MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2gt0 Structured version   Unicode version

Theorem itg2gt0 19642
Description: If the function  F is strictly positive on a set of positive measure, then the integral of the function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2gt0.1  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
itg2gt0.2  |-  ( ph  ->  0  <  ( vol `  A ) )
itg2gt0.3  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
itg2gt0.4  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2gt0.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <  ( F `  x
) )
Assertion
Ref Expression
itg2gt0  |-  ( ph  ->  0  <  ( S.2 `  F ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    ph, x

Proof of Theorem itg2gt0
Dummy variables  k  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2gt0.2 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  ( vol `  A ) )
2 itg2gt0.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
3 iccssxr 10983 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
4 volf 19415 . . . . . . . . 9  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] 
+oo )
54ffvelrni 5861 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
63, 5sseldi 3338 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  RR* )
72, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol `  A
)  e.  RR* )
87adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  A )  e. 
RR* )
9 itg2gt0.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
10 reex 9071 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  e.  _V
11 fex 5961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  RR  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
129, 10, 11sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
13 cnvexg 5397 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  _V  ->  `' F  e.  _V )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  `' F  e.  _V )
15 imaexg 5209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  e.  _V )
1716adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )
18 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )
1917, 18fmptd 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) : NN --> _V )
20 ffn 5583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) : NN --> _V  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  Fn  NN )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  Fn  NN )
22 fniunfv 5986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  Fn  NN  ->  U_ k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  = 
U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k )  =  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )
24 itg2gt0.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
25 0re 9081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
26 pnfxr 10703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  +oo  e.  RR*
27 icossre 10981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
2825, 26, 27mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
29 fss 5591 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )  ->  F : RR
--> RR )
309, 28, 29sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
31 mbfima 19514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : RR
--> RR )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
3224, 30, 31syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
3332adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
3433, 18fmptd 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) : NN --> dom  vol )
3534ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  e. 
dom  vol )
3635ralrimiva 2781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol )
37 iunmbl 19437 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  e. 
dom  vol  ->  U_ k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  e. 
dom  vol )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol )
3923, 38eqeltrrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol )
40 mblss 19417 . . . . . . . 8  |-  ( U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol  ->  U.
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  C_  RR )
4139, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) 
C_  RR )
42 ovolcl 19364 . . . . . . 7  |-  ( U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) 
C_  RR  ->  ( vol
* `  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  e.  RR* )
4341, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  e.  RR* )
4443adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  e.  RR* )
45 0xr 9121 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
4645a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  0  e.  RR* )
47 mblvol 19416 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  =  ( vol * `  A ) )
482, 47syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol `  A
)  =  ( vol
* `  A )
)
49 mblss 19417 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
502, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
5150sselda 3340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
529ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
53 elrege0 10997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
5452, 53sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x
) ) )
5554simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
5651, 55syldan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
57 itg2gt0.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <  ( F `  x
) )
58 nnrecl 10209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  0  <  ( F `  x ) )  ->  E. k  e.  NN  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )
5956, 57, 58syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. k  e.  NN  ( 1  / 
k )  <  ( F `  x )
)
60 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  ->  F  Fn  RR )
619, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
6261ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
63 elpreima 5842 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  Fn  RR  ->  (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) )
6551adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
6665biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) )
67 nnrecre 10026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
6867adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  RR )
6968rexrd 9124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e. 
RR* )
7069adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR* )
71 elioopnf 10988 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  k )  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( ( 1  /  k ) (,) 
+oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,)  +oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
7364, 66, 723bitr2d 273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
74 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
75 imaexg 5209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )
7614, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )  e.  _V )
7776adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )
78 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
7978oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  n
) (,)  +oo )  =  ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )
8079imaeq2d 5195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )
8180, 18fvmptg 5796 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )
8274, 77, 81syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )
8382eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  <->  x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) )
8456adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
8584biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  <  ( F `  x )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
8673, 83, 853bitr4rd 278 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  <  ( F `  x )  <->  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k ) ) )
8786rexbidva 2714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. k  e.  NN  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x )  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) ) )
8859, 87mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )
8988ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  E. k  e.  NN  x  e.  ( (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) ) )
90 eluni2 4011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  <->  E. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) x  e.  z )
91 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  -> 
( x  e.  z  <-> 
x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) ) )
9291rexrn 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  Fn  NN  ->  ( E. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) x  e.  z  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) ) )
9321, 92syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) x  e.  z  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) ) )
9490, 93syl5bb 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) ) )
9589, 94sylibrd 226 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
9695ssrdv 3346 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )
97 ovolss 19371 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  /\  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) 
C_  RR )  -> 
( vol * `  A )  <_  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
9896, 41, 97syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  <_  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
9948, 98eqbrtrd 4224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol `  A
)  <_  ( vol * `
 U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
10099adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  A )  <_ 
( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
101 mblvol 19416 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  =  ( vol
* `  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
10239, 101syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  =  ( vol
* `  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
103 peano2nn 10002 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
104103adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
105 nnrecre 10026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
1  /  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
106104, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
107106rexrd 9124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  e. 
RR* )
108 nnre 9997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
109108adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
110109lep1d 9932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  <_ 
( k  +  1 ) )
111 nngt0 10019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  k )
112111adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
k )
113104nnred 10005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
114104nngt0d 10033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( k  +  1 ) )
115 lerec 9882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  0  <  k )  /\  ( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( k  +  1 ) ) )  -> 
( k  <_  (
k  +  1 )  <-> 
( 1  /  (
k  +  1 ) )  <_  ( 1  /  k ) ) )
116109, 112, 113, 114, 115syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  <_  ( k  +  1 )  <->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  k
) ) )
117110, 116mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  k
) )
118 iooss1 10941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  (
k  +  1 ) )  e.  RR*  /\  (
1  /  ( k  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
k ) )  -> 
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo )  C_  ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) 
+oo ) )
119107, 117, 118syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  k ) (,)  +oo )  C_  (
( 1  /  (
k  +  1 ) ) (,)  +oo )
)
120 imass2 5232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  k
) (,)  +oo )  C_  ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,)  +oo )  ->  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )  C_  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) ) )
121119, 120syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  C_  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) ) )
12274, 76, 81syl2anr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )
123 imaexg 5209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )
12414, 123syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) )  e.  _V )
125 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) )
126125oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 1  /  n
) (,)  +oo )  =  ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) )
127126imaeq2d 5195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) ) )
128127, 18fvmptg 5796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) ) )
129103, 124, 128syl2anr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) ) )
130121, 122, 1293sstr4d 3383 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  C_  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
131130ralrimiva 2781 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k )  C_  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) )
132 volsup 19440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) : NN --> dom  vol  /\ 
A. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k )  C_  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) )  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  =  sup (
( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
13334, 131, 132syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  =  sup (
( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
134102, 133eqtr3d 2469 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  =  sup ( ( vol " ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
135134adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  =  sup (
( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
13676adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )
13774, 136, 81syl2anr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )
138137fveq2d 5724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )  =  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) )
13945a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  0  e.  RR* )
140 nnrecgt0 10027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  ( 1  /  k
) )
141140adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( 1  /  k
) )
142 ltle 9153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  /  k
)  ->  0  <_  ( 1  /  k ) ) )
14325, 68, 142sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0  <  ( 1  / 
k )  ->  0  <_  ( 1  /  k
) ) )
144141, 143mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( 1  /  k
) )
145 elxrge0 10998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( (
1  /  k )  e.  RR*  /\  0  <_  ( 1  /  k
) ) )
14669, 144, 145sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
147 0le0 10071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <_  0
148 elxrge0 10998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0 ) )
14945, 147, 148mpbir2an 887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
150 ifcl 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1  /  k
)  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
151146, 149, 150sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
152151adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
153 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )
154152, 153fmptd 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
155154adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
156 itg2cl 19614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )
157155, 156syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )
158 rexr 9120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
159158anim1i 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )
)
160 elrege0 10997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
161 elxrge0 10998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  0  <_  x ) )
162159, 160, 1613imtr4i 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  x  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
163162ssriv 3344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (
0 [,]  +oo )
164 fss 5591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
1659, 163, 164sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
166 itg2cl 19614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )
167165, 166syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR* )
168167adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )
169 0nrp 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -.  0  e.  RR+
170 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
171122, 35eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
172171adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
173172adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
174170, 25syl6eqelr 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
17568, 141elrpd 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  RR+ )
176175adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
177176adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  RR+ )
178 itg2const2 19623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( 1  / 
k )  e.  RR+ )  ->  ( ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
179173, 177, 178syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
180174, 179mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  e.  RR )
181 elrege0 10997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( (
1  /  k )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  k
) ) )
18268, 144, 181sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
183182adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
1  /  k )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
184183adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
185 itg2const 19622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  e.  RR  /\  (
1  /  k )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  =  ( ( 1  /  k
)  x.  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) ) )
186173, 180, 184, 185syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  =  ( ( 1  /  k
)  x.  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) ) )
187170, 186eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
0  =  ( ( 1  /  k )  x.  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )
188 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
0  <  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) )
189180, 188elrpd 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  e.  RR+ )
190177, 189rpmulcld 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( ( 1  / 
k )  x.  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) )  e.  RR+ )
191187, 190eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
0  e.  RR+ )
192191ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  ->  0  e.  RR+ ) )
193169, 192mtoi 171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  -.  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
194 itg2ge0 19617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  0  <_  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
195155, 194syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  0  <_  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
196 xrleloe 10727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )  ->  ( 0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <->  ( 0  < 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  \/  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) ) ) )
19745, 157, 196sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  <->  ( 0  <  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  \/  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) ) ) )
198195, 197mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
0  <  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  \/  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) ) )
199198ord 367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  ( -.  0  <  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  ->  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) ) )
200193, 199mt3d 119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  0  <  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
201165adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
20268adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  RR )
20361adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
204203, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) )
205204biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )
206205simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  ->  x  e.  RR )
20755adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
208206, 207syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( F `  x
)  e.  RR )
20969adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  RR* )
210205simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )
211 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )  -> 
( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )
21271, 211syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 1  /  k )  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( ( 1  /  k ) (,) 
+oo )  ->  (
1  /  k )  <  ( F `  x ) ) )
213209, 210, 212sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )
214202, 208, 213ltled 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  <_  ( F `  x ) )
21554simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( F `  x
) )
216215adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( F `  x
) )
217206, 216syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
0  <_  ( F `  x ) )
218 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 1  /  k )  =  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  -> 
( ( 1  / 
k )  <_  ( F `  x )  <->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
219 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( F `  x )  <->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
220218, 219ifboth 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( 1  /  k
)  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  ( F `  x
) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
221214, 217, 220syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
222221adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )
223 iffalse 3738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  =  0 )
224223adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  =  0 )
225216adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
0  <_  ( F `  x ) )
226224, 225eqbrtrd 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
227222, 226pm2.61dan 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
228227ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )
229228adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )
23010a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
231 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  /  k )  e. 
_V
232 c0ex 9075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  e.  _V
233231, 232ifex 3789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  _V
234233a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  _V )
235 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
236235a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e. 
_V )
237 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )
2389feqmptd 5771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) ) )
239230, 234, 236, 237, 238ofrfval2 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  o R  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
240239biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  o R  <_  F )
241229, 240syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  o R  <_  F )
242 itg2le 19621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  F : RR --> ( 0 [,] 
+oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  o R  <_  F )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
243155, 201, 241, 242syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
244139, 157, 168, 200, 243xrltletrd 10741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  0  <  ( S.2 `  F
) )
245244expr 599 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  ->  0  <  ( S.2 `  F ) ) )
246245con3d 127 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -.  0  <  ( S.2 `  F )  ->  -.  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )
2474ffvelrni 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol  ->  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
2483, 247sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol  ->  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  e. 
RR* )
249171, 248syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  e. 
RR* )
250 xrlenlt 9133 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )
251249, 45, 250sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )
252246, 251sylibrd 226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -.  0  <  ( S.2 `  F )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  <_ 
0 ) )
253252imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  <_ 
0 )
254253an32s 780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  <_ 
0 )
255138, 254eqbrtrd 4224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )  <_  0 )
256255ralrimiva 2781 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )  <_  0 )
257 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  -> 
( vol `  z
)  =  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k ) ) )
258257breq1d 4214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  -> 
( ( vol `  z
)  <_  0  <->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k ) )  <_ 
0 ) )
259258ralrn 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0  <->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )  <_  0 ) )
26019, 20, 2593syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ( vol `  z )  <_  0  <->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )  <_  0 ) )
261260adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0  <->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )  <_  0 ) )
262256, 261mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ( vol `  z )  <_  0 )
263 ffn 5583 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,]  +oo )  ->  vol  Fn 
dom  vol )
2644, 263ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  vol  Fn  dom  vol
265 frn 5589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) : NN --> dom  vol  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  C_  dom  vol )
26634, 265syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  C_  dom  vol )
267266adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) 
C_  dom  vol )
268 breq1 4207 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( vol `  z
)  ->  ( x  <_  0  <->  ( vol `  z
)  <_  0 ) )
269268ralima 5970 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol  Fn  dom  vol  /\ 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  C_  dom  vol )  ->  ( A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) x  <_  0  <->  A. z  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0 ) )
270264, 267, 269sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) x  <_  0  <->  A. z  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0 ) )
271262, 270mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) x  <_  0
)
272 imassrn 5208 . . . . . . . . 9  |-  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) 
C_  ran  vol
273 frn 5589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ran  vol  C_  ( 0 [,]  +oo ) )
2744, 273ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ran  vol  C_  ( 0 [,]  +oo )
275274, 3sstri 3349 . . . . . . . . 9  |-  ran  vol  C_ 
RR*
276272, 275sstri 3349 . . . . . . . 8  |-  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) 
C_  RR*
277 supxrleub 10895 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  C_  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  0  <->  A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) x  <_  0
) )
278276, 45, 277mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  0  <->  A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) x  <_  0
)
279271, 278sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  0 )
280135, 279eqbrtrd 4224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  <_  0 )
2818, 44, 46, 100, 280xrletrd 10742 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  A )  <_ 
0 )
282281ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  0  < 
( S.2 `  F )  ->  ( vol `  A
)  <_  0 ) )
283 xrlenlt 9133 . . . 4  |-  ( ( ( vol `  A
)  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( vol `  A
)  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  A
) ) )
2847, 45, 283sylancl 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol `  A
)  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  A
) ) )
285282, 284sylibd 206 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  0  < 
( S.2 `  F )  ->  -.  0  <  ( vol `  A ) ) )
2861, 285mt4d 132 1  |-  ( ph  ->  0  <  ( S.2 `  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   ifcif 3731   U.cuni 4007   U_ciun 4085   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   ran crn 4871   "cima 4873    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Rcofr 6296   supcsup 7437   RRcr 8979   0cc0 8980   1c1 8981    + caddc 8983    x. cmul 8985    +oocpnf 9107   RR*cxr 9109    < clt 9110    <_ cle 9111    / cdiv 9667   NNcn 9990   RR+crp 10602   (,)cioo 10906   [,)cico 10908   [,]cicc 10909   vol *covol 19349   volcvol 19350  MblFncmbf 19496   S.2citg2 19498
This theorem is referenced by:  itggt0  19723
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cc 8305  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ioo 10910  df-ico 10912  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-seq 11314  df-exp 11373  df-hash 11609  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-clim 12272  df-rlim 12273  df-sum 12470  df-rest 13640  df-topgen 13657  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-cmp 17440  df-cncf 18898  df-ovol 19351  df-vol 19352  df-mbf 19502  df-itg1 19503  df-itg2 19504  df-0p 19552
  Copyright terms: Public domain W3C validator