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Theorem itgfsum 19197
Description: Take a finite sum of integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgfsum.1  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
itgfsum.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
itgfsum.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  V )
itgfsum.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
itgfsum  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) )
Distinct variable groups:    x, k, A    B, k, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    C( x, k)    V( x, k)

Proof of Theorem itgfsum
Dummy variables  m  t  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3210 . 2  |-  B  C_  B
2 itgfsum.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
3 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( t  =  (/)  ->  ( t 
C_  B  <->  (/)  C_  B
) )
4 sumeq1 12178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  (/)  ->  sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  (/)  C )
5 sum0 12210 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ k  e.  (/)  C  =  0
64, 5syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  (/)  ->  sum_ k  e.  t  C  = 
0 )
76mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  (/)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  =  ( x  e.  A  |->  0 ) )
8 fconstmpt 4748 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  A  |->  0 )
97, 8syl6eqr 2346 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  (/)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  =  ( A  X.  { 0 } ) )
109eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  (/)  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  <->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1 ) )
1110anbi1d 685 . . . . . . 7  |-  ( t  =  (/)  ->  ( ( ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
)  <->  ( ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) ) )
12 itgz 19151 . . . . . . . . 9  |-  S. A
0  _d x  =  0
136adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  =  (/)  /\  x  e.  A )  ->  sum_ k  e.  t  C  = 
0 )
1413itgeq2dv 19152 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  (/)  ->  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  S. A 0  _d x )
15 sumeq1 12178 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  (/)  ->  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  =  sum_ k  e.  (/)  S. A C  _d x )
16 sum0 12210 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  (/)  S. A C  _d x  =  0
1715, 16syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  (/)  ->  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  =  0 )
1812, 14, 173eqtr4a 2354 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  (/)  ->  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
)
1918biantrud 493 . . . . . . 7  |-  ( t  =  (/)  ->  ( ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1 
<->  ( ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  = 
sum_ k  e.  t  S. A C  _d x ) ) )
2011, 19bitr4d 247 . . . . . 6  |-  ( t  =  (/)  ->  ( ( ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
)  <->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1 ) )
213, 20imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( t  =  (/)  ->  ( ( t  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) )  <->  ( (/)  C_  B  ->  ( A  X.  {
0 } )  e.  L ^1 ) ) )
2221imbi2d 307 . . . 4  |-  ( t  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( t  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  = 
sum_ k  e.  t  S. A C  _d x ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( (/)  C_  B  ->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1 ) ) ) )
23 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( t  =  w  ->  (
t  C_  B  <->  w  C_  B
) )
24 sumeq1 12178 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  w  ->  sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  w  C )
2524mpteq2dv 4123 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  w  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )
)
2625eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( t  =  w  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1 
<->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1 ) )
2724adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  w  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  w  C )
2827itgeq2dv 19152 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  w  ->  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x )
29 sumeq1 12178 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  w  ->  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
)
3028, 29eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( t  =  w  ->  ( S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  = 
sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  <->  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x ) )
3126, 30anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( t  =  w  ->  (
( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
)  <->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) ) )
3223, 31imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( t  =  w  ->  (
( t  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) )  <->  ( w  C_  B  ->  ( (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) ) ) )
3332imbi2d 307 . . . 4  |-  ( t  =  w  ->  (
( ph  ->  ( t 
C_  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( w  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) ) ) ) )
34 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( t  C_  B 
<->  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )
35 sumeq1 12178 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )
3635mpteq2dv 4123 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C ) )
3736eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )  e.  L ^1 ) )
3835adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  ( w  u.  { z } )  /\  x  e.  A )  ->  sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )
3938itgeq2dv 19152 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x )
40 sumeq1 12178 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x )
4139, 40eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  <->  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) )
4237, 41anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
)  <->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  = 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) S. A C  _d x ) ) )
4334, 42imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( ( t 
C_  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) )  <->  ( (
w  u.  { z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) ) ) )
4443imbi2d 307 . . . 4  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( t  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) ) ) ) )
45 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( t  =  B  ->  (
t  C_  B  <->  B  C_  B
) )
46 sumeq1 12178 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  B  ->  sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
4746mpteq2dv 4123 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )
)
4847eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( t  =  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1 
<->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  e.  L ^1 ) )
4946adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  B  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  B  C )
5049itgeq2dv 19152 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  B  ->  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x )
51 sumeq1 12178 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  B  ->  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
)
5250, 51eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( t  =  B  ->  ( S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  = 
sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  <->  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x ) )
5348, 52anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( t  =  B  ->  (
( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
)  <->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) ) )
5445, 53imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( t  =  B  ->  (
( t  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) )  <->  ( B  C_  B  ->  ( (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C
)  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) ) ) )
5554imbi2d 307 . . . 4  |-  ( t  =  B  ->  (
( ph  ->  ( t 
C_  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) ) ) ) )
56 itgfsum.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
57 ibl0 19157 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1 )
5856, 57syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
0 } )  e.  L ^1 )
5958a1d 22 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  B  -> 
( A  X.  {
0 } )  e.  L ^1 ) )
60 ssun1 3351 . . . . . . . . . 10  |-  w  C_  ( w  u.  { z } )
61 sstr 3200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  C_  ( w  u.  { z } )  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B )  ->  w  C_  B )
6260, 61mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  u.  { z } )  C_  B  ->  w  C_  B )
6362imim1i 54 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
( w  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) ) )
64 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ m C
65 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ C
66 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  m  ->  C  =  [_ m  /  k ]_ C )
6764, 65, 66cbvsumi 12186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C  =  sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C
68 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  -.  z  e.  w )
69 disjsn 3706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  w )
7068, 69sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
w  i^i  { z } )  =  (/) )
7170adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( w  i^i  {
z } )  =  (/) )
72 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( w  u.  {
z } )  =  ( w  u.  {
z } ) )
732adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  B  e.  Fin )
74 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
w  u.  { z } )  C_  B
)
75 ssfi 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
)  ->  ( w  u.  { z } )  e.  Fin )
7673, 74, 75syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
w  u.  { z } )  e.  Fin )
7776adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( w  u.  {
z } )  e. 
Fin )
78 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( w  u.  {
z } )  C_  B )
7978sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  m  e.  ( w  u.  { z } ) )  ->  m  e.  B )
80 itgfsum.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
81 iblmbf 19138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
8280, 81syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
83 itgfsum.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  V )
8483anass1rs 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
8582, 84mbfmptcl 19008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
8685an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
8786ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
8887adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
8964nfel1 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ m  C  e.  CC
9065nfel1 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ C  e.  CC
9166eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  m  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ m  / 
k ]_ C  e.  CC ) )
9289, 90, 91cbvral 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. k  e.  B  C  e.  CC  <->  A. m  e.  B  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
9388, 92sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  A. m  e.  B  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
9493r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  m  e.  B )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
9579, 94syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  m  e.  ( w  u.  { z } ) )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
9671, 72, 77, 95fsumsplit 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ m  e.  (
w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C  =  ( sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  +  sum_ m  e.  { z }
[_ m  /  k ]_ C ) )
97 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  z  e. 
_V
98 ssun2 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { z }  C_  ( w  u.  { z } )
9998, 74syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  { z }  C_  B )
10097snss 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  B  <->  { z }  C_  B )
10199, 100sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  z  e.  B )
102101adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  z  e.  B )
103 csbeq1 3097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  z  ->  [_ m  /  k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C )
104103eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  z  ->  ( [_ m  /  k ]_ C  e.  CC  <->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
)
105104rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. m  e.  B  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
)
106102, 93, 105sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
107103sumsn 12229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  _V  /\  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )  -> 
sum_ m  e.  { z } [_ m  / 
k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
10897, 106, 107sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ m  e.  { z } [_ m  / 
k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
109108oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  sum_ m  e. 
{ z } [_ m  /  k ]_ C
)  =  ( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C ) )
11096, 109eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ m  e.  (
w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C  =  ( sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C
) )
11167, 110syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  =  ( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  / 
k ]_ C ) )
112111mpteq2dva 4122 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  =  ( x  e.  A  |->  ( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  / 
k ]_ C ) ) )
113 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y
( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  / 
k ]_ C )
114 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C
115 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x  +
116 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
117114, 115, 116nfov 5897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C )
118 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  =  [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C
)
119 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  [_ z  /  k ]_ C  =  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C )
120118, 119oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C )  =  (
[_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C ) )
121113, 117, 120cbvmpt 4126 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  |->  ( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C ) )
122112, 121syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  =  ( y  e.  A  |->  ( [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C ) ) )
123122adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  =  ( y  e.  A  |->  ( [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C ) ) )
124 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
125 sumex 12176 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  e.  _V
126124, 125csbex 3105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  e.  _V
127126a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  /\  y  e.  A )  ->  [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  e.  _V )
12864, 65, 66cbvsumi 12186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C
129128mpteq2i 4119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C )
130 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C
131130, 114, 118cbvmpt 4126 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  |->  sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C )  =  ( y  e.  A  |-> 
[_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C )
132129, 131eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C )
133 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1 )
134132, 133syl5eqelr 2381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C
)  e.  L ^1 )
135 elex 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [_ z  /  k ]_ C  e.  CC  ->  [_ z  / 
k ]_ C  e.  _V )
136106, 135syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  _V )
137136ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  A. x  e.  A  [_ z  / 
k ]_ C  e.  _V )
138137adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  A. x  e.  A  [_ z  / 
k ]_ C  e.  _V )
139 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y
[_ z  /  k ]_ C  e.  _V
140116nfel1 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  _V
141119eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  ( [_ z  /  k ]_ C  e.  _V  <->  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  _V )
)
142139, 140, 141cbvral 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  A  [_ z  /  k ]_ C  e.  _V  <->  A. y  e.  A  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  _V )
143138, 142sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  A. y  e.  A  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C  e.  _V )
144143r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  /\  y  e.  A )  ->  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  _V )
145 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y [_ z  /  k ]_ C
146145, 116, 119cbvmpt 4126 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
)  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)
14780ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
148 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ m
( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1
149 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ k A
150149, 65nfmpt 4124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ k
( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )
151150nfel1 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ k ( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )  e.  L ^1
15266mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  m  ->  (
x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  [_ m  /  k ]_ C
) )
153152eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  m  ->  (
( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 
<->  ( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )  e.  L ^1 ) )
154148, 151, 153cbvral 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. k  e.  B  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1  <->  A. m  e.  B  ( x  e.  A  |->  [_ m  /  k ]_ C
)  e.  L ^1 )
155147, 154sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. m  e.  B  ( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )  e.  L ^1 )
156155adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  A. m  e.  B  ( x  e.  A  |->  [_ m  /  k ]_ C
)  e.  L ^1 )
157103mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  z  ->  (
x  e.  A  |->  [_ m  /  k ]_ C
)  =  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) )
158157eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  z  ->  (
( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )  e.  L ^1 
<->  ( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  e.  L ^1 ) )
159158rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. m  e.  B  ( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )  e.  L ^1  ->  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C )  e.  L ^1 ) )
160101, 156, 159sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
)  e.  L ^1 )
161146, 160syl5eqelr 2381 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)  e.  L ^1 )
162161adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)  e.  L ^1 )
163127, 134, 144, 162ibladd 19191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
y  e.  A  |->  (
[_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C ) )  e.  L ^1 )
164123, 163eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L ^1 )
165127, 134, 144, 162itgadd 19195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A ( [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)  _d y  =  ( S. A [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d y  +  S. A [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  _d y
) )
166120, 113, 117cbvitg 19146 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S. A
( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  / 
k ]_ C )  _d x  =  S. A
( [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C )  _d y
167118, 130, 114cbvitg 19146 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  S. A [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d y
168119, 145, 116cbvitg 19146 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x  =  S. A [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  _d y
169167, 168oveq12i 5886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x
)  =  ( S. A [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d y  +  S. A [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  _d y
)
170165, 166, 1693eqtr4g 2353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A ( sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C
)  _d x  =  ( S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x
) )
171110itgeq2dv 19152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  S. A sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  S. A ( sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C
)  _d x )
172171adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  S. A ( sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C
)  _d x )
173 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
w  u.  { z } )  =  ( w  u.  { z } ) )
17474sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  m  e.  ( w  u.  { z } ) )  ->  m  e.  B )
17594an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  m  e.  B
)  /\  x  e.  A )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
176156r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  m  e.  B )  ->  ( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )  e.  L ^1 )
177175, 176itgcl 19154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  m  e.  B )  ->  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  e.  CC )
178174, 177syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  m  e.  ( w  u.  { z } ) )  ->  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  e.  CC )
17970, 173, 76, 178fsumsplit 12228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  sum_ m  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A [_ m  / 
k ]_ C  _d x  =  ( sum_ m  e.  w  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  sum_ m  e.  {
z } S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
) )
180179adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  sum_ m  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A [_ m  / 
k ]_ C  _d x  =  ( sum_ m  e.  w  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  sum_ m  e.  {
z } S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
) )
181 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
)
182 itgeq2 19148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  A  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  ->  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x )
183128a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  A  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C
)
184182, 183mprg 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x
185 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ m S. A C  _d x
186149, 65nfitg 19145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k S. A [_ m  / 
k ]_ C  _d x
18766adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  =  m  /\  x  e.  A )  ->  C  =  [_ m  /  k ]_ C
)
188187itgeq2dv 19152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  m  ->  S. A C  _d x  =  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x )
189185, 186, 188cbvsumi 12186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x  =  sum_ m  e.  w  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
190181, 184, 1893eqtr3g 2351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  sum_ m  e.  w  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
)
191106, 160itgcl 19154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x  e.  CC )
192191adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x  e.  CC )
193103adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  =  z  /\  x  e.  A )  ->  [_ m  /  k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
194193itgeq2dv 19152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  z  ->  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x )
195194sumsn 12229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  _V  /\  S. A [_ z  / 
k ]_ C  _d x  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  { z } S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x
)
19697, 192, 195sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  sum_ m  e.  { z } S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x )
197196eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x  =  sum_ m  e.  {
z } S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
)
198190, 197oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  ( S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x
)  =  ( sum_ m  e.  w  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  sum_ m  e.  {
z } S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
) )
199180, 198eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  sum_ m  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A [_ m  / 
k ]_ C  _d x  =  ( S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x
) )
200170, 172, 1993eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  sum_ m  e.  ( w  u. 
{ z } ) S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x )
201 itgeq2 19148 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  A  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  =  sum_ m  e.  ( w  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ C  ->  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C  _d x  =  S. A sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C  _d x )
20267a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C  =  sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C
)
203201, 202mprg 2625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  S. A sum_ m  e.  ( w  u. 
{ z } )
[_ m  /  k ]_ C  _d x
204185, 186, 188cbvsumi 12186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x  =  sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
205200, 203, 2043eqtr4g 2353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x )
206164, 205jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) )
207206ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
)  ->  ( (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) ) )
208207expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  w )  ->  (
( w  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
)  ->  ( (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) ) ) )
209208a2d 23 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  w )  ->  (
( ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
( w  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  = 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) S. A C  _d x ) ) ) )
21063, 209syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  w )  ->  (
( w  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
( w  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  = 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) S. A C  _d x ) ) ) )
211210expcom 424 . . . . . 6  |-  ( -.  z  e.  w  -> 
( ph  ->  ( ( w  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
( w  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  = 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) S. A C  _d x ) ) ) ) )
212211adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  -.  z  e.  w
)  ->  ( ph  ->  ( ( w  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
( w  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  = 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) S. A C  _d x ) ) ) ) )
213212a2d 23 . . . 4  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  -.  z  e.  w
)  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) ) )  -> 
( ph  ->  ( ( w  u.  { z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) ) ) ) )
21422, 33, 44, 55, 59, 213findcard2s 7115 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) ) ) )
2152, 214mpcom 32 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) ) )
2161, 215mpi 16 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   [_csb 3094    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   dom cdm 4705  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   CCcc 8751   0cc0 8753    + caddc 8756   sum_csu 12174   volcvol 18839  MblFncmbf 18985   L ^1cibl 18988   S.citg 18989
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cmp 17130  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993  df-ibl 18994  df-itg 18995  df-0p 19041
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