Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgeqa Unicode version

Theorem itgeqa 19184
 Description: Approximate equality of integrals. If for almost all , then and one is integrable iff the other is. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgeqa.1
itgeqa.2
itgeqa.3
itgeqa.4
itgeqa.5
Assertion
Ref Expression
itgeqa
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem itgeqa
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgeqa.3 . . . . 5
2 itgeqa.4 . . . . 5
3 itgeqa.5 . . . . 5
4 itgeqa.1 . . . . 5
5 itgeqa.2 . . . . 5
61, 2, 3, 4, 5mbfeqa 19014 . . . 4 MblFn MblFn
7 ifan 3617 . . . . . . . . . 10
84adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11 ax-icn 8812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12 ine0 9231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13 expclz 11144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1411, 12, 13mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1510, 14syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
16 expne0i 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1711, 12, 16mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1810, 17syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
198, 15, 18divcld 9552 . . . . . . . . . . . . . . 15
2019recld 11695 . . . . . . . . . . . . . 14
21 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . 14
22 ifcl 3614 . . . . . . . . . . . . . 14
2320, 21, 22sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13
2423rexrd 8897 . . . . . . . . . . . 12
25 max1 10530 . . . . . . . . . . . . 13
2621, 20, 25sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12
27 elxrge0 10763 . . . . . . . . . . . 12
2824, 26, 27sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11
29 0xr 8894 . . . . . . . . . . . . 13
30 0le0 9843 . . . . . . . . . . . . 13
31 elxrge0 10763 . . . . . . . . . . . . 13
3229, 30, 31mpbir2an 886 . . . . . . . . . . . 12
3332a1i 10 . . . . . . . . . . 11
3428, 33ifclda 3605 . . . . . . . . . 10
357, 34syl5eqel 2380 . . . . . . . . 9
3635adantr 451 . . . . . . . 8
37 eqid 2296 . . . . . . . 8
3836, 37fmptd 5700 . . . . . . 7
39 ifan 3617 . . . . . . . . . 10
405adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4140, 15, 18divcld 9552 . . . . . . . . . . . . . . 15
4241recld 11695 . . . . . . . . . . . . . 14
43 ifcl 3614 . . . . . . . . . . . . . 14
4442, 21, 43sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13
4544rexrd 8897 . . . . . . . . . . . 12
46 max1 10530 . . . . . . . . . . . . 13
4721, 42, 46sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12
48 elxrge0 10763 . . . . . . . . . . . 12
4945, 47, 48sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11
5049, 33ifclda 3605 . . . . . . . . . 10
5139, 50syl5eqel 2380 . . . . . . . . 9
5251adantr 451 . . . . . . . 8
53 eqid 2296 . . . . . . . 8
5452, 53fmptd 5700 . . . . . . 7
551adantr 451 . . . . . . 7
562adantr 451 . . . . . . 7
57 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16
58 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
59 eldifn 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6059ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
61 eldif 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6258, 60, 61sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6357, 62, 3syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15
6463oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14
6564fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13
6665ibllem 19135 . . . . . . . . . . . 12
67 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . 14
6867adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13
69 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . 14
70 c0ex 8848 . . . . . . . . . . . . . 14
7169, 70ifex 3636 . . . . . . . . . . . . 13
7237fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . 13
7368, 71, 72sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12
74 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . 14
7574, 70ifex 3636 . . . . . . . . . . . . 13
7653fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . 13
7768, 75, 76sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12
7866, 73, 773eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . 11
7978ralrimiva 2639 . . . . . . . . . 10
80 nfv 1609 . . . . . . . . . . 11
81 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . 13
82 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13
8381, 82nffv 5548 . . . . . . . . . . . 12
84 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . 13
8584, 82nffv 5548 . . . . . . . . . . . 12
8683, 85nfeq 2439 . . . . . . . . . . 11
87 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12
88 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12
8987, 88eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . 11
9080, 86, 89cbvral 2773 . . . . . . . . . 10
9179, 90sylib 188 . . . . . . . . 9
9291r19.21bi 2654 . . . . . . . 8
9392adantlr 695 . . . . . . 7
9438, 54, 55, 56, 93itg2eqa 19116 . . . . . 6
9594eleq1d 2362 . . . . 5
9695ralbidva 2572 . . . 4
976, 96anbi12d 691 . . 3 MblFn MblFn
98 eqidd 2297 . . . 4
99 eqidd 2297 . . . 4
10098, 99, 4isibl2 19137 . . 3 MblFn
101 eqidd 2297 . . . 4
102 eqidd 2297 . . . 4
103101, 102, 5isibl2 19137 . . 3 MblFn
10497, 100, 1033bitr4d 276 . 2
10594oveq2d 5890 . . . 4
106105sumeq2dv 12192 . . 3
107 eqid 2296 . . . 4
108107dfitg 19140 . . 3
109 eqid 2296 . . . 4
110109dfitg 19140 . . 3
111106, 108, 1103eqtr4g 2353 . 2
112104, 111jca 518 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  cvv 2801   cdif 3162   wss 3165  cif 3578   class class class wbr 4039   cmpt 4093  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  ci 8755   cmul 8758   cpnf 8880  cxr 8882   cle 8884   cdiv 9439  c3 9812  cz 10040  cicc 10675  cfz 10798  cexp 11120  cre 11598  csu 12174  covol 18838  MblFncmbf 18985  citg2 18987  cibl 18988  citg 18989 This theorem is referenced by:  itgss3  19185 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cmp 17130  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993  df-ibl 18994  df-itg 18995
 Copyright terms: Public domain W3C validator