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Theorem itgeqa 19573
Description: Approximate equality of integrals. If  C ( x )  =  D ( x ) for almost all  x, then  S. B C ( x )  _d x  =  S. B D ( x )  _d x and one is integrable iff the other is. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgeqa.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
itgeqa.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  D  e.  CC )
itgeqa.3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
itgeqa.4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
itgeqa.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  =  D )
Assertion
Ref Expression
itgeqa  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e.  L ^1 )  /\  S. B C  _d x  =  S. B D  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hints:    C( x)    D( x)

Proof of Theorem itgeqa
Dummy variables  y 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgeqa.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2 itgeqa.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
3 itgeqa.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  =  D )
4 itgeqa.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
5 itgeqa.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  D  e.  CC )
61, 2, 3, 4, 5mbfeqa 19403 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e. MblFn ) )
7 ifan 3722 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
84adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
9 elfzelz 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
109ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  k  e.  ZZ )
11 ax-icn 8983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  _i  e.  CC
12 ine0 9402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  _i  =/=  0
13 expclz 11334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
1411, 12, 13mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
1510, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
16 expne0i 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
1711, 12, 16mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
1810, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
198, 15, 18divcld 9723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  ( C  /  ( _i ^
k ) )  e.  CC )
2019recld 11927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )
21 0re 9025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
22 ifcl 3719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2320, 21, 22sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2423rexrd 9068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR* )
25 max1 10706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
2621, 20, 25sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
27 elxrge0 10941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
2824, 26, 27sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
29 0xr 9065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR*
30 0le0 10014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  0
31 elxrge0 10941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0 ) )
3229, 30, 31mpbir2an 887 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  -.  x  e.  B )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
3428, 33ifclda 3710 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
357, 34syl5eqel 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
3635adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
37 eqid 2388 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
3836, 37fmptd 5833 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
39 ifan 3722 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
405adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  D  e.  CC )
4140, 15, 18divcld 9723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  ( D  /  ( _i ^
k ) )  e.  CC )
4241recld 11927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )
43 ifcl 3719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
4442, 21, 43sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
4544rexrd 9068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR* )
46 max1 10706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
4721, 42, 46sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
48 elxrge0 10941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
4945, 47, 48sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
5049, 33ifclda 3710 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
5139, 50syl5eqel 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
5251adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
53 eqid 2388 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
5452, 53fmptd 5833 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
551adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  A  C_  RR )
562adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
57 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  ph )
58 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
59 eldifn 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
6059ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  -.  x  e.  A )
6158, 60eldifd 3275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ( B  \  A
) )
6257, 61, 3syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  C  =  D )
6362oveq1d 6036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  ( C  /  ( _i ^
k ) )  =  ( D  /  (
_i ^ k ) ) )
6463fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) )
6564ibllem 19524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
66 eldifi 3413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  x  e.  RR )
6766adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  x  e.  RR )
68 fvex 5683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) )  e. 
_V
69 c0ex 9019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  _V
7068, 69ifex 3741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  _V
7137fvmpt2 5752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
7267, 70, 71sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
73 fvex 5683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) )  e. 
_V
7473, 69ifex 3741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  _V
7553fvmpt2 5752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
7667, 74, 75sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
7765, 72, 763eqtr4d 2430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x ) )
7877ralrimiva 2733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( RR  \  A ) ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x ) )
79 nfv 1626 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x )
80 nffvmpt1 5677 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y )
81 nffvmpt1 5677 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y )
8280, 81nfeq 2531 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y )
83 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) )
84 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) )
8583, 84eqeq12d 2402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x )  <->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) ) )
8679, 82, 85cbvral 2872 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( RR  \  A ) ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  <->  A. y  e.  ( RR  \  A
) ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) `  y
)  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) )
8778, 86sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( RR  \  A ) ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y ) )
8887r19.21bi 2748 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) )
8988adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  y  e.  ( RR  \  A
) )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) )
9038, 54, 55, 56, 89itg2eqa 19505 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
9190eleq1d 2454 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
9291ralbidva 2666 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
936, 92anbi12d 692 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  <->  ( (
x  e.  B  |->  D )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
94 eqidd 2389 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
95 eqidd 2389 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
9694, 95, 4isibl2 19526 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
97 eqidd 2389 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
98 eqidd 2389 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) )
9997, 98, 5isibl2 19526 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  D )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  B  |->  D )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
10093, 96, 993bitr4d 277 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e.  L ^1 ) )
10190oveq2d 6037 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) ) )
102101sumeq2dv 12425 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) ) )
103 eqid 2388 . . . 4  |-  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )
104103dfitg 19529 . . 3  |-  S. B C  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
105 eqid 2388 . . . 4  |-  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) )
106105dfitg 19529 . . 3  |-  S. B D  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
107102, 104, 1063eqtr4g 2445 . 2  |-  ( ph  ->  S. B C  _d x  =  S. B D  _d x )
108100, 107jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e.  L ^1 )  /\  S. B C  _d x  =  S. B D  _d x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650   _Vcvv 2900    \ cdif 3261    C_ wss 3264   ifcif 3683   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924   _ici 8926    x. cmul 8929    +oocpnf 9051   RR*cxr 9053    <_ cle 9055    / cdiv 9610   3c3 9983   ZZcz 10215   [,]cicc 10852   ...cfz 10976   ^cexp 11310   Recre 11830   sum_csu 12407   vol
*covol 19227  MblFncmbf 19374   S.2citg2 19376   L ^1cibl 19377   S.citg 19378
This theorem is referenced by:  itgss3  19574
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-disj 4125  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-ofr 6246  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-sum 12408  df-rest 13578  df-topgen 13595  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-cmp 17373  df-ovol 19229  df-vol 19230  df-mbf 19380  df-itg1 19381  df-itg2 19382  df-ibl 19383  df-itg 19384
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