Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2mono Unicode version

Theorem itg2mono 19110
 Description: The Monotone Convergence Theorem for nonnegative functions. If is a monotone increasing sequence of positive, measurable, real-valued functions, and is the pointwise limit of the sequence, then is the limit of the sequence . (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mono.1
itg2mono.2 MblFn
itg2mono.3
itg2mono.4
itg2mono.5
itg2mono.6
Assertion
Ref Expression
itg2mono
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem itg2mono
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mono.1 . . . . . . . 8
2 itg2mono.2 . . . . . . . . 9 MblFn
32adantlr 695 . . . . . . . 8 MblFn
4 itg2mono.3 . . . . . . . . 9
54adantlr 695 . . . . . . . 8
6 itg2mono.4 . . . . . . . . 9
76adantlr 695 . . . . . . . 8
8 itg2mono.5 . . . . . . . . 9
98adantlr 695 . . . . . . . 8
10 itg2mono.6 . . . . . . . 8
11 simprll 738 . . . . . . . 8
12 simprlr 739 . . . . . . . 8
13 simprr 733 . . . . . . . 8
141, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13itg2monolem3 19109 . . . . . . 7
1514expr 598 . . . . . 6
1615pm2.18d 103 . . . . 5
1716expr 598 . . . 4
1817ralrimiva 2628 . . 3
19 0re 8840 . . . . . . . . . . . . . 14
20 pnfxr 10457 . . . . . . . . . . . . . 14
21 icossre 10732 . . . . . . . . . . . . . 14
2219, 20, 21mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13
23 fss 5399 . . . . . . . . . . . . 13
244, 22, 23sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12
25 ffvelrn 5665 . . . . . . . . . . . 12
2624, 25sylan 457 . . . . . . . . . . 11
2726an32s 779 . . . . . . . . . 10
28 eqid 2285 . . . . . . . . . 10
2927, 28fmptd 5686 . . . . . . . . 9
30 frn 5397 . . . . . . . . 9
3129, 30syl 15 . . . . . . . 8
32 1nn 9759 . . . . . . . . . . 11
33 fdm 5395 . . . . . . . . . . . 12
3429, 33syl 15 . . . . . . . . . . 11
3532, 34syl5eleqr 2372 . . . . . . . . . 10
36 ne0i 3463 . . . . . . . . . 10
3735, 36syl 15 . . . . . . . . 9
38 dm0rn0 4897 . . . . . . . . . 10
3938necon3bii 2480 . . . . . . . . 9
4037, 39sylib 188 . . . . . . . 8
41 ffn 5391 . . . . . . . . . . . . 13
4229, 41syl 15 . . . . . . . . . . . 12
43 breq1 4028 . . . . . . . . . . . . 13
4443ralrn 5670 . . . . . . . . . . . 12
4542, 44syl 15 . . . . . . . . . . 11
46 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4746fveq1d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15
48 fvex 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15
4947, 28, 48fvmpt 5604 . . . . . . . . . . . . . 14
5049breq1d 4035 . . . . . . . . . . . . 13
5150ralbiia 2577 . . . . . . . . . . . 12
5247breq1d 4035 . . . . . . . . . . . . 13
5352cbvralv 2766 . . . . . . . . . . . 12
5451, 53bitr4i 243 . . . . . . . . . . 11
5545, 54syl6bb 252 . . . . . . . . . 10
5655rexbidv 2566 . . . . . . . . 9
578, 56mpbird 223 . . . . . . . 8
58 suprcl 9716 . . . . . . . 8
5931, 40, 57, 58syl3anc 1182 . . . . . . 7
6059rexrd 8883 . . . . . 6
6119a1i 10 . . . . . . 7
624ralrimiva 2628 . . . . . . . . . . 11
63 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . 13
6463feq1d 5381 . . . . . . . . . . . 12
6564rspcv 2882 . . . . . . . . . . 11
6632, 62, 65mpsyl 59 . . . . . . . . . 10
67 ffvelrn 5665 . . . . . . . . . 10
6866, 67sylan 457 . . . . . . . . 9
69 elrege0 10748 . . . . . . . . 9
7068, 69sylib 188 . . . . . . . 8
7170simpld 445 . . . . . . 7
7270simprd 449 . . . . . . 7
7363fveq1d 5529 . . . . . . . . . . 11
74 fvex 5541 . . . . . . . . . . 11
7573, 28, 74fvmpt 5604 . . . . . . . . . 10
7632, 75ax-mp 8 . . . . . . . . 9
77 fnfvelrn 5664 . . . . . . . . . 10
7842, 32, 77sylancl 643 . . . . . . . . 9
7976, 78syl5eqelr 2370 . . . . . . . 8
80 suprub 9717 . . . . . . . 8
8131, 40, 57, 79, 80syl31anc 1185 . . . . . . 7
8261, 71, 59, 72, 81letrd 8975 . . . . . 6
83 elxrge0 10749 . . . . . 6
8460, 82, 83sylanbrc 645 . . . . 5
8584, 1fmptd 5686 . . . 4
86 rexr 8879 . . . . . . . . . . . . 13
8786anim1i 551 . . . . . . . . . . . 12
88 elrege0 10748 . . . . . . . . . . . 12
89 elxrge0 10749 . . . . . . . . . . . 12
9087, 88, 893imtr4i 257 . . . . . . . . . . 11
9190ssriv 3186 . . . . . . . . . 10
92 fss 5399 . . . . . . . . . 10
934, 91, 92sylancl 643 . . . . . . . . 9
94 itg2cl 19089 . . . . . . . . 9
9593, 94syl 15 . . . . . . . 8
96 eqid 2285 . . . . . . . 8
9795, 96fmptd 5686 . . . . . . 7
98 frn 5397 . . . . . . 7
9997, 98syl 15 . . . . . 6
100 supxrcl 10635 . . . . . 6
10199, 100syl 15 . . . . 5
10210, 101syl5eqel 2369 . . . 4
103 itg2leub 19091 . . . 4
10485, 102, 103syl2anc 642 . . 3
10518, 104mpbird 223 . 2
10646feq1d 5381 . . . . . . . . . . 11
107106cbvralv 2766 . . . . . . . . . 10
10862, 107sylib 188 . . . . . . . . 9
109108r19.21bi 2643 . . . . . . . 8
110 fss 5399 . . . . . . . 8
111109, 91, 110sylancl 643 . . . . . . 7
11285adantr 451 . . . . . . 7
11331, 40, 573jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13
114113adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12
11549ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13
11642adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14
117 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14
118 fnfvelrn 5664 . . . . . . . . . . . . . 14
119116, 117, 118syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
120115, 119eqeltrrd 2360 . . . . . . . . . . . 12
121 suprub 9717 . . . . . . . . . . . 12
122114, 120, 121syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
123 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12
124 ltso 8905 . . . . . . . . . . . . 13
125124supex 7216 . . . . . . . . . . . 12
1261fvmpt2 5610 . . . . . . . . . . . 12
127123, 125, 126sylancl 643 . . . . . . . . . . 11
128122, 127breqtrrd 4051 . . . . . . . . . 10
129128ralrimiva 2628 . . . . . . . . 9
130 fveq2 5527 . . . . . . . . . . 11
131 fveq2 5527 . . . . . . . . . . 11
132130, 131breq12d 4038 . . . . . . . . . 10
133132cbvralv 2766 . . . . . . . . 9
134129, 133sylib 188 . . . . . . . 8
135 ffn 5391 . . . . . . . . . 10
136111, 135syl 15 . . . . . . . . 9
13759, 1fmptd 5686 . . . . . . . . . . 11
138 ffn 5391 . . . . . . . . . . 11
139137, 138syl 15 . . . . . . . . . 10
140139adantr 451 . . . . . . . . 9
141 reex 8830 . . . . . . . . . 10
142141a1i 10 . . . . . . . . 9
143 inidm 3380 . . . . . . . . 9
144 eqidd 2286 . . . . . . . . 9
145 eqidd 2286 . . . . . . . . 9
146136, 140, 142, 142, 143, 144, 145ofrfval 6088 . . . . . . . 8
147134, 146mpbird 223 . . . . . . 7
148 itg2le 19096 . . . . . . 7
149111, 112, 147, 148syl3anc 1182 . . . . . 6
150149ralrimiva 2628 . . . . 5
151 ffn 5391 . . . . . . . 8
15297, 151syl 15 . . . . . . 7
153 breq1 4028 . . . . . . . 8
154153ralrn 5670 . . . . . . 7
155152, 154syl 15 . . . . . 6
15646fveq2d 5531 . . . . . . . . 9
157 fvex 5541 . . . . . . . . 9
158156, 96, 157fvmpt 5604 . . . . . . . 8
159158breq1d 4035 . . . . . . 7
160159ralbiia 2577 . . . . . 6
161155, 160syl6bb 252 . . . . 5
162150, 161mpbird 223 . . . 4
163 itg2cl 19089 . . . . . 6
16485, 163syl 15 . . . . 5
165 supxrleub 10647 . . . . 5
16699, 164, 165syl2anc 642 . . . 4
167162, 166mpbird 223 . . 3
16810, 167syl5eqbr 4058 . 2
169 xrletri3 10488 . . 3
170164, 102, 169syl2anc 642 . 2
171105, 168, 170mpbir2and 888 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1625   wcel 1686   wne 2448  wral 2545  wrex 2546  cvv 2790   wss 3154  c0 3457   class class class wbr 4025   cmpt 4079   cdm 4691   crn 4692   wfn 5252  wf 5253  cfv 5257  (class class class)co 5860   cofr 6079  csup 7195  cr 8738  cc0 8739  c1 8740   caddc 8742   cpnf 8866  cxr 8868   clt 8869   cle 8870  cn 9748  cico 10660  cicc 10661  MblFncmbf 18971  citg1 18972  citg2 18973 This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  19112  itg2cnlem1  19118 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cc 8063  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-disj 3996  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-ofr 6081  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-omul 6486  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-acn 7577  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-seq 11049  df-exp 11107  df-hash 11340  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-sum 12161  df-rest 13329  df-topgen 13346  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-cmp 17116  df-ovol 18826  df-vol 18827  df-mbf 18977  df-itg1 18978  df-itg2 18979
 Copyright terms: Public domain W3C validator