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Theorem itg2gt0 19520
Description: If the function  F is strictly positive on a set of positive measure, then the integral of the function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2gt0.1  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
itg2gt0.2  |-  ( ph  ->  0  <  ( vol `  A ) )
itg2gt0.3  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
itg2gt0.4  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2gt0.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <  ( F `  x
) )
Assertion
Ref Expression
itg2gt0  |-  ( ph  ->  0  <  ( S.2 `  F ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    ph, x

Proof of Theorem itg2gt0
Dummy variables  k  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2gt0.2 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  ( vol `  A ) )
2 itg2gt0.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
3 iccssxr 10926 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
4 volf 19293 . . . . . . . . 9  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] 
+oo )
54ffvelrni 5809 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
63, 5sseldi 3290 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  RR* )
72, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol `  A
)  e.  RR* )
87adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  A )  e. 
RR* )
9 itg2gt0.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
10 reex 9015 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  e.  _V
11 fex 5909 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  RR  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
129, 10, 11sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
13 cnvexg 5346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  _V  ->  `' F  e.  _V )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  `' F  e.  _V )
15 imaexg 5158 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  e.  _V )
1716adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )
18 eqid 2388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )
1917, 18fmptd 5833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) : NN --> _V )
20 ffn 5532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) : NN --> _V  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  Fn  NN )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  Fn  NN )
22 fniunfv 5934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  Fn  NN  ->  U_ k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  = 
U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k )  =  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )
24 itg2gt0.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
25 0re 9025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
26 pnfxr 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  +oo  e.  RR*
27 icossre 10924 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
2825, 26, 27mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
29 fss 5540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )  ->  F : RR
--> RR )
309, 28, 29sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
31 mbfima 19392 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : RR
--> RR )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
3224, 30, 31syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
3332adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
3433, 18fmptd 5833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) : NN --> dom  vol )
3534ffvelrnda 5810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  e. 
dom  vol )
3635ralrimiva 2733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol )
37 iunmbl 19315 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  e. 
dom  vol  ->  U_ k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  e. 
dom  vol )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol )
3923, 38eqeltrrd 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol )
40 mblss 19295 . . . . . . . 8  |-  ( U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol  ->  U.
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  C_  RR )
4139, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) 
C_  RR )
42 ovolcl 19242 . . . . . . 7  |-  ( U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) 
C_  RR  ->  ( vol
* `  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  e.  RR* )
4341, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  e.  RR* )
4443adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  e.  RR* )
45 0xr 9065 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
4645a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  0  e.  RR* )
47 mblvol 19294 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  =  ( vol * `  A ) )
482, 47syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol `  A
)  =  ( vol
* `  A )
)
49 mblss 19295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
502, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
5150sselda 3292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
529ffvelrnda 5810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
53 elrege0 10940 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
5452, 53sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x
) ) )
5554simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
5651, 55syldan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
57 itg2gt0.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <  ( F `  x
) )
58 nnrecl 10152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  0  <  ( F `  x ) )  ->  E. k  e.  NN  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )
5956, 57, 58syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. k  e.  NN  ( 1  / 
k )  <  ( F `  x )
)
60 ffn 5532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  ->  F  Fn  RR )
619, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
6261ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
63 elpreima 5790 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  Fn  RR  ->  (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) )
6551adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
6665biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) )
67 nnrecre 9969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
6867adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  RR )
6968rexrd 9068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e. 
RR* )
7069adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR* )
71 elioopnf 10931 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  k )  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( ( 1  /  k ) (,) 
+oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,)  +oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
7364, 66, 723bitr2d 273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
74 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
75 imaexg 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )
7614, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )  e.  _V )
7776adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )
78 oveq2 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
7978oveq1d 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  n
) (,)  +oo )  =  ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )
8079imaeq2d 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )
8180, 18fvmptg 5744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )
8274, 77, 81syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )
8382eleq2d 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  <->  x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) )
8456adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
8584biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  <  ( F `  x )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
8673, 83, 853bitr4rd 278 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  <  ( F `  x )  <->  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k ) ) )
8786rexbidva 2667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. k  e.  NN  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x )  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) ) )
8859, 87mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )
8988ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  E. k  e.  NN  x  e.  ( (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) ) )
90 eluni2 3962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  <->  E. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) x  e.  z )
91 eleq2 2449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  -> 
( x  e.  z  <-> 
x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) ) )
9291rexrn 5812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  Fn  NN  ->  ( E. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) x  e.  z  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) ) )
9321, 92syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) x  e.  z  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) ) )
9490, 93syl5bb 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) ) )
9589, 94sylibrd 226 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
9695ssrdv 3298 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )
97 ovolss 19249 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  /\  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) 
C_  RR )  -> 
( vol * `  A )  <_  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
9896, 41, 97syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  <_  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
9948, 98eqbrtrd 4174 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol `  A
)  <_  ( vol * `
 U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
10099adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  A )  <_ 
( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
101 mblvol 19294 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  =  ( vol
* `  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
10239, 101syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  =  ( vol
* `  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
103 peano2nn 9945 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
104103adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
105 nnrecre 9969 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
1  /  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
106104, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
107106rexrd 9068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  e. 
RR* )
108 nnre 9940 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
109108adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
110109lep1d 9875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  <_ 
( k  +  1 ) )
111 nngt0 9962 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  k )
112111adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
k )
113104nnred 9948 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
114104nngt0d 9976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( k  +  1 ) )
115 lerec 9825 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  0  <  k )  /\  ( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( k  +  1 ) ) )  -> 
( k  <_  (
k  +  1 )  <-> 
( 1  /  (
k  +  1 ) )  <_  ( 1  /  k ) ) )
116109, 112, 113, 114, 115syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  <_  ( k  +  1 )  <->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  k
) ) )
117110, 116mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  k
) )
118 iooss1 10884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  (
k  +  1 ) )  e.  RR*  /\  (
1  /  ( k  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
k ) )  -> 
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo )  C_  ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) 
+oo ) )
119107, 117, 118syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  k ) (,)  +oo )  C_  (
( 1  /  (
k  +  1 ) ) (,)  +oo )
)
120 imass2 5181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  k
) (,)  +oo )  C_  ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,)  +oo )  ->  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )  C_  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) ) )
121119, 120syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  C_  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) ) )
12274, 76, 81syl2anr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )
123 imaexg 5158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )
12414, 123syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) )  e.  _V )
125 oveq2 6029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) )
126125oveq1d 6036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 1  /  n
) (,)  +oo )  =  ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) )
127126imaeq2d 5144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) ) )
128127, 18fvmptg 5744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) ) )
129103, 124, 128syl2anr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) ) )
130121, 122, 1293sstr4d 3335 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  C_  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
131130ralrimiva 2733 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k )  C_  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) )
132 volsup 19318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) : NN --> dom  vol  /\ 
A. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k )  C_  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) )  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  =  sup (
( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
13334, 131, 132syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  =  sup (
( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
134102, 133eqtr3d 2422 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  =  sup ( ( vol " ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
135134adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  =  sup (
( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
13676adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )
13774, 136, 81syl2anr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )
138137fveq2d 5673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )  =  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) )
13945a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  0  e.  RR* )
140 nnrecgt0 9970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  ( 1  /  k
) )
141140adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( 1  /  k
) )
142 ltle 9097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  /  k
)  ->  0  <_  ( 1  /  k ) ) )
14325, 68, 142sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0  <  ( 1  / 
k )  ->  0  <_  ( 1  /  k
) ) )
144141, 143mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( 1  /  k
) )
145 elxrge0 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( (
1  /  k )  e.  RR*  /\  0  <_  ( 1  /  k
) ) )
14669, 144, 145sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
147 0le0 10014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <_  0
148 elxrge0 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0 ) )
14945, 147, 148mpbir2an 887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
150 ifcl 3719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1  /  k
)  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
151146, 149, 150sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
152151adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
153 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )
154152, 153fmptd 5833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
155154adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
156 itg2cl 19492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )
157155, 156syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )
158 rexr 9064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
159158anim1i 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )
)
160 elrege0 10940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
161 elxrge0 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  0  <_  x ) )
162159, 160, 1613imtr4i 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  x  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
163162ssriv 3296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (
0 [,]  +oo )
164 fss 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
1659, 163, 164sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
166 itg2cl 19492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )
167165, 166syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR* )
168167adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )
169 0nrp 10575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -.  0  e.  RR+
170 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
171122, 35eqeltrrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
172171adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
173172adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
174170, 25syl6eqelr 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
17568, 141elrpd 10579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  RR+ )
176175adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
177176adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  RR+ )
178 itg2const2 19501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( 1  / 
k )  e.  RR+ )  ->  ( ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
179173, 177, 178syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
180174, 179mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  e.  RR )
181 elrege0 10940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( (
1  /  k )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  k
) ) )
18268, 144, 181sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
183182adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
1  /  k )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
184183adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
185 itg2const 19500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  e.  RR  /\  (
1  /  k )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  =  ( ( 1  /  k
)  x.  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) ) )
186173, 180, 184, 185syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  =  ( ( 1  /  k
)  x.  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) ) )
187170, 186eqtrd 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
0  =  ( ( 1  /  k )  x.  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )
188 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
0  <  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) )
189180, 188elrpd 10579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  e.  RR+ )
190177, 189rpmulcld 10597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( ( 1  / 
k )  x.  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) )  e.  RR+ )
191187, 190eqeltrd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
0  e.  RR+ )
192191ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  ->  0  e.  RR+ ) )
193169, 192mtoi 171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  -.  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
194 itg2ge0 19495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  0  <_  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
195155, 194syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  0  <_  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
196 xrleloe 10670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )  ->  ( 0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <->  ( 0  < 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  \/  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) ) ) )
19745, 157, 196sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  <->  ( 0  <  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  \/  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) ) ) )
198195, 197mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
0  <  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  \/  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) ) )
199198ord 367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  ( -.  0  <  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  ->  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) ) )
200193, 199mt3d 119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  0  <  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
201165adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
20268adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  RR )
20361adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
204203, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) )
205204biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )
206205simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  ->  x  e.  RR )
20755adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
208206, 207syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( F `  x
)  e.  RR )
20969adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  RR* )
210205simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )
211 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )  -> 
( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )
21271, 211syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 1  /  k )  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( ( 1  /  k ) (,) 
+oo )  ->  (
1  /  k )  <  ( F `  x ) ) )
213209, 210, 212sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )
214202, 208, 213ltled 9154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  <_  ( F `  x ) )
21554simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( F `  x
) )
216215adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( F `  x
) )
217206, 216syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
0  <_  ( F `  x ) )
218 breq1 4157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 1  /  k )  =  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  -> 
( ( 1  / 
k )  <_  ( F `  x )  <->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
219 breq1 4157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( F `  x )  <->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
220218, 219ifboth 3714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( 1  /  k
)  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  ( F `  x
) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
221214, 217, 220syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
222221adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )
223 iffalse 3690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  =  0 )
224223adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  =  0 )
225216adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
0  <_  ( F `  x ) )
226224, 225eqbrtrd 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
227222, 226pm2.61dan 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
228227ralrimiva 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )
229228adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )
23010a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
231 ovex 6046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  /  k )  e. 
_V
232 c0ex 9019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  e.  _V
233231, 232ifex 3741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  _V
234233a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  _V )
235 fvex 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
236235a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e. 
_V )
237 eqidd 2389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )
2389feqmptd 5719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) ) )
239230, 234, 236, 237, 238ofrfval2 6263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  o R  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
240239biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  o R  <_  F )
241229, 240syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  o R  <_  F )
242 itg2le 19499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  F : RR --> ( 0 [,] 
+oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  o R  <_  F )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
243155, 201, 241, 242syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
244139, 157, 168, 200, 243xrltletrd 10684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  0  <  ( S.2 `  F
) )
245244expr 599 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  ->  0  <  ( S.2 `  F ) ) )
246245con3d 127 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -.  0  <  ( S.2 `  F )  ->  -.  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )
2474ffvelrni 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol  ->  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
2483, 247sseldi 3290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol  ->  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  e. 
RR* )
249171, 248syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  e. 
RR* )
250 xrlenlt 9077 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )
251249, 45, 250sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )
252246, 251sylibrd 226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -.  0  <  ( S.2 `  F )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  <_ 
0 ) )
253252imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  <_ 
0 )
254253an32s 780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  <_ 
0 )
255138, 254eqbrtrd 4174 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )  <_  0 )
256255ralrimiva 2733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )  <_  0 )
257 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  -> 
( vol `  z
)  =  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k ) ) )
258257breq1d 4164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  -> 
( ( vol `  z
)  <_  0  <->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k ) )  <_ 
0 ) )
259258ralrn 5813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0  <->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )  <_  0 ) )
26019, 20, 2593syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ( vol `  z )  <_  0  <->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )  <_  0 ) )
261260adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0  <->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )  <_  0 ) )
262256, 261mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ( vol `  z )  <_  0 )
263 ffn 5532 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,]  +oo )  ->  vol  Fn 
dom  vol )
2644, 263ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  vol  Fn  dom  vol
265 frn 5538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) : NN --> dom  vol  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  C_  dom  vol )
26634, 265syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  C_  dom  vol )
267266adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) 
C_  dom  vol )
268 breq1 4157 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( vol `  z
)  ->  ( x  <_  0  <->  ( vol `  z
)  <_  0 ) )
269268ralima 5918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol  Fn  dom  vol  /\ 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  C_  dom  vol )  ->  ( A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) x  <_  0  <->  A. z  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0 ) )
270264, 267, 269sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) x  <_  0  <->  A. z  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0 ) )
271262, 270mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) x  <_  0
)
272 imassrn 5157 . . . . . . . . 9  |-  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) 
C_  ran  vol
273 frn 5538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ran  vol  C_  ( 0 [,]  +oo ) )
2744, 273ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ran  vol  C_  ( 0 [,]  +oo )
275274, 3sstri 3301 . . . . . . . . 9  |-  ran  vol  C_ 
RR*
276272, 275sstri 3301 . . . . . . . 8  |-  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) 
C_  RR*
277 supxrleub 10838 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  C_  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  0  <->  A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) x  <_  0
) )
278276, 45, 277mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  0  <->  A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) x  <_  0
)
279271, 278sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  0 )
280135, 279eqbrtrd 4174 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  <_  0 )
2818, 44, 46, 100, 280xrletrd 10685 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  A )  <_ 
0 )
282281ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  0  < 
( S.2 `  F )  ->  ( vol `  A
)  <_  0 ) )
283 xrlenlt 9077 . . . 4  |-  ( ( ( vol `  A
)  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( vol `  A
)  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  A
) ) )
2847, 45, 283sylancl 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol `  A
)  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  A
) ) )
285282, 284sylibd 206 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  0  < 
( S.2 `  F )  ->  -.  0  <  ( vol `  A ) ) )
2861, 285mt4d 132 1  |-  ( ph  ->  0  <  ( S.2 `  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   E.wrex 2651   _Vcvv 2900    C_ wss 3264   ifcif 3683   U.cuni 3958   U_ciun 4036   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   `'ccnv 4818   dom cdm 4819   ran crn 4820   "cima 4822    Fn wfn 5390   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    o Rcofr 6244   supcsup 7381   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    x. cmul 8929    +oocpnf 9051   RR*cxr 9053    < clt 9054    <_ cle 9055    / cdiv 9610   NNcn 9933   RR+crp 10545   (,)cioo 10849   [,)cico 10851   [,]cicc 10852   vol *covol 19227   volcvol 19228  MblFncmbf 19374   S.2citg2 19376
This theorem is referenced by:  itggt0  19601
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cc 8249  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-disj 4125  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-ofr 6246  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-rest 13578  df-topgen 13595  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-cmp 17373  df-cncf 18780  df-ovol 19229  df-vol 19230  df-mbf 19380  df-itg1 19381  df-itg2 19382  df-0p 19430
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