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Theorem itg2const2 19501
Description: When the base set of a constant function has infinite volume, the integral is also infinite and vice-versa. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2const2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( ( vol `  A
)  e.  RR  <->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem itg2const2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 731 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  A  e.  dom  vol )
2 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR )
3 rpre 10551 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
43ad2antlr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
5 rpge0 10557 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR+  ->  0  <_  B )
65ad2antlr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  0  <_  B
)
7 elrege0 10940 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
84, 6, 7sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
9 itg2const 19500 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  =  ( B  x.  ( vol `  A ) ) )
101, 2, 8, 9syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  =  ( B  x.  ( vol `  A ) ) )
114, 2remulcld 9050 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( B  x.  ( vol `  A ) )  e.  RR )
1210, 11eqeltrd 2462 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
13 mblvol 19294 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  =  ( vol * `  A ) )
1413ad2antrr 707 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  =  ( vol
* `  A )
)
15 mblss 19295 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
1615ad3antrrr 711 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( vol * `  A )  <_  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  ->  A  C_  RR )
17 peano2re 9172 . . . . . . . 8  |-  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  e.  RR )
1817adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  e.  RR )
19 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  B  e.  RR+ )
2018, 19rerpdivcld 10608 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR )
2120adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( vol * `  A )  <_  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  ->  ( (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR )
22 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( vol * `  A )  <_  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  ->  ( vol * `
 A )  <_ 
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )
23 ovollecl 19247 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR  /\  ( vol * `  A )  <_  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  ->  ( vol * `
 A )  e.  RR )
2416, 21, 22, 23syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( vol * `  A )  <_  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  ->  ( vol * `
 A )  e.  RR )
25 simplll 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A ) )  ->  A  e.  dom  vol )
2620adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A ) )  -> 
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR )
2726rexrd 9068 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A ) )  -> 
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR* )
28 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
293ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
3029rexrd 9068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
315ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  B
)
32 elxrge0 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B ) )
3330, 31, 32sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
34 0xr 9065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR*
35 0le0 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <_  0
36 elxrge0 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0 ) )
3734, 35, 36mpbir2an 887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
38 ifcl 3719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
3933, 37, 38sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
40 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
4139, 40fmptd 5833 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
4241adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
43 itg2ge0 19495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  0  <_  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
4528, 44ge0p1rpd 10607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  e.  RR+ )
4645, 19rpdivcld 10598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR+ )
4746rpge0d 10585 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  0  <_  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )
4847adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A ) )  -> 
0  <_  ( (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )
4914breq2d 4166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol `  A
)  <->  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A ) ) )
5049biimpar 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A ) )  -> 
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol `  A
) )
51 iccssxr 10926 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
52 volf 19293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] 
+oo )
5352ffvelrni 5809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
5451, 53sseldi 3290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  RR* )
5525, 54syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A ) )  -> 
( vol `  A
)  e.  RR* )
56 elicc1 10893 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( vol `  A )  e. 
RR* )  ->  (
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  ( 0 [,] ( vol `  A
) )  <->  ( (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR*  /\  0  <_  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol `  A
) ) ) )
5734, 55, 56sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A ) )  -> 
( ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  ( 0 [,] ( vol `  A
) )  <->  ( (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR*  /\  0  <_  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol `  A
) ) ) )
5827, 48, 50, 57mpbir3and 1137 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A ) )  -> 
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  ( 0 [,] ( vol `  A
) ) )
59 volivth 19367 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  ( 0 [,] ( vol `  A
) ) )  ->  E. z  e.  dom  vol ( z  C_  A  /\  ( vol `  z
)  =  ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) )
6025, 58, 59syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A ) )  ->  E. z  e.  dom  vol ( z  C_  A  /\  ( vol `  z
)  =  ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) )
6160ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A )  ->  E. z  e.  dom  vol ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )
62 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
z  e.  dom  vol )
63 simprrr 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( vol `  z
)  =  ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )
6420adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR )
6563, 64eqeltrd 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( vol `  z
)  e.  RR )
663ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
6766adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
6819adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
6968rpge0d 10585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
0  <_  B )
7067, 69, 7sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
71 itg2const 19500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  dom  vol  /\  ( vol `  z
)  e.  RR  /\  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) )  =  ( B  x.  ( vol `  z ) ) )
7262, 65, 70, 71syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) )  =  ( B  x.  ( vol `  z ) ) )
7363oveq2d 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( B  x.  ( vol `  z ) )  =  ( B  x.  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) )
7418recnd 9048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  e.  CC )
7566recnd 9048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
76 rpne0 10560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  =/=  0 )
7776ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  B  =/=  0
)
7874, 75, 77divcan2d 9725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( B  x.  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 ) )
7978adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( B  x.  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 ) )
8072, 73, 793eqtrd 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 ) )
813adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
8281rexrd 9068 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR* )
835adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  0  <_  B )
8482, 83, 32sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
85 ifcl 3719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
8684, 37, 85sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  if ( x  e.  z ,  B , 
0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
8786adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
88 eqid 2388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )
8987, 88fmptd 5833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
9089ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
9142adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
92 simpl 444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ ) )
93 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  dom  vol  /\  ( z  C_  A  /\  ( vol `  z
)  =  ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) )  ->  z  C_  A )
9481ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  z
)  ->  B  e.  RR )
9594leidd 9526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  z
)  ->  B  <_  B )
96 iftrue 3689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  z  ->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  =  B )
9796adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  z
)  ->  if (
x  e.  z ,  B ,  0 )  =  B )
98 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  ->  z  C_  A )
9998sselda 3292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  z
)  ->  x  e.  A )
100 iftrue 3689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
10199, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  z
)  ->  if (
x  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
10295, 97, 1013brtr4d 4184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  z
)  ->  if (
x  e.  z ,  B ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
103 iffalse 3690 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  e.  z  ->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  =  0 )
104103adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  z )  ->  if (
x  e.  z ,  B ,  0 )  =  0 )
105 breq2 4158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  =  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  -> 
( 0  <_  B  <->  0  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
106 breq2 4158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  =  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  -> 
( 0  <_  0  <->  0  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
107105, 106ifboth 3714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  <_  B  /\  0  <_  0 )  -> 
0  <_  if (
x  e.  A ,  B ,  0 ) )
10883, 35, 107sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  0  <_  if (
x  e.  A ,  B ,  0 ) )
109108ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  z )  ->  0  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
110104, 109eqbrtrd 4174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  z )  ->  if (
x  e.  z ,  B ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
111102, 110pm2.61dan 767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
112111ralrimiva 2733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A
)  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
113 reex 9015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  RR  e.  _V )
115 eqidd 2389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) )
116 eqidd 2389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
117114, 87, 39, 115, 116ofrfval2 6263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  o R  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  <_  if (
x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
118117biimpar 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  o R  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
119112, 118syldan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A
)  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  o R  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
12092, 93, 119syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
121 itg2le 19499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  o R  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
12290, 91, 120, 121syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
12380, 122eqbrtrrd 4176 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
124 ltp1 9781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  <  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 ) )
125124ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  <  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 ) )
126 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
12717ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  e.  RR )
128126, 127ltnled 9153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  <  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  <->  -.  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  <_  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) ) )
129125, 128mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  ->  -.  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
130123, 129pm2.21dd 101 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( vol * `  A )  e.  RR )
131130rexlimdvaa 2775 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  dom  vol ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  ->  ( vol * `
 A )  e.  RR ) )
13261, 131syld 42 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A )  ->  ( vol * `  A )  e.  RR ) )
133132imp 419 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A ) )  -> 
( vol * `  A )  e.  RR )
13454ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR* )
13514, 134eqeltrrd 2463 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  A )  e.  RR* )
13620rexrd 9068 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR* )
137 xrletri 10677 . . . . 5  |-  ( ( ( vol * `  A )  e.  RR*  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR* )  ->  (
( vol * `  A )  <_  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  \/  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A ) ) )
138135, 136, 137syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( vol
* `  A )  <_  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  \/  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol * `  A ) ) )
13924, 133, 138mpjaodan 762 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  A )  e.  RR )
14014, 139eqeltrd 2462 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR )
14112, 140impbida 806 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( ( vol `  A
)  e.  RR  <->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650   E.wrex 2651   _Vcvv 2900    C_ wss 3264   ifcif 3683   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   dom cdm 4819   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    o Rcofr 6244   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    x. cmul 8929    +oocpnf 9051   RR*cxr 9053    < clt 9054    <_ cle 9055    / cdiv 9610   RR+crp 10545   [,)cico 10851   [,]cicc 10852   vol *covol 19227   volcvol 19228   S.2citg2 19376
This theorem is referenced by:  itg2gt0  19520
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cc 8249  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-disj 4125  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-ofr 6246  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-rest 13578  df-topgen 13595  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-cmp 17373  df-cncf 18780  df-ovol 19229  df-vol 19230  df-mbf 19380  df-itg1 19381  df-itg2 19382  df-0p 19430
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