MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2i1fseqle Structured version   Unicode version

Theorem itg2i1fseqle 19646
Description: Subject to the conditions coming from mbfi1fseq 19613, the sequence of simple functions are all less than the target function  F. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2i1fseq.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
itg2i1fseq.3  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
itg2i1fseq.4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
itg2i1fseq.5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseqle  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  ( P `
 M )  o R  <_  F )
Distinct variable groups:    x, n, F    n, M    P, n, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    M( x)

Proof of Theorem itg2i1fseqle
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  ( P `  n )  =  ( P `  M ) )
21fveq1d 5730 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 M ) `  y ) )
3 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )
4 fvex 5742 . . . . . 6  |-  ( ( P `  M ) `
 y )  e. 
_V
52, 3, 4fvmpt 5806 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  M
)  =  ( ( P `  M ) `
 y ) )
65ad2antlr 708 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  M
)  =  ( ( P `  M ) `
 y ) )
7 nnuz 10521 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
8 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  M  e.  NN )
9 itg2i1fseq.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
10 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( P `  n
) `  x )  =  ( ( P `
 n ) `  y ) )
1110mpteq2dv 4296 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) )
12 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
1311, 12breq12d 4225 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) ) )
1413rspccva 3051 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )
159, 14sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  ~~>  ( F `  y
) )
1615adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
)  ~~>  ( F `  y ) )
17 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( P `  n )  =  ( P `  k ) )
1817fveq1d 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 k ) `  y ) )
19 fvex 5742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P `  k ) `
 y )  e. 
_V
2018, 3, 19fvmpt 5806 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  k
)  =  ( ( P `  k ) `
 y ) )
2120adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  k
)  =  ( ( P `  k ) `
 y ) )
22 itg2i1fseq.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
2322ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k )  e. 
dom  S.1 )
24 i1ff 19568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  k )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  k ) : RR --> RR )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k ) : RR --> RR )
2625ffvelrnda 5870 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  k
) `  y )  e.  RR )
2726an32s 780 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( P `  k
) `  y )  e.  RR )
2821, 27eqeltrd 2510 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  k
)  e.  RR )
2928adantllr 700 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) `
 k )  e.  RR )
30 itg2i1fseq.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
31 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P `  n )  o R  <_  ( P `  ( n  +  1
) ) )
3231ralimi 2781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  NN  (
0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( P `  n )  o R  <_  ( P `  ( n  +  1 ) ) )
3330, 32syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( P `  n )  o R  <_  ( P `  ( n  +  1 ) ) )
34 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
3534fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  ( P `  ( n  +  1 ) )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
3617, 35breq12d 4225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( P `  n
)  o R  <_ 
( P `  (
n  +  1 ) )  <->  ( P `  k )  o R  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
3736rspccva 3051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( P `  n )  o R  <_  ( P `  ( n  +  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `  k )  o R  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
3833, 37sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k )  o R  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
39 ffn 5591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P `  k ) : RR --> RR  ->  ( P `  k )  Fn  RR )
4023, 24, 393syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k )  Fn  RR )
41 peano2nn 10012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
42 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P : NN --> dom  S.1  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  e.  dom  S.1 )
4322, 41, 42syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 ( k  +  1 ) )  e. 
dom  S.1 )
44 i1ff 19568 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P `  ( k  +  1 ) )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  ( k  +  1 ) ) : RR --> RR )
45 ffn 5591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) : RR --> RR  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  Fn  RR )
4643, 44, 453syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 ( k  +  1 ) )  Fn  RR )
47 reex 9081 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  _V
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
49 inidm 3550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
50 eqidd 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  k
) `  y )  =  ( ( P `
 k ) `  y ) )
51 eqidd 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  (
k  +  1 ) ) `  y )  =  ( ( P `
 ( k  +  1 ) ) `  y ) )
5240, 46, 48, 48, 49, 50, 51ofrfval 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( P `  k )  o R  <_  ( P `  ( k  +  1 ) )  <->  A. y  e.  RR  ( ( P `  k ) `  y
)  <_  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `
 y ) ) )
5338, 52mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( P `
 k ) `  y )  <_  (
( P `  (
k  +  1 ) ) `  y ) )
5453r19.21bi 2804 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  k
) `  y )  <_  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `  y
) )
5554an32s 780 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( P `  k
) `  y )  <_  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `  y
) )
56 fveq2 5728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( P `  n )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
5756fveq1d 5730 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 ( k  +  1 ) ) `  y ) )
58 fvex 5742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `
 y )  e. 
_V
5957, 3, 58fvmpt 5806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `
 y ) )
6041, 59syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `
 y ) )
6160adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `
 y ) )
6255, 21, 613brtr4d 4242 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  k
)  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
) `  ( k  +  1 ) ) )
6362adantllr 700 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) `
 k )  <_ 
( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
647, 8, 16, 29, 63climub 12455 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  M
)  <_  ( F `  y ) )
656, 64eqbrtrrd 4234 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  M
) `  y )  <_  ( F `  y
) )
6665ralrimiva 2789 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( P `
 M ) `  y )  <_  ( F `  y )
)
6722ffvelrnda 5870 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  ( P `
 M )  e. 
dom  S.1 )
68 i1ff 19568 . . . 4  |-  ( ( P `  M )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  M ) : RR --> RR )
69 ffn 5591 . . . 4  |-  ( ( P `  M ) : RR --> RR  ->  ( P `  M )  Fn  RR )
7067, 68, 693syl 19 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  ( P `
 M )  Fn  RR )
71 itg2i1fseq.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
72 rexr 9130 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
7372anim1i 552 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )
)
74 elrege0 11007 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
75 elxrge0 11008 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  0  <_  x ) )
7673, 74, 753imtr4i 258 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  x  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
7776ssriv 3352 . . . . . 6  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (
0 [,]  +oo )
78 fss 5599 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
7971, 77, 78sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,]  +oo ) )
80 ffn 5591 . . . . 5  |-  ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  ->  F  Fn  RR )
8179, 80syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
8281adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
8347a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
84 eqidd 2437 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  M
) `  y )  =  ( ( P `
 M ) `  y ) )
85 eqidd 2437 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  y ) )
8670, 82, 83, 83, 49, 84, 85ofrfval 6313 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( P `  M )  o R  <_  F  <->  A. y  e.  RR  (
( P `  M
) `  y )  <_  ( F `  y
) ) )
8766, 86mpbird 224 1  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  ( P `
 M )  o R  <_  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   dom cdm 4878    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Rcofr 6304   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    +oocpnf 9117   RR*cxr 9119    <_ cle 9121   NNcn 10000   [,)cico 10918   [,]cicc 10919    ~~> cli 12278  MblFncmbf 19506   S.1citg1 19507   0 pc0p 19561
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  19647  itg2i1fseq3  19649  itg2addlem  19650
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-itg1 19513
  Copyright terms: Public domain W3C validator