MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgabs Structured version   Unicode version

Theorem itgabs 19726
Description: The triangle inequality for integrals. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgabs.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgabs.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
itgabs  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgabs
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgabs.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
2 itgabs.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
31, 2itgcl 19675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
43cjcld 12001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( * `  S. A B  _d x
)  e.  CC )
5 iblmbf 19659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
62, 5syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
76, 1mbfmptcl 19529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
87ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  CC )
9 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y  B  e.  CC
10 nfcsb1v 3283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
1110nfel1 2582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ B  e.  CC
12 csbeq1a 3259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
1312eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ y  /  x ]_ B  e.  CC ) )
149, 11, 13cbvral 2928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  <->  A. y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  e.  CC )
158, 14sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  e.  CC )
1615r19.21bi 2804 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  CC )
17 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y B
1817, 10, 12cbvmpt 4299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ B )
1918, 2syl5eqelr 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |-> 
[_ y  /  x ]_ B )  e.  L ^1 )
204, 16, 19iblmulc2 19722 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  e.  L ^1 )
214adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
* `  S. A B  _d x )  e.  CC )
2221, 16mulcld 9108 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B )  e.  CC )
2322iblcn 19690 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  e.  L ^1  <->  ( (
y  e.  A  |->  ( Re `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L ^1  /\  ( y  e.  A  |->  ( Im `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L ^1 ) ) )
2420, 23mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( Re `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L ^1  /\  ( y  e.  A  |->  ( Im `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L ^1 ) )
2524simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( Re `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L ^1 )
26 ovex 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B )  e.  _V
2726a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B )  e.  _V )
2827, 20iblabs 19720 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L ^1 )
2922recld 11999 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
Re `  ( (
* `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  e.  RR )
3022abscld 12238 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  e.  RR )
3122releabsd 12253 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
Re `  ( (
* `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  <_ 
( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
3225, 28, 29, 30, 31itgle 19701 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  _d y  <_  S. A
( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
333abscld 12238 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  e.  RR )
3433recnd 9114 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  e.  CC )
3534sqvald 11520 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  S. A B  _d x ) ) )
363absvalsqd 12244 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  =  ( S. A B  _d x  x.  (
* `  S. A B  _d x ) ) )
373, 4mulcomd 9109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  x.  (
* `  S. A B  _d x ) )  =  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x.  S. A B  _d x ) )
3812, 17, 10cbvitg 19667 . . . . . . . . . . . 12  |-  S. A B  _d x  =  S. A [_ y  /  x ]_ B  _d y
3938oveq2i 6092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  S. A B  _d x )  =  ( ( * `  S. A B  _d x
)  x.  S. A [_ y  /  x ]_ B  _d y
)
404, 16, 19itgmulc2 19725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  S. A [_ y  /  x ]_ B  _d y
)  =  S. A
( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )
4139, 40syl5eq 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  S. A B  _d x )  =  S. A ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B )  _d y )
4236, 37, 413eqtrd 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  =  S. A ( ( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )
4342fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 ) )  =  ( Re
`  S. A ( ( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B )  _d y ) )
4433resqcld 11549 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  e.  RR )
4544rered 12029 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x ) ^
2 ) )
4627, 20itgre 19692 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  S. A ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B )  _d y )  =  S. A
( Re `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
4743, 45, 463eqtr3d 2476 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  =  S. A ( Re `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
4835, 47eqtr3d 2470 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  ( abs `  S. A B  _d x ) )  =  S. A ( Re
`  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
4912fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  B )  =  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )
50 nfcv 2572 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( abs `  B
)
51 nfcv 2572 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x abs
5251, 10nffv 5735 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( abs `  [_ y  /  x ]_ B )
5349, 50, 52cbvitg 19667 . . . . . . . 8  |-  S. A
( abs `  B
)  _d x  =  S. A ( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  _d y
5453oveq2i 6092 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  S. A ( abs `  B )  _d x )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  S. A ( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )
5516abscld 12238 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  e.  RR )
5616, 19iblabs 19720 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )  e.  L ^1 )
5734, 55, 56itgmulc2 19725 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )  =  S. A ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
5821, 16absmuld 12256 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
593adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
6059abscjd 12252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( * `  S. A B  _d x ) )  =  ( abs `  S. A B  _d x ) )
6160oveq1d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
6258, 61eqtrd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
6362itgeq2dv 19673 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. A ( abs `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y  =  S. A ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
6457, 63eqtr4d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )  =  S. A ( abs `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
6554, 64syl5eq 2480 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  B
)  _d x )  =  S. A ( abs `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
6632, 48, 653brtr4d 4242 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  ( abs `  S. A B  _d x ) )  <_ 
( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  B
)  _d x ) )
6766adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  S. A B  _d x ) )  <_  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  S. A ( abs `  B
)  _d x ) )
6833adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  e.  RR )
697abscld 12238 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
701, 2iblabs 19720 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L ^1 )
7169, 70itgrecl 19689 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( abs `  B )  _d x  e.  RR )
7271adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  S. A ( abs `  B )  _d x  e.  RR )
73 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )
74 lemul2 9863 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  S. A B  _d x
)  e.  RR  /\  S. A ( abs `  B
)  _d x  e.  RR  /\  ( ( abs `  S. A B  _d x )  e.  RR  /\  0  < 
( abs `  S. A B  _d x
) ) )  -> 
( ( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x  <->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  S. A B  _d x
) )  <_  (
( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  B
)  _d x ) ) )
7568, 72, 68, 73, 74syl112anc 1188 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  <_  S. A ( abs `  B
)  _d x  <->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  S. A B  _d x
) )  <_  (
( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  B
)  _d x ) ) )
7667, 75mpbird 224 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x )
7776ex 424 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <  ( abs `  S. A B  _d x )  -> 
( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x ) )
787absge0d 12246 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
7970, 69, 78itgge0 19702 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x )
80 breq1 4215 . . 3  |-  ( 0  =  ( abs `  S. A B  _d x
)  ->  ( 0  <_  S. A ( abs `  B )  _d x  <->  ( abs `  S. A B  _d x )  <_  S. A ( abs `  B
)  _d x ) )
8179, 80syl5ibcom 212 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  =  ( abs `  S. A B  _d x )  -> 
( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x ) )
823absge0d 12246 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  S. A B  _d x ) )
83 0re 9091 . . . 4  |-  0  e.  RR
84 leloe 9161 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( abs `  S. A B  _d x )  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( abs `  S. A B  _d x )  <->  ( 0  <  ( abs `  S. A B  _d x
)  \/  0  =  ( abs `  S. A B  _d x
) ) ) )
8583, 33, 84sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( abs `  S. A B  _d x )  <->  ( 0  <  ( abs `  S. A B  _d x
)  \/  0  =  ( abs `  S. A B  _d x
) ) ) )
8682, 85mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <  ( abs `  S. A B  _d x )  \/  0  =  ( abs `  S. A B  _d x ) ) )
8777, 81, 86mpjaod 371 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   _Vcvv 2956   [_csb 3251   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121   2c2 10049   ^cexp 11382   *ccj 11901   Recre 11902   Imcim 11903   abscabs 12039  MblFncmbf 19506   L ^1cibl 19509   S.citg 19510
This theorem is referenced by:  ftc1a  19921  ftc1lem4  19923  itgulm  20324
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-cmp 17450  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-ovol 19361  df-vol 19362  df-mbf 19512  df-itg1 19513  df-itg2 19514  df-ibl 19515  df-itg 19516  df-0p 19562
  Copyright terms: Public domain W3C validator