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Theorem itgeqa 19184
Description: Approximate equality of integrals. If  C ( x )  =  D ( x ) for almost all  x, then  S. B C ( x )  _d x  =  S. B D ( x )  _d x and one is integrable iff the other is. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgeqa.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
itgeqa.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  D  e.  CC )
itgeqa.3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
itgeqa.4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
itgeqa.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  =  D )
Assertion
Ref Expression
itgeqa  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e.  L ^1 )  /\  S. B C  _d x  =  S. B D  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hints:    C( x)    D( x)

Proof of Theorem itgeqa
Dummy variables  y 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgeqa.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2 itgeqa.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
3 itgeqa.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  =  D )
4 itgeqa.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
5 itgeqa.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  D  e.  CC )
61, 2, 3, 4, 5mbfeqa 19014 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e. MblFn ) )
7 ifan 3617 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
84adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
9 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
109ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  k  e.  ZZ )
11 ax-icn 8812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  _i  e.  CC
12 ine0 9231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  _i  =/=  0
13 expclz 11144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
1411, 12, 13mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
1510, 14syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
16 expne0i 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
1711, 12, 16mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
1810, 17syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
198, 15, 18divcld 9552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  ( C  /  ( _i ^
k ) )  e.  CC )
2019recld 11695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )
21 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
22 ifcl 3614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2320, 21, 22sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2423rexrd 8897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR* )
25 max1 10530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
2621, 20, 25sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
27 elxrge0 10763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
2824, 26, 27sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
29 0xr 8894 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR*
30 0le0 9843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  0
31 elxrge0 10763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR*  /\  0  <_  0 ) )
3229, 30, 31mpbir2an 886 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,]  +oo )
3332a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  -.  x  e.  B )  ->  0  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
3428, 33ifclda 3605 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
357, 34syl5eqel 2380 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
3635adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
37 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
3836, 37fmptd 5700 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
39 ifan 3617 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
405adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  D  e.  CC )
4140, 15, 18divcld 9552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  ( D  /  ( _i ^
k ) )  e.  CC )
4241recld 11695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )
43 ifcl 3614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
4442, 21, 43sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
4544rexrd 8897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR* )
46 max1 10530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
4721, 42, 46sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
48 elxrge0 10763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
4945, 47, 48sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
5049, 33ifclda 3605 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] 
+oo ) )
5139, 50syl5eqel 2380 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
5251adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
53 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
5452, 53fmptd 5700 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
551adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  A  C_  RR )
562adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( vol * `  A )  =  0 )
57 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  ph )
58 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
59 eldifn 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
6059ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  -.  x  e.  A )
61 eldif 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( B  \  A )  <->  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  A ) )
6258, 60, 61sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ( B  \  A
) )
6357, 62, 3syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  C  =  D )
6463oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  ( C  /  ( _i ^
k ) )  =  ( D  /  (
_i ^ k ) ) )
6564fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) )
6665ibllem 19135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
67 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  x  e.  RR )
6867adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  x  e.  RR )
69 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) )  e. 
_V
70 c0ex 8848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  _V
7169, 70ifex 3636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  _V
7237fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
7368, 71, 72sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
74 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) )  e. 
_V
7574, 70ifex 3636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  _V
7653fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
7768, 75, 76sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
7866, 73, 773eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x ) )
7978ralrimiva 2639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( RR  \  A ) ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x ) )
80 nfv 1609 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x )
81 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
82 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
y
8381, 82nffv 5548 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y )
84 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
8584, 82nffv 5548 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y )
8683, 85nfeq 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y )
87 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) )
88 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) )
8987, 88eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x )  <->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) ) )
9080, 86, 89cbvral 2773 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( RR  \  A ) ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  <->  A. y  e.  ( RR  \  A
) ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) `  y
)  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) )
9179, 90sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( RR  \  A ) ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y ) )
9291r19.21bi 2654 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) )
9392adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  y  e.  ( RR  \  A
) )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) )
9438, 54, 55, 56, 93itg2eqa 19116 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
9594eleq1d 2362 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
9695ralbidva 2572 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
976, 96anbi12d 691 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  <->  ( (
x  e.  B  |->  D )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
98 eqidd 2297 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
99 eqidd 2297 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
10098, 99, 4isibl2 19137 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
101 eqidd 2297 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
102 eqidd 2297 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) )
103101, 102, 5isibl2 19137 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  D )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  B  |->  D )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
10497, 100, 1033bitr4d 276 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e.  L ^1 ) )
10594oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) ) )
106105sumeq2dv 12192 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) ) )
107 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )
108107dfitg 19140 . . 3  |-  S. B C  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
109 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) )
110109dfitg 19140 . . 3  |-  S. B D  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
111106, 108, 1103eqtr4g 2353 . 2  |-  ( ph  ->  S. B C  _d x  =  S. B D  _d x )
112104, 111jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e.  L ^1 )  /\  S. B C  _d x  =  S. B D  _d x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   _ici 8755    x. cmul 8758    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    <_ cle 8884    / cdiv 9439   3c3 9812   ZZcz 10040   [,]cicc 10675   ...cfz 10798   ^cexp 11120   Recre 11598   sum_csu 12174   vol
*covol 18838  MblFncmbf 18985   S.2citg2 18987   L ^1cibl 18988   S.citg 18989
This theorem is referenced by:  itgss3  19185
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cmp 17130  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993  df-ibl 18994  df-itg 18995
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