   0cc0 8925    +oocpnf 9052   RR*cxr 9054    < clt 9055    <_ cle 9056    - cmin 9225    / cdiv 9611   NNcn 9934   2c2 9983   RR+crp 10546   [,)cico 10852   [,]cicc 10853   volcvol 19229  MblFncmbf 19375   S.2citg2 19377
This theorem is referenced by:  itgcn  19603
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cc 8250  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-disj 4126  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-ofr 6247  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-omul 6667  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-acn 7764  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ioo 10854  df-ioc 10855  df-ico 10856  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-clim 12211  df-rlim 12212  df-sum 12409  df-rest 13579  df-topgen 13596  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-cmp 17374  df-ovol 19230  df-vol 19231  df-mbf 19381  df-itg1 19382  df-itg2 19383  df-0p 19431
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