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Theorem itg2gt0 19131
Description: If the function  F is strictly positive on a set of positive measure, then the integral of the function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2gt0.1  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
itg2gt0.2  |-  ( ph  ->  0  <  ( vol `  A ) )
itg2gt0.3  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
itg2gt0.4  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2gt0.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <  ( F `  x
) )
Assertion
Ref Expression
itg2gt0  |-  ( ph  ->  0  <  ( S.2 `  F ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    ph, x

Proof of Theorem itg2gt0
Dummy variables  k  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2gt0.2 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  ( vol `  A ) )
2 itg2gt0.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
3 iccssxr 10748 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
4 volf 18904 . . . . . . . . 9  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] 
+oo )
54ffvelrni 5680 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
63, 5sseldi 3191 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  RR* )
72, 6syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol `  A
)  e.  RR* )
87adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  A )  e. 
RR* )
9 itg2gt0.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
10 reex 8844 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  e.  _V
11 fex 5765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  RR  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
129, 10, 11sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
13 cnvexg 5224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  _V  ->  `' F  e.  _V )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  `' F  e.  _V )
15 imaexg 5042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  e.  _V )
1716adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )
18 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )
1917, 18fmptd 5700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) : NN --> _V )
20 ffn 5405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) : NN --> _V  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  Fn  NN )
2119, 20syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  Fn  NN )
22 fniunfv 5789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  Fn  NN  ->  U_ k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  = 
U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )
2321, 22syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k )  =  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )
24 itg2gt0.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
25 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
26 pnfxr 10471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  +oo  e.  RR*
27 icossre 10746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
2825, 26, 27mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
29 fss 5413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )  ->  F : RR
--> RR )
309, 28, 29sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
31 mbfima 19003 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : RR
--> RR )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
3224, 30, 31syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
3332adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
3433, 18fmptd 5700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) : NN --> dom  vol )
35 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) : NN --> dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  e. 
dom  vol )
3634, 35sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  e. 
dom  vol )
3736ralrimiva 2639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol )
38 iunmbl 18926 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  e. 
dom  vol  ->  U_ k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  e. 
dom  vol )
3937, 38syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol )
4023, 39eqeltrrd 2371 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol )
41 mblss 18906 . . . . . . . 8  |-  ( U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol  ->  U.
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  C_  RR )
4240, 41syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) 
C_  RR )
43 ovolcl 18853 . . . . . . 7  |-  ( U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) 
C_  RR  ->  ( vol
* `  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  e.  RR* )
4442, 43syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  e.  RR* )
4544adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  e.  RR* )
46 0xr 8894 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
4746a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  0  e.  RR* )
48 mblvol 18905 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  =  ( vol * `  A ) )
492, 48syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol `  A
)  =  ( vol
* `  A )
)
50 mblss 18906 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
512, 50syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
5251sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
53 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
549, 53sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
55 elrege0 10762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
5654, 55sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x
) ) )
5756simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
5852, 57syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
59 itg2gt0.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <  ( F `  x
) )
60 nnrecl 9979 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  0  <  ( F `  x ) )  ->  E. k  e.  NN  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )
6158, 59, 60syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. k  e.  NN  ( 1  / 
k )  <  ( F `  x )
)
62 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  ->  F  Fn  RR )
639, 62syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
6463ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
65 elpreima 5661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  Fn  RR  ->  (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) )
6664, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) )
6752adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
6867biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) )
69 nnrecre 9798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
7069adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  RR )
7170rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e. 
RR* )
7271adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR* )
73 elioopnf 10753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  k )  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( ( 1  /  k ) (,) 
+oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
7472, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,)  +oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
7566, 68, 743bitr2d 272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
76 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
77 imaexg 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )
7814, 77syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )  e.  _V )
7978adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )
80 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
8180oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  n
) (,)  +oo )  =  ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )
8281imaeq2d 5028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )
8382, 18fvmptg 5616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )
8476, 79, 83syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )
8584eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  <->  x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) )
8658adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
8786biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  <  ( F `  x )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
8875, 85, 873bitr4rd 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  <  ( F `  x )  <->  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k ) ) )
8988rexbidva 2573 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. k  e.  NN  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x )  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) ) )
9061, 89mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )
9190ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  E. k  e.  NN  x  e.  ( (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) ) )
92 eluni2 3847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  <->  E. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) x  e.  z )
93 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  -> 
( x  e.  z  <-> 
x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) ) )
9493rexrn 5683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  Fn  NN  ->  ( E. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) x  e.  z  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) ) )
9521, 94syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) x  e.  z  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) ) )
9692, 95syl5bb 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) ) )
9791, 96sylibrd 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
9897ssrdv 3198 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )
99 ovolss 18860 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  /\  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) 
C_  RR )  -> 
( vol * `  A )  <_  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
10098, 42, 99syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  <_  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
10149, 100eqbrtrd 4059 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol `  A
)  <_  ( vol * `
 U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
102101adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  A )  <_ 
( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
103 mblvol 18905 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  =  ( vol
* `  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
10440, 103syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  =  ( vol
* `  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) )
105 peano2nn 9774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
106105adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
107 nnrecre 9798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
1  /  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
108106, 107syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
109108rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  e. 
RR* )
110 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
111110adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
112111lep1d 9704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  <_ 
( k  +  1 ) )
113 nngt0 9791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  k )
114113adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
k )
115106nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
116106nngt0d 9805 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( k  +  1 ) )
117 lerec 9654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  0  <  k )  /\  ( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( k  +  1 ) ) )  -> 
( k  <_  (
k  +  1 )  <-> 
( 1  /  (
k  +  1 ) )  <_  ( 1  /  k ) ) )
118111, 114, 115, 116, 117syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  <_  ( k  +  1 )  <->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  k
) ) )
119112, 118mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  k
) )
120 iooss1 10707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  (
k  +  1 ) )  e.  RR*  /\  (
1  /  ( k  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
k ) )  -> 
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo )  C_  ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) 
+oo ) )
121109, 119, 120syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  k ) (,)  +oo )  C_  (
( 1  /  (
k  +  1 ) ) (,)  +oo )
)
122 imass2 5065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  k
) (,)  +oo )  C_  ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,)  +oo )  ->  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )  C_  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) ) )
123121, 122syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  C_  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) ) )
12476, 78, 83syl2anr 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )
125 imaexg 5042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )
12614, 125syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) )  e.  _V )
127 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) )
128127oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 1  /  n
) (,)  +oo )  =  ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) )
129128imaeq2d 5028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) ) )
130129, 18fvmptg 5616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) ) )
131105, 126, 130syl2anr 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,)  +oo ) ) )
132123, 124, 1313sstr4d 3234 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  C_  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
133132ralrimiva 2639 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k )  C_  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) )
134 volsup 18929 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) : NN --> dom  vol  /\ 
A. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k )  C_  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 ( k  +  1 ) ) )  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  =  sup (
( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
13534, 133, 134syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  =  sup (
( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
136104, 135eqtr3d 2330 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  =  sup ( ( vol " ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
137136adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  =  sup (
( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
13878adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
_V )
13976, 138, 83syl2anr 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  =  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )
140139fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )  =  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) )
14146a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  0  e.  RR* )
142 nnrecgt0 9799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  ( 1  /  k
) )
143142adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( 1  /  k
) )
144 ltle 8926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  /  k
)  ->  0  <_  ( 1  /  k ) ) )
14525, 70, 144sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0  <  ( 1  / 
k )  ->  0  <_  ( 1  /  k
) ) )
146143, 145mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( 1  /  k
) )
147 elxrge0 10763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( (
1  /  k )  e.  RR*  /\  0  <_  ( 1  /  k
) ) )
14871, 146, 147sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
149 0le0 9843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <_  0
150 elxrge0 10763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0 ) )
15146, 149, 150mpbir2an 886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
152 ifcl 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1  /  k
)  e.  ( 0 [,]  +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
153148, 151, 152sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
154153adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
155 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )
156154, 155fmptd 5700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
157156adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
158 itg2cl 19103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )
159157, 158syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )
160 rexr 8893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
161160anim1i 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )
)
162 elrege0 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
163 elxrge0 10763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  0  <_  x ) )
164161, 162, 1633imtr4i 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  x  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
165164ssriv 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (
0 [,]  +oo )
166 fss 5413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
1679, 165, 166sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
168 itg2cl 19103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )
169167, 168syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR* )
170169adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  ( S.2 `  F )  e. 
RR* )
171 0nrp 10400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -.  0  e.  RR+
172 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
173124, 36eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
174173adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
175174adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
176172, 25syl6eqelr 2385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
17770, 143elrpd 10404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  RR+ )
178177adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
179178adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  RR+ )
180 itg2const2 19112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( 1  / 
k )  e.  RR+ )  ->  ( ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
181175, 179, 180syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
182176, 181mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  e.  RR )
183 elrege0 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( (
1  /  k )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  k
) ) )
18470, 146, 183sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
185184adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
1  /  k )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
186185adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
187 itg2const 19111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  e.  RR  /\  (
1  /  k )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  =  ( ( 1  /  k
)  x.  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) ) )
188175, 182, 186, 187syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  =  ( ( 1  /  k
)  x.  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) ) )
189172, 188eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
0  =  ( ( 1  /  k )  x.  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )
190 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
0  <  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) )
191182, 190elrpd 10404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  e.  RR+ )
192179, 191rpmulcld 10422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
( ( 1  / 
k )  x.  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) )  e.  RR+ )
193189, 192eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )  -> 
0  e.  RR+ )
194193ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  ->  0  e.  RR+ ) )
195171, 194mtoi 169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  -.  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
196 itg2ge0 19106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  0  <_  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
197157, 196syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  0  <_  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
198 xrleloe 10494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )  ->  ( 0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <->  ( 0  < 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  \/  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) ) ) )
19946, 159, 198sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  <->  ( 0  <  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  \/  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) ) ) )
200197, 199mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
0  <  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  \/  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) ) )
201200ord 366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  ( -.  0  <  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )  ->  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) ) )
202195, 201mt3d 117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  0  <  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) ) )
203167adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
20470adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  RR )
20563adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
206205, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ) )
207206biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )
208207simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  ->  x  e.  RR )
20957adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
210208, 209syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( F `  x
)  e.  RR )
21171adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  RR* )
212207simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )
213 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )  -> 
( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )
21473, 213syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 1  /  k )  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( ( 1  /  k ) (,) 
+oo )  ->  (
1  /  k )  <  ( F `  x ) ) )
215211, 212, 214sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )
216204, 210, 215ltled 8983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  <_  ( F `  x ) )
21756simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( F `  x
) )
218217adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( F `  x
) )
219208, 218syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
0  <_  ( F `  x ) )
220 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 1  /  k )  =  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  -> 
( ( 1  / 
k )  <_  ( F `  x )  <->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
221 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( F `  x )  <->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
222220, 221ifboth 3609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( 1  /  k
)  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  ( F `  x
) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
223216, 219, 222syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
224223adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )
225 iffalse 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  =  0 )
226225adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  =  0 )
227218adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  -> 
0  <_  ( F `  x ) )
228226, 227eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
229224, 228pm2.61dan 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
230229ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )
231230adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )
23210a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
233 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  /  k )  e. 
_V
234 c0ex 8848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  e.  _V
235233, 234ifex 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  _V
236235a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  e.  _V )
237 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
238237a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e. 
_V )
239 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) )
2409feqmptd 5591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) ) )
241232, 236, 238, 239, 240ofrfval2 6112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  o R  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
242241biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  o R  <_  F )
243231, 242syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  o R  <_  F )
244 itg2le 19110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  F : RR --> ( 0 [,] 
+oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k
) ,  0 ) )  o R  <_  F )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
245157, 203, 243, 244syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
246141, 159, 170, 202, 245xrltletrd 10508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )  ->  0  <  ( S.2 `  F
) )
247246expr 598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  ->  0  <  ( S.2 `  F ) ) )
248247con3d 125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -.  0  <  ( S.2 `  F )  ->  -.  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )
2494ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol  ->  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
2503, 249sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol  ->  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  e. 
RR* )
251173, 250syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  e. 
RR* )
252 xrlenlt 8906 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )
253251, 46, 252sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) )  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,)  +oo ) ) ) ) )
254248, 253sylibrd 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -.  0  <  ( S.2 `  F )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  <_ 
0 ) )
255254imp 418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  <_ 
0 )
256255an32s 779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,)  +oo ) ) )  <_ 
0 )
257140, 256eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )  <_  0 )
258257ralrimiva 2639 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )  <_  0 )
259 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  -> 
( vol `  z
)  =  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k ) ) )
260259breq1d 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k )  -> 
( ( vol `  z
)  <_  0  <->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `  k ) )  <_ 
0 ) )
261260ralrn 5684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0  <->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )  <_  0 ) )
26219, 20, 2613syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ( vol `  z )  <_  0  <->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )  <_  0 ) )
263262adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0  <->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) `
 k ) )  <_  0 ) )
264258, 263mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ( vol `  z )  <_  0 )
265 ffn 5405 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,]  +oo )  ->  vol  Fn 
dom  vol )
2664, 265ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  vol  Fn  dom  vol
267 frn 5411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) : NN --> dom  vol  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  C_  dom  vol )
26834, 267syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  C_  dom  vol )
269268adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) 
C_  dom  vol )
270 breq1 4042 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( vol `  z
)  ->  ( x  <_  0  <->  ( vol `  z
)  <_  0 ) )
271270ralima 5774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol  Fn  dom  vol  /\ 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) )  C_  dom  vol )  ->  ( A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) x  <_  0  <->  A. z  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0 ) )
272266, 269, 271sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) x  <_  0  <->  A. z  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0 ) )
273264, 272mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) x  <_  0
)
274 imassrn 5041 . . . . . . . . 9  |-  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) 
C_  ran  vol
275 frn 5411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ran  vol  C_  ( 0 [,]  +oo ) )
2764, 275ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ran  vol  C_  ( 0 [,]  +oo )
277276, 3sstri 3201 . . . . . . . . 9  |-  ran  vol  C_ 
RR*
278274, 277sstri 3201 . . . . . . . 8  |-  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) 
C_  RR*
279 supxrleub 10661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  C_  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  0  <->  A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) x  <_  0
) )
280278, 46, 279mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  0  <->  A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) x  <_  0
)
281273, 280sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  0 )
282137, 281eqbrtrd 4059 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol * `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,)  +oo ) ) ) )  <_  0 )
2838, 45, 47, 102, 282xrletrd 10509 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  A )  <_ 
0 )
284283ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  0  < 
( S.2 `  F )  ->  ( vol `  A
)  <_  0 ) )
285 xrlenlt 8906 . . . 4  |-  ( ( ( vol `  A
)  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( vol `  A
)  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  A
) ) )
2867, 46, 285sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol `  A
)  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  A
) ) )
287284, 286sylibd 205 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  0  < 
( S.2 `  F )  ->  -.  0  <  ( vol `  A ) ) )
2881, 287mt4d 130 1  |-  ( ph  ->  0  <  ( S.2 `  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ifcif 3578   U.cuni 3843   U_ciun 3921   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Rcofr 6093   supcsup 7209   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   NNcn 9762   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   [,)cico 10674   [,]cicc 10675   vol *covol 18838   volcvol 18839  MblFncmbf 18985   S.2citg2 18987
This theorem is referenced by:  itggt0  19212
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cmp 17130  df-cncf 18398  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993  df-0p 19041
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