Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgaddnclem2 Structured version   Unicode version

Theorem itgaddnclem2 26264
Description: Lemma for itgaddnc 26265; cf. itgaddlem2 19715. (Contributed by Brendan Leahy, 10-Nov-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 3-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ibladdnc.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
ibladdnc.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
ibladdnc.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
ibladdnc.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
ibladdnc.m  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
itgaddnclem.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
itgaddnclem.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itgaddnclem2  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem itgaddnclem2
StepHypRef Expression
1 itgaddnclem.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 max0sub 10782 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  B )
31, 2syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  B )
4 itgaddnclem.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
5 max0sub 10782 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  C )
64, 5syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  C )
73, 6oveq12d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  +  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  =  ( B  +  C
) )
8 0re 9091 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
9 ifcl 3775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  RR )
101, 8, 9sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
1110recnd 9114 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  CC )
12 ifcl 3775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
134, 8, 12sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )
1413recnd 9114 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  CC )
151renegcld 9464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
16 ifcl 3775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
1715, 8, 16sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
1817recnd 9114 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  CC )
194renegcld 9464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u C  e.  RR )
20 ifcl 3775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  RR )
2119, 8, 20sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  RR )
2221recnd 9114 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  CC )
2311, 14, 18, 22addsub4d 9458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  =  ( ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  +  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )
241, 4readdcld 9115 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  RR )
25 max0sub 10782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  +  C )  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 ) )  =  ( B  +  C ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 ) )  =  ( B  +  C ) )
277, 23, 263eqtr4rd 2479 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 ) )  =  ( ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )
2824renegcld 9464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u ( B  +  C )  e.  RR )
29 ifcl 3775 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( B  +  C )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  e.  RR )
3028, 8, 29sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  e.  RR )
3130recnd 9114 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  e.  CC )
3210, 13readdcld 9115 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR )
3332recnd 9114 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  CC )
34 ifcl 3775 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  +  C
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( B  +  C
) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  e.  RR )
3524, 8, 34sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  e.  RR )
3635recnd 9114 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  e.  CC )
3717, 21readdcld 9115 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  RR )
3837recnd 9114 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  CC )
3931, 33, 36, 38addsubeq4d 9462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  <->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 ) )  =  ( ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) ) )
4027, 39mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )
4140itgeq2dv 19673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  _d x  =  S. A ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  _d x )
42 ibladdnc.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
43 ibladdnc.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
44 ibladdnc.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
451, 42, 4, 43, 44ibladdnc 26262 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  L ^1 )
4624iblre 19685 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) ) )
4745, 46mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C
) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L ^1 ) )
4847simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C
) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
491iblre 19685 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  L ^1 
/\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L ^1 ) ) )
5042, 49mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L ^1 ) )
5150simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e.  L ^1 )
524iblre 19685 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 
/\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  L ^1 ) ) )
5343, 52mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  L ^1 ) )
5453simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  e.  L ^1 )
55 iblmbf 19659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
5642, 55syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
57 iblmbf 19659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
5843, 57syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
5956, 1, 58, 4, 44mbfposadd 26254 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  e. MblFn )
6010, 51, 13, 54, 59ibladdnc 26262 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  e.  L ^1 )
61 max1 10773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) )
628, 1, 61sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
63 max1 10773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
648, 4, 63sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
6510, 13, 62, 64addge0d 9602 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
66 iftrue 3745 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  ->  if ( 0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 )  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 )  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
6867oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  +  if ( 0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
6968mpteq2dva 4295 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  +  if ( 0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) ) )
7024, 44mbfneg 19542 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u ( B  +  C ) )  e. MblFn
)
711recnd 9114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
724recnd 9114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
7371, 72negdid 9424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u ( B  +  C )  =  ( -u B  +  -u C ) )
7473oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u ( B  +  C
)  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( (
-u B  +  -u C )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
7515recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  CC )
7619recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u C  e.  CC )
7775, 76, 11, 14add4d 9289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( -u B  +  -u C )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( ( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  +  ( -u C  +  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
78 negeq 9298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  =  0  ->  -u B  =  -u 0 )
79 neg0 9347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 0  =  0
8078, 79syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  =  0  ->  -u B  =  0 )
81 0le0 10081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <_  0
8281, 80syl5breqr 4248 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  =  0  ->  0  <_ 
-u B )
83 iftrue 3745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  <_  -u B  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  =  -u B
)
8482, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  =  0  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  =  -u B
)
85 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  =  0  ->  B  =  0 )
8681, 85syl5breqr 4248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  =  0  ->  0  <_  B )
87 iftrue 3745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  <_  B  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  B )
8886, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  =  0  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  B )
8988, 85eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  =  0  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  0 )
9080, 89oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  =  0  ->  ( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
91 00id 9241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  +  0 )  =  0
9290, 91syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  =  0  ->  ( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  0 )
9380, 84, 923eqtr4rd 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  =  0  ->  ( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
9493adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =  0 )  -> 
( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
95 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  B  ->  ( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  ( -u B  +  B )
)
96 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  0  ->  ( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  ( -u B  +  0 ) )
9795, 96ifsb 3748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u B  +  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  B , 
( -u B  +  B
) ,  ( -u B  +  0 ) )
9871negne0bd 9404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  =/=  0  <->  -u B  =/=  0 ) )
9998biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  -u B  =/=  0 )
1001le0neg2d 9599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  B  <->  -u B  <_ 
0 ) )
101 leloe 9161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u B  <_  0  <->  ( -u B  <  0  \/  -u B  =  0 ) ) )
10215, 8, 101sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  <_  0  <->  ( -u B  <  0  \/  -u B  =  0 ) ) )
103100, 102bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  B  <->  ( -u B  <  0  \/  -u B  =  0 ) ) )
104 df-ne 2601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -u B  =/=  0  <->  -.  -u B  =  0 )
105 biorf 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  -u B  =  0  ->  ( -u B  <  0  <->  ( -u B  =  0  \/  -u B  <  0 ) ) )
106104, 105sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -u B  =/=  0  ->  ( -u B  <  0  <->  ( -u B  =  0  \/  -u B  <  0
) ) )
107 orcom 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u B  =  0  \/  -u B  <  0
)  <->  ( -u B  <  0  \/  -u B  =  0 ) )
108106, 107syl6rbb 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -u B  =/=  0  ->  (
( -u B  <  0  \/  -u B  =  0 )  <->  -u B  <  0
) )
109103, 108sylan9bb 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  -u B  =/=  0 )  ->  (
0  <_  B  <->  -u B  <  0 ) )
11099, 109syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  (
0  <_  B  <->  -u B  <  0 ) )
111 ltnle 9155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u B  <  0  <->  -.  0  <_  -u B ) )
11215, 8, 111sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  <  0  <->  -.  0  <_  -u B ) )
113112adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( -u B  <  0  <->  -.  0  <_  -u B ) )
114110, 113bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  (
0  <_  B  <->  -.  0  <_ 
-u B ) )
11575, 71addcomd 9268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  +  B )  =  ( B  +  -u B ) )
11671negidd 9401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  -u B )  =  0 )
117115, 116eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  +  B )  =  0 )
118117adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( -u B  +  B )  =  0 )
11975addid1d 9266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  +  0 )  =  -u B )
120119adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( -u B  +  0 )  =  -u B )
121114, 118, 120ifbieq12d 3761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  if ( 0  <_  B ,  ( -u B  +  B ) ,  (
-u B  +  0 ) )  =  if ( -.  0  <_  -u B ,  0 , 
-u B ) )
122 ifnot 3777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( -.  0  <_  -u B ,  0 ,  -u B )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )
123121, 122syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  if ( 0  <_  B ,  ( -u B  +  B ) ,  (
-u B  +  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
12497, 123syl5eq 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
12594, 124pm2.61dane 2682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
126 negeq 9298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  =  0  ->  -u C  =  -u 0 )
127126, 79syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  =  0  ->  -u C  =  0 )
12881, 127syl5breqr 4248 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  =  0  ->  0  <_ 
-u C )
129 iftrue 3745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  <_  -u C  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  =  -u C
)
130128, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  =  0  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  =  -u C
)
131 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( C  =  0  ->  C  =  0 )
13281, 131syl5breqr 4248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( C  =  0  ->  0  <_  C )
133 iftrue 3745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  <_  C  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  =  C )
134132, 133syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( C  =  0  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  =  C )
135134, 131eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  =  0  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  =  0 )
136127, 135oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  =  0  ->  ( -u C  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
137136, 91syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  =  0  ->  ( -u C  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  0 )
138127, 130, 1373eqtr4rd 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  =  0  ->  ( -u C  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
139138adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =  0 )  -> 
( -u C  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
140 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  =  C  ->  ( -u C  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( -u C  +  C )
)
141 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  =  0  ->  ( -u C  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( -u C  +  0 ) )
142140, 141ifsb 3748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u C  +  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  C , 
( -u C  +  C
) ,  ( -u C  +  0 ) )
14372negne0bd 9404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  =/=  0  <->  -u C  =/=  0 ) )
144143biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  -u C  =/=  0 )
1454le0neg2d 9599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  C  <->  -u C  <_ 
0 ) )
146 leloe 9161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
-u C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u C  <_  0  <->  ( -u C  <  0  \/  -u C  =  0 ) ) )
14719, 8, 146sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u C  <_  0  <->  ( -u C  <  0  \/  -u C  =  0 ) ) )
148145, 147bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  C  <->  ( -u C  <  0  \/  -u C  =  0 ) ) )
149 df-ne 2601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -u C  =/=  0  <->  -.  -u C  =  0 )
150 biorf 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  -u C  =  0  ->  ( -u C  <  0  <->  ( -u C  =  0  \/  -u C  <  0 ) ) )
151149, 150sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -u C  =/=  0  ->  ( -u C  <  0  <->  ( -u C  =  0  \/  -u C  <  0
) ) )
152 orcom 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u C  =  0  \/  -u C  <  0
)  <->  ( -u C  <  0  \/  -u C  =  0 ) )
153151, 152syl6rbb 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -u C  =/=  0  ->  (
( -u C  <  0  \/  -u C  =  0 )  <->  -u C  <  0
) )
154148, 153sylan9bb 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  -u C  =/=  0 )  ->  (
0  <_  C  <->  -u C  <  0 ) )
155144, 154syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  (
0  <_  C  <->  -u C  <  0 ) )
156 ltnle 9155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
-u C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u C  <  0  <->  -.  0  <_  -u C ) )
15719, 8, 156sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u C  <  0  <->  -.  0  <_  -u C ) )
158157adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  ( -u C  <  0  <->  -.  0  <_  -u C ) )
159155, 158bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  (
0  <_  C  <->  -.  0  <_ 
-u C ) )
16076, 72addcomd 9268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u C  +  C )  =  ( C  +  -u C ) )
16172negidd 9401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  +  -u C )  =  0 )
162160, 161eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u C  +  C )  =  0 )
163162adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  ( -u C  +  C )  =  0 )
16476addid1d 9266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u C  +  0 )  =  -u C )
165164adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  ( -u C  +  0 )  =  -u C )
166159, 163, 165ifbieq12d 3761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  if ( 0  <_  C ,  ( -u C  +  C ) ,  (
-u C  +  0 ) )  =  if ( -.  0  <_  -u C ,  0 , 
-u C ) )
167 ifnot 3777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( -.  0  <_  -u C ,  0 ,  -u C )  =  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )
168166, 167syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  if ( 0  <_  C ,  ( -u C  +  C ) ,  (
-u C  +  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
169142, 168syl5eq 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  ( -u C  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
170139, 169pm2.61dane 2682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u C  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
171125, 170oveq12d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  +  ( -u C  +  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )
17274, 77, 1713eqtrd 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u ( B  +  C
)  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )
173172mpteq2dva 4295 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( -u ( B  +  C )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )
1741, 56mbfneg 19542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e. MblFn
)
1754, 58mbfneg 19542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u C )  e. MblFn
)
17673mpteq2dva 4295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u ( B  +  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( -u B  +  -u C ) ) )
177176, 70eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( -u B  +  -u C ) )  e. MblFn
)
178174, 15, 175, 19, 177mbfposadd 26254 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  e. MblFn )
179173, 178eqeltrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( -u ( B  +  C )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) )  e. MblFn )
18070, 28, 59, 32, 179mbfposadd 26254 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  +  if ( 0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e. MblFn )
18169, 180eqeltrrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )  e. MblFn )
182 max1 10773 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u ( B  +  C
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 ) )
1838, 28, 182sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( B  +  C
) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 ) )
18430, 48, 32, 60, 181, 30, 32, 183, 65itgaddnclem1 26263 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x ) )
18547simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( B  +  C
) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L ^1 )
18650simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L ^1 )
18753simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  L ^1 )
18817, 186, 21, 187, 178ibladdnc 26262 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  e.  L ^1 )
189 max1 10773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
1908, 15, 189sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
191 max1 10773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u C  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
1928, 19, 191sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
19317, 21, 190, 192addge0d 9602 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )
194 iftrue 3745 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <_  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  ->  if (
0  <_  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  0 )  =  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )
195193, 194syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  0 )  =  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )
196195oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  if ( 0  <_  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )
197196mpteq2dva 4295 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  if ( 0  <_ 
( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_ 
( B  +  C
) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) ) )
19871, 72, 18, 22add4d 9289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  +  C
)  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  =  ( ( B  +  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  +  ( C  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )
19984, 80eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  =  0  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  =  0 )
20085, 199oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  =  0  ->  ( B  +  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
201200, 91syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  =  0  ->  ( B  +  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  0 )
20285, 88, 2013eqtr4rd 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  =  0  ->  ( B  +  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
203202adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =  0 )  -> 
( B  +  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
204 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  =  -u B  ->  ( B  +  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  ( B  +  -u B
) )
205 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  =  0  -> 
( B  +  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  ( B  +  0 ) )
206204, 205ifsb 3748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  +  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u B , 
( B  +  -u B ) ,  ( B  +  0 ) )
2071le0neg1d 9598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <_  0  <->  0  <_  -u B ) )
208 leloe 9161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( B  <_  0  <->  ( B  <  0  \/  B  =  0 ) ) )
2091, 8, 208sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <_  0  <->  ( B  <  0  \/  B  =  0 ) ) )
210207, 209bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  -u B  <->  ( B  <  0  \/  B  =  0 ) ) )
211 df-ne 2601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  =/=  0  <->  -.  B  =  0 )
212 biorf 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  B  =  0  -> 
( B  <  0  <->  ( B  =  0  \/  B  <  0 ) ) )
213211, 212sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  =/=  0  ->  ( B  <  0  <->  ( B  =  0  \/  B  <  0 ) ) )
214 orcom 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  =  0  \/  B  <  0 )  <-> 
( B  <  0  \/  B  =  0
) )
215213, 214syl6rbb 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  =/=  0  ->  (
( B  <  0  \/  B  =  0
)  <->  B  <  0
) )
216210, 215sylan9bb 681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  (
0  <_  -u B  <->  B  <  0 ) )
217 ltnle 9155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( B  <  0  <->  -.  0  <_  B )
)
2181, 8, 217sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <  0  <->  -.  0  <_  B ) )
219218adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  <  0  <->  -.  0  <_  B ) )
220216, 219bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  (
0  <_  -u B  <->  -.  0  <_  B ) )
221116adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  +  -u B )  =  0 )
22271addid1d 9266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  0 )  =  B )
223222adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  +  0 )  =  B )
224220, 221, 223ifbieq12d 3761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  ( B  +  -u B ) ,  ( B  +  0 ) )  =  if ( -.  0  <_  B ,  0 ,  B
) )
225 ifnot 3777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( -.  0  <_  B ,  0 ,  B
)  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )
226224, 225syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  ( B  +  -u B ) ,  ( B  +  0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
227206, 226syl5eq 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  +  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
228203, 227pm2.61dane 2682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
229130, 127eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  =  0  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  =  0 )
230131, 229oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  =  0  ->  ( C  +  if (
0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
231230, 91syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  =  0  ->  ( C  +  if (
0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  0 )
232131, 134, 2313eqtr4rd 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  =  0  ->  ( C  +  if (
0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
233232adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =  0 )  -> 
( C  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
234 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  =  -u C  ->  ( C  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  ( C  +  -u C
) )
235 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  =  0  -> 
( C  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  ( C  +  0 ) )
236234, 235ifsb 3748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u C , 
( C  +  -u C ) ,  ( C  +  0 ) )
2374le0neg1d 9598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  <_  0  <->  0  <_  -u C ) )
238 leloe 9161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( C  <_  0  <->  ( C  <  0  \/  C  =  0 ) ) )
2394, 8, 238sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  <_  0  <->  ( C  <  0  \/  C  =  0 ) ) )
240237, 239bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  -u C  <->  ( C  <  0  \/  C  =  0 ) ) )
241 df-ne 2601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( C  =/=  0  <->  -.  C  =  0 )
242 biorf 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  C  =  0  -> 
( C  <  0  <->  ( C  =  0  \/  C  <  0 ) ) )
243241, 242sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( C  =/=  0  ->  ( C  <  0  <->  ( C  =  0  \/  C  <  0 ) ) )
244 orcom 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  =  0  \/  C  <  0 )  <-> 
( C  <  0  \/  C  =  0
) )
245243, 244syl6rbb 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( C  =/=  0  ->  (
( C  <  0  \/  C  =  0
)  <->  C  <  0
) )
246240, 245sylan9bb 681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  (
0  <_  -u C  <->  C  <  0 ) )
247 ltnle 9155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( C  <  0  <->  -.  0  <_  C )
)
2484, 8, 247sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  <  0  <->  -.  0  <_  C ) )
249248adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  ( C  <  0  <->  -.  0  <_  C ) )
250246, 249bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  (
0  <_  -u C  <->  -.  0  <_  C ) )
251161adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  ( C  +  -u C )  =  0 )
25272addid1d 9266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  +  0 )  =  C )
253252adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  ( C  +  0 )  =  C )
254250, 251, 253ifbieq12d 3761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  ( C  +  -u C ) ,  ( C  +  0 ) )  =  if ( -.  0  <_  C ,  0 ,  C
) )
255 ifnot 3777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( -.  0  <_  C ,  0 ,  C
)  =  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )
256254, 255syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  ( C  +  -u C ) ,  ( C  +  0 ) )  =  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
257236, 256syl5eq 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  ( C  +  if (
0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
258233, 257pm2.61dane 2682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  +  if (
0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
259228, 258oveq12d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  +  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  +  ( C  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
260198, 259eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  +  C
)  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
261260mpteq2dva 4295 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( B  +  C )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
262261, 59eqeltrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( B  +  C )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )  e. MblFn )
26344, 24, 178, 37, 262mbfposadd 26254 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  if ( 0  <_ 
( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e. MblFn )
264197, 263eqeltrrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )  e. MblFn
)
265 max1 10773 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( B  +  C
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )
2668, 24, 265sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( B  +  C
) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )
26735, 185, 37, 188, 264, 35, 37, 266, 193itgaddnclem1 26263 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x ) )
26841, 184, 2673eqtr3d 2476 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x )  =  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x ) )
26930, 48itgcl 19675 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  e.  CC )
27010, 51, 13, 54, 59, 10, 13, 62, 64itgaddnclem1 26263 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  _d x ) )
27110, 51itgcl 19675 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  e.  CC )
27213, 54itgcl 19675 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  e.  CC )
273271, 272addcld 9107 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  _d x )  e.  CC )
274270, 273eqeltrd 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  e.  CC )
27535, 185itgcl 19675 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  e.  CC )
27617, 186, 21, 187, 178, 17, 21, 190, 192itgaddnclem1 26263 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) )
27717, 186itgcl 19675 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  e.  CC )
27821, 187itgcl 19675 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x  e.  CC )
279277, 278addcld 9107 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x )  e.  CC )
280276, 279eqeltrd 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x  e.  CC )
281269, 274, 275, 280addsubeq4d 9462 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x )  =  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x )  <-> 
( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  _d x )  =  ( S. A ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x ) ) )
282268, 281mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  _d x )  =  ( S. A ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x ) )
283270, 276oveq12d 6099 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x )  =  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x )  -  ( S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) ) )
284271, 272, 277, 278addsub4d 9458 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  _d x )  -  ( S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) )  =  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  +  ( S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) ) )
285282, 283, 2843eqtrd 2472 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  _d x )  =  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  +  ( S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) ) )
28624, 45itgreval 19688 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x ) )
2871, 42itgreval 19688 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )
2884, 43itgreval 19688 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) )
289287, 288oveq12d 6099 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x
)  =  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  +  ( S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) ) )
290285, 286, 2893eqtr4d 2478 1  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   ifcif 3739   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990    + caddc 8993    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   -ucneg 9292  MblFncmbf 19506   L ^1cibl 19509   S.citg 19510
This theorem is referenced by:  itgaddnc  26265
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cmp 17450  df-ovol 19361  df-vol 19362  df-mbf 19512  df-itg1 19513  df-itg2 19514  df-ibl 19515  df-itg 19516  df-0p 19562
  Copyright terms: Public domain W3C validator