MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgabs Unicode version

Theorem itgabs 19137
Description: The triangle inequality for integrals. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgabs.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgabs.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
itgabs  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgabs
StepHypRef Expression
1 itgabs.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
2 itgabs.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
31, 2itgcl 19086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
43cjcld 11632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( * `  S. A B  _d x
)  e.  CC )
5 iblmbf 19070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
62, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
76, 1mbfmptcl 18940 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
87ralrimiva 2599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  CC )
9 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y  B  e.  CC
10 nfcsb1v 3074 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
1110nfel1 2402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ B  e.  CC
12 csbeq1a 3050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
1312eleq1d 2322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ y  /  x ]_ B  e.  CC ) )
149, 11, 13cbvral 2730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  <->  A. y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  e.  CC )
158, 14sylib 190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  e.  CC )
1615r19.21bi 2614 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  CC )
17 nfcv 2392 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y B
1817, 10, 12cbvmpt 4070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ B )
1918, 2syl5eqelr 2341 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |-> 
[_ y  /  x ]_ B )  e.  L ^1 )
204, 16, 19iblmulc2 19133 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  e.  L ^1 )
214adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
* `  S. A B  _d x )  e.  CC )
2221, 16mulcld 8809 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B )  e.  CC )
2322iblcn 19101 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  e.  L ^1  <->  ( (
y  e.  A  |->  ( Re `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L ^1  /\  ( y  e.  A  |->  ( Im `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L ^1 ) ) )
2420, 23mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( Re `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L ^1  /\  ( y  e.  A  |->  ( Im `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L ^1 ) )
2524simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( Re `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L ^1 )
26 ovex 5803 . . . . . . . . 9  |-  ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B )  e.  _V
2726a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B )  e.  _V )
2827, 20iblabs 19131 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L ^1 )
2922recld 11630 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
Re `  ( (
* `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  e.  RR )
3022abscld 11869 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  e.  RR )
3122releabsd 11884 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
Re `  ( (
* `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  <_ 
( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
3225, 28, 29, 30, 31itgle 19112 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  _d y  <_  S. A
( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
333abscld 11869 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  e.  RR )
3433recnd 8815 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  e.  CC )
3534sqvald 11194 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  S. A B  _d x ) ) )
363absvalsqd 11875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  =  ( S. A B  _d x  x.  (
* `  S. A B  _d x ) ) )
373, 4mulcomd 8810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  x.  (
* `  S. A B  _d x ) )  =  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x.  S. A B  _d x ) )
3812, 17, 10cbvitg 19078 . . . . . . . . . . . 12  |-  S. A B  _d x  =  S. A [_ y  /  x ]_ B  _d y
3938oveq2i 5789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  S. A B  _d x )  =  ( ( * `  S. A B  _d x
)  x.  S. A [_ y  /  x ]_ B  _d y
)
404, 16, 19itgmulc2 19136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  S. A [_ y  /  x ]_ B  _d y
)  =  S. A
( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )
4139, 40syl5eq 2300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  S. A B  _d x )  =  S. A ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B )  _d y )
4236, 37, 413eqtrd 2292 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  =  S. A ( ( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )
4342fveq2d 5448 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 ) )  =  ( Re
`  S. A ( ( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B )  _d y ) )
4433resqcld 11223 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  e.  RR )
4544rered 11660 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x ) ^
2 ) )
4627, 20itgre 19103 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  S. A ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B )  _d y )  =  S. A
( Re `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
4743, 45, 463eqtr3d 2296 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  =  S. A ( Re `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
4835, 47eqtr3d 2290 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  ( abs `  S. A B  _d x ) )  =  S. A ( Re
`  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
4912fveq2d 5448 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  B )  =  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )
50 nfcv 2392 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( abs `  B
)
51 nfcv 2392 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x abs
5251, 10nffv 5451 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( abs `  [_ y  /  x ]_ B )
5349, 50, 52cbvitg 19078 . . . . . . . 8  |-  S. A
( abs `  B
)  _d x  =  S. A ( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  _d y
5453oveq2i 5789 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  S. A ( abs `  B )  _d x )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  S. A ( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )
5516abscld 11869 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  e.  RR )
5616, 19iblabs 19131 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )  e.  L ^1 )
5734, 55, 56itgmulc2 19136 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )  =  S. A ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
5821, 16absmuld 11887 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
593adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
6059abscjd 11883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( * `  S. A B  _d x ) )  =  ( abs `  S. A B  _d x ) )
6160oveq1d 5793 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
6258, 61eqtrd 2288 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
6362itgeq2dv 19084 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. A ( abs `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y  =  S. A ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
6457, 63eqtr4d 2291 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )  =  S. A ( abs `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
6554, 64syl5eq 2300 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  B
)  _d x )  =  S. A ( abs `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
6632, 48, 653brtr4d 4013 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  ( abs `  S. A B  _d x ) )  <_ 
( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  B
)  _d x ) )
6766adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  S. A B  _d x ) )  <_  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  S. A ( abs `  B
)  _d x ) )
6833adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  e.  RR )
697abscld 11869 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
701, 2iblabs 19131 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L ^1 )
7169, 70itgrecl 19100 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( abs `  B )  _d x  e.  RR )
7271adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  S. A ( abs `  B )  _d x  e.  RR )
73 simpr 449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )
74 lemul2 9563 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  S. A B  _d x
)  e.  RR  /\  S. A ( abs `  B
)  _d x  e.  RR  /\  ( ( abs `  S. A B  _d x )  e.  RR  /\  0  < 
( abs `  S. A B  _d x
) ) )  -> 
( ( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x  <->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  S. A B  _d x
) )  <_  (
( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  B
)  _d x ) ) )
7568, 72, 68, 73, 74syl112anc 1191 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  <_  S. A ( abs `  B
)  _d x  <->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  S. A B  _d x
) )  <_  (
( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  B
)  _d x ) ) )
7667, 75mpbird 225 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x )
7776ex 425 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <  ( abs `  S. A B  _d x )  -> 
( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x ) )
787absge0d 11877 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
7970, 69, 78itgge0 19113 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x )
80 breq1 3986 . . 3  |-  ( 0  =  ( abs `  S. A B  _d x
)  ->  ( 0  <_  S. A ( abs `  B )  _d x  <->  ( abs `  S. A B  _d x )  <_  S. A ( abs `  B
)  _d x ) )
8179, 80syl5ibcom 213 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  =  ( abs `  S. A B  _d x )  -> 
( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x ) )
823absge0d 11877 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  S. A B  _d x ) )
83 0re 8792 . . . 4  |-  0  e.  RR
84 leloe 8862 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( abs `  S. A B  _d x )  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( abs `  S. A B  _d x )  <->  ( 0  <  ( abs `  S. A B  _d x
)  \/  0  =  ( abs `  S. A B  _d x
) ) ) )
8583, 33, 84sylancr 647 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( abs `  S. A B  _d x )  <->  ( 0  <  ( abs `  S. A B  _d x
)  \/  0  =  ( abs `  S. A B  _d x
) ) ) )
8682, 85mpbid 203 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <  ( abs `  S. A B  _d x )  \/  0  =  ( abs `  S. A B  _d x ) ) )
8777, 81, 86mpjaod 372 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   _Vcvv 2757   [_csb 3042   class class class wbr 3983    e. cmpt 4037   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   CCcc 8689   RRcr 8690   0cc0 8691    x. cmul 8696    < clt 8821    <_ cle 8822   2c2 9749   ^cexp 11056   *ccj 11532   Recre 11533   Imcim 11534   abscabs 11670  MblFncmbf 18917   L ^1cibl 18920   S.citg 18921
This theorem is referenced by:  ftc1a  19332  ftc1lem4  19334  itgulm  19732
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296  ax-cc 8015  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769  ax-addf 8770  ax-mulf 8771
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-iin 3868  df-disj 3954  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-se 4311  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-of 5998  df-ofr 5999  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-2o 6434  df-oadd 6437  df-omul 6438  df-er 6614  df-map 6728  df-pm 6729  df-ixp 6772  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-fi 7119  df-sup 7148  df-oi 7179  df-card 7526  df-acn 7529  df-cda 7748  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-4 9760  df-5 9761  df-6 9762  df-7 9763  df-8 9764  df-9 9765  df-10 9766  df-n0 9919  df-z 9978  df-dec 10078  df-uz 10184  df-q 10270  df-rp 10308  df-xneg 10405  df-xadd 10406  df-xmul 10407  df-ioo 10612  df-ioc 10613  df-ico 10614  df-icc 10615  df-fz 10735  df-fzo 10823  df-fl 10877  df-mod 10926  df-seq 10999  df-exp 11057  df-hash 11290  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-clim 11913  df-rlim 11914  df-sum 12110  df-struct 13098  df-ndx 13099  df-slot 13100  df-base 13101  df-sets 13102  df-ress 13103  df-plusg 13169  df-mulr 13170  df-starv 13171  df-sca 13172  df-vsca 13173  df-tset 13175  df-ple 13176  df-ds 13178  df-hom 13180  df-cco 13181  df-rest 13275  df-topn 13276  df-topgen 13292  df-pt 13293  df-prds 13296  df-xrs 13351  df-0g 13352  df-gsum 13353  df-qtop 13358  df-imas 13359  df-xps 13361  df-mre 13436  df-mrc 13437  df-acs 13439  df-mnd 14315  df-submnd 14364  df-mulg 14440  df-cntz 14741  df-cmn 15039  df-xmet 16321  df-met 16322  df-bl 16323  df-mopn 16324  df-cnfld 16326  df-top 16584  df-bases 16586  df-topon 16587  df-topsp 16588  df-cn 16905  df-cnp 16906  df-cmp 17062  df-tx 17205  df-hmeo 17394  df-xms 17833  df-ms 17834  df-tms 17835  df-cncf 18330  df-ovol 18772  df-vol 18773  df-mbf 18923  df-itg1 18924  df-itg2 18925  df-ibl 18926  df-itg 18927  df-0p 18973
  Copyright terms: Public domain W3C validator