MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgcl Unicode version

Theorem itgcl 19140
Description: The integral of an integrable function is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmpt.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgcl.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
itgcl  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgcl
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2285 . . 3  |-  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
21dfitg 19126 . 2  |-  S. A B  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
3 fzfid 11037 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0 ... 3
)  e.  Fin )
4 ax-icn 8798 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
5 elfznn0 10824 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  NN0 )
65adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  k  e.  NN0 )
7 expcl 11123 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ k
)  e.  CC )
84, 6, 7sylancr 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
9 elfzelz 10800 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
10 eqidd 2286 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
11 eqidd 2286 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
12 itgcl.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
13 itgmpt.1 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
1410, 11, 12, 13iblitg 19125 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
159, 14sylan2 460 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
1615recnd 8863 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  CC )
178, 16mulcld 8857 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  e.  CC )
183, 17fsumcl 12208 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  e.  CC )
192, 18syl5eqel 2369 1  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1686   ifcif 3567   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   CCcc 8737   RRcr 8738   0cc0 8739   _ici 8741    x. cmul 8744    <_ cle 8870    / cdiv 9425   3c3 9798   NN0cn0 9967   ZZcz 10026   ...cfz 10784   ^cexp 11106   Recre 11584   sum_csu 12160   S.2citg2 18973   L ^1cibl 18974   S.citg 18975
This theorem is referenced by:  itgneg  19160  itgaddlem2  19180  itgadd  19181  itgsub  19182  itgfsum  19183  itgmulc2lem2  19189  itgmulc2  19190  itgabs  19191  itgsplitioo  19194  ditgcl  19210  ditgswap  19211  ftc1lem1  19384  ftc1lem2  19385  ftc1a  19386  ftc1lem4  19388  ftc2  19393  itgparts  19396  itgsubstlem  19397  itgulm  19786  itgsinexplem1  27759  itgsinexp  27760
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-rp 10357  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-mod 10976  df-seq 11049  df-exp 11107  df-hash 11340  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-clim 11964  df-sum 12161  df-ibl 18980  df-itg 18981
  Copyright terms: Public domain W3C validator