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Theorem itgeqa 19705
Description: Approximate equality of integrals. If  C ( x )  =  D ( x ) for almost all  x, then  S. B C ( x )  _d x  =  S. B D ( x )  _d x and one is integrable iff the other is. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgeqa.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
itgeqa.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  D  e.  CC )
itgeqa.3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
itgeqa.4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
itgeqa.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  =  D )
Assertion
Ref Expression
itgeqa  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e.  L ^1 )  /\  S. B C  _d x  =  S. B D  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hints:    C( x)    D( x)

Proof of Theorem itgeqa
Dummy variables  y 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgeqa.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2 itgeqa.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
3 itgeqa.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  =  D )
4 itgeqa.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
5 itgeqa.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  D  e.  CC )
61, 2, 3, 4, 5mbfeqa 19535 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e. MblFn ) )
7 ifan 3778 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
84adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
9 elfzelz 11059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
109ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  k  e.  ZZ )
11 ax-icn 9049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  _i  e.  CC
12 ine0 9469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  _i  =/=  0
13 expclz 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
1411, 12, 13mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
1510, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
16 expne0i 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
1711, 12, 16mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
1810, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
198, 15, 18divcld 9790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  ( C  /  ( _i ^
k ) )  e.  CC )
2019recld 11999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )
21 0re 9091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
22 ifcl 3775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2320, 21, 22sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2423rexrd 9134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR* )
25 max1 10773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
2621, 20, 25sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
27 elxrge0 11008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
2824, 26, 27sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
29 0xr 9131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR*
30 0le0 10081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  0
31 elxrge0 11008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0 ) )
3229, 30, 31mpbir2an 887 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  -.  x  e.  B )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
3428, 33ifclda 3766 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
357, 34syl5eqel 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
3635adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
37 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
3836, 37fmptd 5893 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
39 ifan 3778 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
405adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  D  e.  CC )
4140, 15, 18divcld 9790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  ( D  /  ( _i ^
k ) )  e.  CC )
4241recld 11999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )
43 ifcl 3775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
4442, 21, 43sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
4544rexrd 9134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR* )
46 max1 10773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
4721, 42, 46sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
48 elxrge0 11008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
4945, 47, 48sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
5049, 33ifclda 3766 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
5139, 50syl5eqel 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
5251adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
53 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
5452, 53fmptd 5893 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
551adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  A  C_  RR )
562adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
57 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  ph )
58 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
59 eldifn 3470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
6059ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  -.  x  e.  A )
6158, 60eldifd 3331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ( B  \  A
) )
6257, 61, 3syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  C  =  D )
6362oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  ( C  /  ( _i ^
k ) )  =  ( D  /  (
_i ^ k ) ) )
6463fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) )
6564ibllem 19656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
66 eldifi 3469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  x  e.  RR )
6766adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  x  e.  RR )
68 fvex 5742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) )  e. 
_V
69 c0ex 9085 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  _V
7068, 69ifex 3797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  _V
7137fvmpt2 5812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
7267, 70, 71sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
73 fvex 5742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) )  e. 
_V
7473, 69ifex 3797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  _V
7553fvmpt2 5812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
7667, 74, 75sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
7765, 72, 763eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x ) )
7877ralrimiva 2789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( RR  \  A ) ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x ) )
79 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x )
80 nffvmpt1 5736 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y )
81 nffvmpt1 5736 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y )
8280, 81nfeq 2579 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y )
83 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) )
84 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) )
8583, 84eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x )  <->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) ) )
8679, 82, 85cbvral 2928 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( RR  \  A ) ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  <->  A. y  e.  ( RR  \  A
) ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) `  y
)  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) )
8778, 86sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( RR  \  A ) ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y ) )
8887r19.21bi 2804 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) )
8988adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  y  e.  ( RR  \  A
) )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) )
9038, 54, 55, 56, 89itg2eqa 19637 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
9190eleq1d 2502 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
9291ralbidva 2721 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
936, 92anbi12d 692 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  <->  ( (
x  e.  B  |->  D )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
94 eqidd 2437 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
95 eqidd 2437 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
9694, 95, 4isibl2 19658 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
97 eqidd 2437 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
98 eqidd 2437 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) )
9997, 98, 5isibl2 19658 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  D )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  B  |->  D )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
10093, 96, 993bitr4d 277 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e.  L ^1 ) )
10190oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) ) )
102101sumeq2dv 12497 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) ) )
103 eqid 2436 . . . 4  |-  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )
104103dfitg 19661 . . 3  |-  S. B C  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
105 eqid 2436 . . . 4  |-  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) )
106105dfitg 19661 . . 3  |-  S. B D  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
107102, 104, 1063eqtr4g 2493 . 2  |-  ( ph  ->  S. B C  _d x  =  S. B D  _d x )
108100, 107jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e.  L ^1 )  /\  S. B C  _d x  =  S. B D  _d x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    C_ wss 3320   ifcif 3739   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   _ici 8992    x. cmul 8995    +oocpnf 9117   RR*cxr 9119    <_ cle 9121    / cdiv 9677   3c3 10050   ZZcz 10282   [,]cicc 10919   ...cfz 11043   ^cexp 11382   Recre 11902   sum_csu 12479   vol
*covol 19359  MblFncmbf 19506   S.2citg2 19508   L ^1cibl 19509   S.citg 19510
This theorem is referenced by:  itgss3  19706
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cmp 17450  df-ovol 19361  df-vol 19362  df-mbf 19512  df-itg1 19513  df-itg2 19514  df-ibl 19515  df-itg 19516
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