Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2mono Unicode version

Theorem itg2mono 19512
 Description: The Monotone Convergence Theorem for nonnegative functions. If is a monotone increasing sequence of positive, measurable, real-valued functions, and is the pointwise limit of the sequence, then is the limit of the sequence . (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mono.1
itg2mono.2 MblFn
itg2mono.3
itg2mono.4
itg2mono.5
itg2mono.6
Assertion
Ref Expression
itg2mono
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem itg2mono
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mono.1 . . . . . . . 8
2 itg2mono.2 . . . . . . . . 9 MblFn
32adantlr 696 . . . . . . . 8 MblFn
4 itg2mono.3 . . . . . . . . 9
54adantlr 696 . . . . . . . 8
6 itg2mono.4 . . . . . . . . 9
76adantlr 696 . . . . . . . 8
8 itg2mono.5 . . . . . . . . 9
98adantlr 696 . . . . . . . 8
10 itg2mono.6 . . . . . . . 8
11 simprll 739 . . . . . . . 8
12 simprlr 740 . . . . . . . 8
13 simprr 734 . . . . . . . 8
141, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13itg2monolem3 19511 . . . . . . 7
1514expr 599 . . . . . 6
1615pm2.18d 105 . . . . 5
1716expr 599 . . . 4
1817ralrimiva 2732 . . 3
19 0re 9024 . . . . . . . . . . . . . 14
20 pnfxr 10645 . . . . . . . . . . . . . 14
21 icossre 10923 . . . . . . . . . . . . . 14
2219, 20, 21mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13
23 fss 5539 . . . . . . . . . . . . 13
244, 22, 23sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12
2524ffvelrnda 5809 . . . . . . . . . . 11
2625an32s 780 . . . . . . . . . 10
27 eqid 2387 . . . . . . . . . 10
2826, 27fmptd 5832 . . . . . . . . 9
29 frn 5537 . . . . . . . . 9
3028, 29syl 16 . . . . . . . 8
31 1nn 9943 . . . . . . . . . . 11
32 fdm 5535 . . . . . . . . . . . 12
3328, 32syl 16 . . . . . . . . . . 11
3431, 33syl5eleqr 2474 . . . . . . . . . 10
35 ne0i 3577 . . . . . . . . . 10
3634, 35syl 16 . . . . . . . . 9
37 dm0rn0 5026 . . . . . . . . . 10
3837necon3bii 2582 . . . . . . . . 9
3936, 38sylib 189 . . . . . . . 8
40 ffn 5531 . . . . . . . . . . . . 13
4128, 40syl 16 . . . . . . . . . . . 12
42 breq1 4156 . . . . . . . . . . . . 13
4342ralrn 5812 . . . . . . . . . . . 12
4441, 43syl 16 . . . . . . . . . . 11
45 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4645fveq1d 5670 . . . . . . . . . . . . . . 15
47 fvex 5682 . . . . . . . . . . . . . . 15
4846, 27, 47fvmpt 5745 . . . . . . . . . . . . . 14
4948breq1d 4163 . . . . . . . . . . . . 13
5049ralbiia 2681 . . . . . . . . . . . 12
5146breq1d 4163 . . . . . . . . . . . . 13
5251cbvralv 2875 . . . . . . . . . . . 12
5350, 52bitr4i 244 . . . . . . . . . . 11
5444, 53syl6bb 253 . . . . . . . . . 10
5554rexbidv 2670 . . . . . . . . 9
568, 55mpbird 224 . . . . . . . 8
57 suprcl 9900 . . . . . . . 8
5830, 39, 56, 57syl3anc 1184 . . . . . . 7
5958rexrd 9067 . . . . . 6
6019a1i 11 . . . . . . 7
614ralrimiva 2732 . . . . . . . . . . 11
62 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . 13
6362feq1d 5520 . . . . . . . . . . . 12
6463rspcv 2991 . . . . . . . . . . 11
6531, 61, 64mpsyl 61 . . . . . . . . . 10
6665ffvelrnda 5809 . . . . . . . . 9
67 elrege0 10939 . . . . . . . . 9
6866, 67sylib 189 . . . . . . . 8
6968simpld 446 . . . . . . 7
7068simprd 450 . . . . . . 7
7162fveq1d 5670 . . . . . . . . . . 11
72 fvex 5682 . . . . . . . . . . 11
7371, 27, 72fvmpt 5745 . . . . . . . . . 10
7431, 73ax-mp 8 . . . . . . . . 9
75 fnfvelrn 5806 . . . . . . . . . 10
7641, 31, 75sylancl 644 . . . . . . . . 9
7774, 76syl5eqelr 2472 . . . . . . . 8
78 suprub 9901 . . . . . . . 8
7930, 39, 56, 77, 78syl31anc 1187 . . . . . . 7
8060, 69, 58, 70, 79letrd 9159 . . . . . 6
81 elxrge0 10940 . . . . . 6
8259, 80, 81sylanbrc 646 . . . . 5
8382, 1fmptd 5832 . . . 4
84 rexr 9063 . . . . . . . . . . . . 13
8584anim1i 552 . . . . . . . . . . . 12
86 elrege0 10939 . . . . . . . . . . . 12
87 elxrge0 10940 . . . . . . . . . . . 12
8885, 86, 873imtr4i 258 . . . . . . . . . . 11
8988ssriv 3295 . . . . . . . . . 10
90 fss 5539 . . . . . . . . . 10
914, 89, 90sylancl 644 . . . . . . . . 9
92 itg2cl 19491 . . . . . . . . 9
9391, 92syl 16 . . . . . . . 8
94 eqid 2387 . . . . . . . 8
9593, 94fmptd 5832 . . . . . . 7
96 frn 5537 . . . . . . 7
9795, 96syl 16 . . . . . 6
98 supxrcl 10825 . . . . . 6
9997, 98syl 16 . . . . 5
10010, 99syl5eqel 2471 . . . 4
101 itg2leub 19493 . . . 4
10283, 100, 101syl2anc 643 . . 3
10318, 102mpbird 224 . 2
10445feq1d 5520 . . . . . . . . . . 11
105104cbvralv 2875 . . . . . . . . . 10
10661, 105sylib 189 . . . . . . . . 9
107106r19.21bi 2747 . . . . . . . 8
108 fss 5539 . . . . . . . 8
109107, 89, 108sylancl 644 . . . . . . 7
11083adantr 452 . . . . . . 7
11130, 39, 563jca 1134 . . . . . . . . . . . . 13
112111adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12
11348ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13
11441adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14
115 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14
116 fnfvelrn 5806 . . . . . . . . . . . . . 14
117114, 115, 116syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13
118113, 117eqeltrrd 2462 . . . . . . . . . . . 12
119 suprub 9901 . . . . . . . . . . . 12
120112, 118, 119syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
121 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12
122 ltso 9089 . . . . . . . . . . . . 13
123122supex 7401 . . . . . . . . . . . 12
1241fvmpt2 5751 . . . . . . . . . . . 12
125121, 123, 124sylancl 644 . . . . . . . . . . 11
126120, 125breqtrrd 4179 . . . . . . . . . 10
127126ralrimiva 2732 . . . . . . . . 9
128 fveq2 5668 . . . . . . . . . . 11
129 fveq2 5668 . . . . . . . . . . 11
130128, 129breq12d 4166 . . . . . . . . . 10
131130cbvralv 2875 . . . . . . . . 9
132127, 131sylib 189 . . . . . . . 8
133 ffn 5531 . . . . . . . . . 10
134109, 133syl 16 . . . . . . . . 9
13558, 1fmptd 5832 . . . . . . . . . . 11
136 ffn 5531 . . . . . . . . . . 11
137135, 136syl 16 . . . . . . . . . 10
138137adantr 452 . . . . . . . . 9
139 reex 9014 . . . . . . . . . 10
140139a1i 11 . . . . . . . . 9
141 inidm 3493 . . . . . . . . 9
142 eqidd 2388 . . . . . . . . 9
143 eqidd 2388 . . . . . . . . 9
144134, 138, 140, 140, 141, 142, 143ofrfval 6252 . . . . . . . 8
145132, 144mpbird 224 . . . . . . 7
146 itg2le 19498 . . . . . . 7
147109, 110, 145, 146syl3anc 1184 . . . . . 6
148147ralrimiva 2732 . . . . 5
149 ffn 5531 . . . . . . . 8
15095, 149syl 16 . . . . . . 7
151 breq1 4156 . . . . . . . 8
152151ralrn 5812 . . . . . . 7
153150, 152syl 16 . . . . . 6
15445fveq2d 5672 . . . . . . . . 9
155 fvex 5682 . . . . . . . . 9
156154, 94, 155fvmpt 5745 . . . . . . . 8
157156breq1d 4163 . . . . . . 7
158157ralbiia 2681 . . . . . 6
159153, 158syl6bb 253 . . . . 5
160148, 159mpbird 224 . . . 4
161 itg2cl 19491 . . . . . 6
16283, 161syl 16 . . . . 5
163 supxrleub 10837 . . . . 5
16497, 162, 163syl2anc 643 . . . 4
165160, 164mpbird 224 . . 3
16610, 165syl5eqbr 4186 . 2
167 xrletri3 10677 . . 3
168162, 100, 167syl2anc 643 . 2
169103, 166, 168mpbir2and 889 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1717   wne 2550  wral 2649  wrex 2650  cvv 2899   wss 3263  c0 3571   class class class wbr 4153   cmpt 4207   cdm 4818   crn 4819   wfn 5389  wf 5390  cfv 5394  (class class class)co 6020   cofr 6243  csup 7380  cr 8922  cc0 8923  c1 8924   caddc 8926   cpnf 9050  cxr 9052   clt 9053   cle 9054  cn 9932  cico 10850  cicc 10851  MblFncmbf 19373  citg1 19374  citg2 19375 This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  19514  itg2cnlem1  19520 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cc 8248  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-disj 4124  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-ofr 6245  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-acn 7762  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-ioc 10853  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407  df-rest 13577  df-topgen 13594  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-cmp 17372  df-ovol 19228  df-vol 19229  df-mbf 19379  df-itg1 19380  df-itg2 19381
 Copyright terms: Public domain W3C validator