MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgcn Unicode version

Theorem itgcn 19602
Description: Transfer itg2cn 19523 to the full Lebesgue integral. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcn.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgcn.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
itgcn.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
itgcn  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  A  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  B )  _d x  <  C ) )
Distinct variable groups:    u, d, x, A    B, d, u    C, d, u    ph, d, u, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x, u, d)

Proof of Theorem itgcn
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgcn.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
2 iblmbf 19527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
31, 2syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
4 itgcn.1 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
53, 4mbfmptcl 19397 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
65abscld 12166 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
75absge0d 12174 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
8 elrege0 10940 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  B )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( abs `  B )  e.  RR  /\  0  <_ 
( abs `  B
) ) )
96, 7, 8sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
10 0re 9025 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
11 0le0 10014 . . . . . . . 8  |-  0  <_  0
12 elrege0 10940 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 ) )
1310, 11, 12mpbir2an 887 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
159, 14ifclda 3710 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
1615adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
17 eqid 2388 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )
1816, 17fmptd 5833 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
193, 4mbfdm2 19398 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
20 mblss 19295 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
2119, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
22 rembl 19303 . . . . 5  |-  RR  e.  dom  vol
2322a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  dom  vol )
2415adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
25 eldifn 3414 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
2625adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  x  e.  A )
27 iffalse 3690 . . . . 5  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  0 )
2826, 27syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 )  =  0 )
29 iftrue 3689 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  ( abs `  B
) )
3029mpteq2ia 4233 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B ) )
314, 1iblabs 19588 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L ^1 )
326, 7iblpos 19552 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L ^1 
<->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
3331, 32mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
3433simpld 446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn )
3530, 34syl5eqel 2472 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
3621, 23, 24, 28, 35mbfss 19406 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )  e. MblFn )
3733simprd 450 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
38 itgcn.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
3918, 36, 37, 38itg2cn 19523 . 2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 y ) ,  0 ) ) )  <  C ) )
40 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  ->  u  C_  A )
4140sselda 3292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A )
)  /\  x  e.  u )  ->  x  e.  A )
425adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A )
)  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4341, 42syldan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A )
)  /\  x  e.  u )  ->  B  e.  CC )
4443abscld 12166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A )
)  /\  x  e.  u )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
45 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  ->  u  e.  dom  vol )
4642abscld 12166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A )
)  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
4731adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  -> 
( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L ^1 )
4840, 45, 46, 47iblss 19564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  -> 
( x  e.  u  |->  ( abs `  B
) )  e.  L ^1 )
4943absge0d 12174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A )
)  /\  x  e.  u )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
5044, 48, 49itgposval 19555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  ->  S. u ( abs `  B
)  _d x  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) ) )
5140sseld 3291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  -> 
( x  e.  u  ->  x  e.  A ) )
5251pm4.71d 616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  -> 
( x  e.  u  <->  ( x  e.  u  /\  x  e.  A )
) )
5352ifbid 3701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  ->  if ( x  e.  u ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  u  /\  x  e.  A ) ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )
54 ifan 3722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( ( x  e.  u  /\  x  e.  A
) ,  ( abs `  B ) ,  0 )  =  if ( x  e.  u ,  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ,  0 )
5553, 54syl6eq 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  ->  if ( x  e.  u ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  if ( x  e.  u ,  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ,  0 ) )
5655mpteq2dv 4238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ,  0 ) ) )
5756fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ,  0 ) ) ) )
5850, 57eqtrd 2420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  ->  S. u ( abs `  B
)  _d x  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ,  0 ) ) ) )
59 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x  y  e.  u
60 nffvmpt1 5677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 y )
61 nfcv 2524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
0
6259, 60, 61nfif 3707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  y ) ,  0 )
63 nfcv 2524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y if ( x  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  x ) ,  0 )
64 elequ1 1720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  u  <->  x  e.  u ) )
65 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  x ) )
66 eqidd 2389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  0  =  0 )
6764, 65, 66ifbieq12d 3705 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  y ) ,  0 )  =  if ( x  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) `  x ) ,  0 ) )
6862, 63, 67cbvmpt 4241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  x ) ,  0 ) )
69 fvex 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs `  B )  e.  _V
70 c0ex 9019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  _V
7169, 70ifex 3741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 )  e.  _V
7217fvmpt2 5752 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  e.  _V )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )
7371, 72mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )
7473ifeq1d 3697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  if ( x  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  x ) ,  0 )  =  if ( x  e.  u ,  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ,  0 ) )
7574mpteq2ia 4233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )
7668, 75eqtri 2408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )
7776fveq2i 5672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  y ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ,  0 ) ) )
7858, 77syl6eqr 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  ->  S. u ( abs `  B
)  _d x  =  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  y ) ,  0 ) ) ) )
7978breq1d 4164 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  -> 
( S. u ( abs `  B )  _d x  <  C  <->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 y ) ,  0 ) ) )  <  C ) )
8079biimprd 215 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  -> 
( ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  y ) ,  0 ) ) )  <  C  ->  S. u ( abs `  B
)  _d x  < 
C ) )
8180imim2d 50 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  -> 
( ( ( vol `  u )  <  d  ->  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  y ) ,  0 ) ) )  <  C )  ->  ( ( vol `  u )  <  d  ->  S. u ( abs `  B )  _d x  <  C ) ) )
8281expr 599 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  dom  vol )  ->  (
u  C_  A  ->  ( ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 y ) ,  0 ) ) )  <  C )  -> 
( ( vol `  u
)  <  d  ->  S. u ( abs `  B
)  _d x  < 
C ) ) ) )
8382com23 74 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  dom  vol )  ->  (
( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 y ) ,  0 ) ) )  <  C )  -> 
( u  C_  A  ->  ( ( vol `  u
)  <  d  ->  S. u ( abs `  B
)  _d x  < 
C ) ) ) )
8483imp4a 573 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  dom  vol )  ->  (
( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 y ) ,  0 ) ) )  <  C )  -> 
( ( u  C_  A  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  B )  _d x  <  C ) ) )
8584ralimdva 2728 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. u  e. 
dom  vol ( ( vol `  u )  <  d  ->  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  y ) ,  0 ) ) )  <  C )  ->  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  A  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  B )  _d x  <  C ) ) )
8685reximdv 2761 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 y ) ,  0 ) ) )  <  C )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  A  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  B
)  _d x  < 
C ) ) )
8739, 86mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  A  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  B )  _d x  <  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   E.wrex 2651   _Vcvv 2900    \ cdif 3261    C_ wss 3264   ifcif 3683   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   dom cdm 4819   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924    +oocpnf 9051    < clt 9054    <_ cle 9055   RR+crp 10545   [,)cico 10851   abscabs 11967   volcvol 19228  MblFncmbf 19374   S.2citg2 19376   L ^1cibl 19377   S.citg 19378
This theorem is referenced by:  ftc1a  19789
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cc 8249  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-disj 4125  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-ofr 6246  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-omul 6666  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-acn 7763  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ioc 10854  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-mod 11179  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-cmp 17373  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cncf 18780  df-ovol 19229  df-vol 19230  df-mbf 19380  df-itg1 19381  df-itg2 19382  df-ibl 19383  df-itg 19384  df-0p 19430
  Copyright terms: Public domain W3C validator