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Theorem itgfsum 19175
Description: Take a finite sum of integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgfsum.1  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
itgfsum.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
itgfsum.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  V )
itgfsum.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
itgfsum  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) )
Distinct variable groups:    x, k, A    B, k, x    ph, k, x
Dummy variables  m  t  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
Allowed substitution hints:    C( x, k)    V( x, k)

Proof of Theorem itgfsum
StepHypRef Expression
1 ssid 3198 . 2  |-  B  C_  B
2 itgfsum.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
3 sseq1 3200 . . . . . 6  |-  ( t  =  (/)  ->  ( t 
C_  B  <->  (/)  C_  B
) )
4 sumeq1 12156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  (/)  ->  sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  (/)  C )
5 sum0 12188 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ k  e.  (/)  C  =  0
64, 5syl6eq 2332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  (/)  ->  sum_ k  e.  t  C  = 
0 )
76mpteq2dv 4108 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  (/)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  =  ( x  e.  A  |->  0 ) )
8 fconstmpt 4731 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  A  |->  0 )
97, 8syl6eqr 2334 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  (/)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  =  ( A  X.  { 0 } ) )
109eleq1d 2350 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  (/)  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  <->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1 ) )
1110anbi1d 687 . . . . . . 7  |-  ( t  =  (/)  ->  ( ( ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
)  <->  ( ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) ) )
12 itgz 19129 . . . . . . . . 9  |-  S. A
0  _d x  =  0
136adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  =  (/)  /\  x  e.  A )  ->  sum_ k  e.  t  C  = 
0 )
1413itgeq2dv 19130 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  (/)  ->  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  S. A 0  _d x )
15 sumeq1 12156 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  (/)  ->  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  =  sum_ k  e.  (/)  S. A C  _d x )
16 sum0 12188 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  (/)  S. A C  _d x  =  0
1715, 16syl6eq 2332 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  (/)  ->  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  =  0 )
1812, 14, 173eqtr4a 2342 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  (/)  ->  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
)
1918biantrud 495 . . . . . . 7  |-  ( t  =  (/)  ->  ( ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1 
<->  ( ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  = 
sum_ k  e.  t  S. A C  _d x ) ) )
2011, 19bitr4d 249 . . . . . 6  |-  ( t  =  (/)  ->  ( ( ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
)  <->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1 ) )
213, 20imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( t  =  (/)  ->  ( ( t  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) )  <->  ( (/)  C_  B  ->  ( A  X.  {
0 } )  e.  L ^1 ) ) )
2221imbi2d 309 . . . 4  |-  ( t  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( t  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  = 
sum_ k  e.  t  S. A C  _d x ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( (/)  C_  B  ->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1 ) ) ) )
23 sseq1 3200 . . . . . 6  |-  ( t  =  w  ->  (
t  C_  B  <->  w  C_  B
) )
24 sumeq1 12156 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  w  ->  sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  w  C )
2524mpteq2dv 4108 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  w  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )
)
2625eleq1d 2350 . . . . . . 7  |-  ( t  =  w  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1 
<->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1 ) )
2724adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  w  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  w  C )
2827itgeq2dv 19130 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  w  ->  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x )
29 sumeq1 12156 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  w  ->  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
)
3028, 29eqeq12d 2298 . . . . . . 7  |-  ( t  =  w  ->  ( S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  = 
sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  <->  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x ) )
3126, 30anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( t  =  w  ->  (
( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
)  <->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) ) )
3223, 31imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( t  =  w  ->  (
( t  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) )  <->  ( w  C_  B  ->  ( (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) ) ) )
3332imbi2d 309 . . . 4  |-  ( t  =  w  ->  (
( ph  ->  ( t 
C_  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( w  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) ) ) ) )
34 sseq1 3200 . . . . . 6  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( t  C_  B 
<->  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )
35 sumeq1 12156 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )
3635mpteq2dv 4108 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C ) )
3736eleq1d 2350 . . . . . . 7  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )  e.  L ^1 ) )
3835adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  ( w  u.  { z } )  /\  x  e.  A )  ->  sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )
3938itgeq2dv 19130 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x )
40 sumeq1 12156 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x )
4139, 40eqeq12d 2298 . . . . . . 7  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  <->  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) )
4237, 41anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
)  <->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  = 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) S. A C  _d x ) ) )
4334, 42imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( ( t 
C_  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) )  <->  ( (
w  u.  { z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) ) ) )
4443imbi2d 309 . . . 4  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( t  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) ) ) ) )
45 sseq1 3200 . . . . . 6  |-  ( t  =  B  ->  (
t  C_  B  <->  B  C_  B
) )
46 sumeq1 12156 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  B  ->  sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
4746mpteq2dv 4108 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )
)
4847eleq1d 2350 . . . . . . 7  |-  ( t  =  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1 
<->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  e.  L ^1 ) )
4946adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  B  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  B  C )
5049itgeq2dv 19130 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  B  ->  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x )
51 sumeq1 12156 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  B  ->  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
)
5250, 51eqeq12d 2298 . . . . . . 7  |-  ( t  =  B  ->  ( S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  = 
sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  <->  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x ) )
5348, 52anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( t  =  B  ->  (
( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
)  <->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) ) )
5445, 53imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( t  =  B  ->  (
( t  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) )  <->  ( B  C_  B  ->  ( (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C
)  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) ) ) )
5554imbi2d 309 . . . 4  |-  ( t  =  B  ->  (
( ph  ->  ( t 
C_  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) ) ) ) )
56 itgfsum.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
57 ibl0 19135 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1 )
5856, 57syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
0 } )  e.  L ^1 )
5958a1d 24 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  B  -> 
( A  X.  {
0 } )  e.  L ^1 ) )
60 ssun1 3339 . . . . . . . . . 10  |-  w  C_  ( w  u.  { z } )
61 sstr 3188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  C_  ( w  u.  { z } )  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B )  ->  w  C_  B )
6260, 61mpan 653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  u.  { z } )  C_  B  ->  w  C_  B )
6362imim1i 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
( w  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) ) )
64 nfcv 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ m C
65 nfcsb1v 3114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ C
66 csbeq1a 3090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  m  ->  C  =  [_ m  /  k ]_ C )
6764, 65, 66cbvsumi 12164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C  =  sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C
68 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  -.  z  e.  w )
69 disjsn 3694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  w )
7068, 69sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
w  i^i  { z } )  =  (/) )
7170adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( w  i^i  {
z } )  =  (/) )
72 eqidd 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( w  u.  {
z } )  =  ( w  u.  {
z } ) )
732adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  B  e.  Fin )
74 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
w  u.  { z } )  C_  B
)
75 ssfi 7078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
)  ->  ( w  u.  { z } )  e.  Fin )
7673, 74, 75syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
w  u.  { z } )  e.  Fin )
7776adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( w  u.  {
z } )  e. 
Fin )
78 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( w  u.  {
z } )  C_  B )
7978sselda 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  m  e.  ( w  u.  { z } ) )  ->  m  e.  B )
80 itgfsum.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
81 iblmbf 19116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
83 itgfsum.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  V )
8483anass1rs 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
8582, 84mbfmptcl 18986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
8685an32s 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
8786ralrimiva 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
8887adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
8964nfel1 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ m  C  e.  CC
9065nfel1 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ C  e.  CC
9166eleq1d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  m  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ m  / 
k ]_ C  e.  CC ) )
9289, 90, 91cbvral 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. k  e.  B  C  e.  CC  <->  A. m  e.  B  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
9388, 92sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  A. m  e.  B  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
9493r19.21bi 2642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  m  e.  B )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
9579, 94syldan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  m  e.  ( w  u.  { z } ) )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
9671, 72, 77, 95fsumsplit 12206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ m  e.  (
w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C  =  ( sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  +  sum_ m  e.  { z }
[_ m  /  k ]_ C ) )
97 vex 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  z  e. 
_V
98 ssun2 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { z }  C_  ( w  u.  { z } )
9998, 74syl5ss 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  { z }  C_  B )
10097snss 3749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  B  <->  { z }  C_  B )
10199, 100sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  z  e.  B )
102101adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  z  e.  B )
103 csbeq1 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  z  ->  [_ m  /  k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C )
104103eleq1d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  z  ->  ( [_ m  /  k ]_ C  e.  CC  <->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
)
105104rspcv 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. m  e.  B  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
)
106102, 93, 105sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
107103sumsn 12207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  _V  /\  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )  -> 
sum_ m  e.  { z } [_ m  / 
k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
10897, 106, 107sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ m  e.  { z } [_ m  / 
k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
109108oveq2d 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  sum_ m  e. 
{ z } [_ m  /  k ]_ C
)  =  ( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C ) )
11096, 109eqtrd 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ m  e.  (
w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C  =  ( sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C
) )
11167, 110syl5eq 2328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  =  ( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  / 
k ]_ C ) )
112111mpteq2dva 4107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  =  ( x  e.  A  |->  ( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  / 
k ]_ C ) ) )
113 nfcv 2420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y
( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  / 
k ]_ C )
114 nfcsb1v 3114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C
115 nfcv 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x  +
116 nfcsb1v 3114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
117114, 115, 116nfov 5842 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C )
118 csbeq1a 3090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  =  [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C
)
119 csbeq1a 3090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  [_ z  /  k ]_ C  =  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C )
120118, 119oveq12d 5837 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C )  =  (
[_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C ) )
121113, 117, 120cbvmpt 4111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  |->  ( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C ) )
122112, 121syl6eq 2332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  =  ( y  e.  A  |->  ( [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C ) ) )
123122adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  =  ( y  e.  A  |->  ( [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C ) ) )
124 vex 2792 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
125 sumex 12154 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  e.  _V
126124, 125csbex 3093 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  e.  _V
127126a1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  /\  y  e.  A )  ->  [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  e.  _V )
12864, 65, 66cbvsumi 12164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C
129128mpteq2i 4104 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C )
130 nfcv 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C
131130, 114, 118cbvmpt 4111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  |->  sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C )  =  ( y  e.  A  |-> 
[_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C )
132129, 131eqtri 2304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C )
133 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1 )
134132, 133syl5eqelr 2369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C
)  e.  L ^1 )
135 elex 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [_ z  /  k ]_ C  e.  CC  ->  [_ z  / 
k ]_ C  e.  _V )
136106, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  _V )
137136ralrimiva 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  A. x  e.  A  [_ z  / 
k ]_ C  e.  _V )
138137adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  A. x  e.  A  [_ z  / 
k ]_ C  e.  _V )
139 nfv 1606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y
[_ z  /  k ]_ C  e.  _V
140116nfel1 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  _V
141119eleq1d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  ( [_ z  /  k ]_ C  e.  _V  <->  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  _V )
)
142139, 140, 141cbvral 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  A  [_ z  /  k ]_ C  e.  _V  <->  A. y  e.  A  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  _V )
143138, 142sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  A. y  e.  A  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C  e.  _V )
144143r19.21bi 2642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  /\  y  e.  A )  ->  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  _V )
145 nfcv 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y [_ z  /  k ]_ C
146145, 116, 119cbvmpt 4111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
)  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)
14780ralrimiva 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
148 nfv 1606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ m
( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1
149 nfcv 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ k A
150149, 65nfmpt 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ k
( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )
151150nfel1 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ k ( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )  e.  L ^1
15266mpteq2dv 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  m  ->  (
x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  [_ m  /  k ]_ C
) )
153152eleq1d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  m  ->  (
( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 
<->  ( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )  e.  L ^1 ) )
154148, 151, 153cbvral 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. k  e.  B  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1  <->  A. m  e.  B  ( x  e.  A  |->  [_ m  /  k ]_ C
)  e.  L ^1 )
155147, 154sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. m  e.  B  ( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )  e.  L ^1 )
156155adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  A. m  e.  B  ( x  e.  A  |->  [_ m  /  k ]_ C
)  e.  L ^1 )
157103mpteq2dv 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  z  ->  (
x  e.  A  |->  [_ m  /  k ]_ C
)  =  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) )
158157eleq1d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  z  ->  (
( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )  e.  L ^1 
<->  ( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  e.  L ^1 ) )
159158rspcv 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. m  e.  B  ( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )  e.  L ^1  ->  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C )  e.  L ^1 ) )
160101, 156, 159sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
)  e.  L ^1 )
161146, 160syl5eqelr 2369 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)  e.  L ^1 )
162161adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)  e.  L ^1 )
163127, 134, 144, 162ibladd 19169 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
y  e.  A  |->  (
[_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C ) )  e.  L ^1 )
164123, 163eqeltrd 2358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L ^1 )
165127, 134, 144, 162itgadd 19173 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A ( [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)  _d y  =  ( S. A [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d y  +  S. A [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  _d y
) )
166120, 113, 117cbvitg 19124 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S. A
( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  / 
k ]_ C )  _d x  =  S. A
( [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C )  _d y
167118, 130, 114cbvitg 19124 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  S. A [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d y
168119, 145, 116cbvitg 19124 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x  =  S. A [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  _d y
169167, 168oveq12i 5831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x
)  =  ( S. A [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d y  +  S. A [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  _d y
)
170165, 166, 1693eqtr4g 2341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A ( sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C
)  _d x  =  ( S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x
) )
171110itgeq2dv 19130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  S. A sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  S. A ( sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C
)  _d x )
172171adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  S. A ( sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C
)  _d x )
173 eqidd 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
w  u.  { z } )  =  ( w  u.  { z } ) )
17474sselda 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  m  e.  ( w  u.  { z } ) )  ->  m  e.  B )
17594an32s 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  m  e.  B
)  /\  x  e.  A )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
176156r19.21bi 2642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  m  e.  B )  ->  ( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )  e.  L ^1 )
177175, 176itgcl 19132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  m  e.  B )  ->  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  e.  CC )
178174, 177syldan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  m  e.  ( w  u.  { z } ) )  ->  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  e.  CC )
17970, 173, 76, 178fsumsplit 12206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  sum_ m  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A [_ m  / 
k ]_ C  _d x  =  ( sum_ m  e.  w  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  sum_ m  e.  {
z } S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
) )
180179adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  sum_ m  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A [_ m  / 
k ]_ C  _d x  =  ( sum_ m  e.  w  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  sum_ m  e.  {
z } S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
) )
181 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
)
182 itgeq2 19126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  A  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  ->  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x )
183128a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  A  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C
)
184182, 183mprg 2613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x
185 nfcv 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ m S. A C  _d x
186149, 65nfitg 19123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k S. A [_ m  / 
k ]_ C  _d x
18766adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  =  m  /\  x  e.  A )  ->  C  =  [_ m  /  k ]_ C
)
188187itgeq2dv 19130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  m  ->  S. A C  _d x  =  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x )
189185, 186, 188cbvsumi 12164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x  =  sum_ m  e.  w  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
190181, 184, 1893eqtr3g 2339 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  sum_ m  e.  w  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
)
191106, 160itgcl 19132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x  e.  CC )
192191adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x  e.  CC )
193103adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  =  z  /\  x  e.  A )  ->  [_ m  /  k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
194193itgeq2dv 19130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  z  ->  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x )
195194sumsn 12207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  _V  /\  S. A [_ z  / 
k ]_ C  _d x  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  { z } S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x
)
19697, 192, 195sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  sum_ m  e.  { z } S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x )
197196eqcomd 2289 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x  =  sum_ m  e.  {
z } S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
)
198190, 197oveq12d 5837 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  ( S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x
)  =  ( sum_ m  e.  w  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  sum_ m  e.  {
z } S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
) )
199180, 198eqtr4d 2319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  sum_ m  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A [_ m  / 
k ]_ C  _d x  =  ( S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x
) )
200170, 172, 1993eqtr4d 2326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  sum_ m  e.  ( w  u. 
{ z } ) S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x )
201 itgeq2 19126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  A  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  =  sum_ m  e.  ( w  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ C  ->  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C  _d x  =  S. A sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C  _d x )
20267a1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C  =  sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C
)
203201, 202mprg 2613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  S. A sum_ m  e.  ( w  u. 
{ z } )
[_ m  /  k ]_ C  _d x
204185, 186, 188cbvsumi 12164 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x  =  sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
205200, 203, 2043eqtr4g 2341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x )
206164, 205jca 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) )
207206ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
)  ->  ( (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) ) )
208207expr 600 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  w )  ->  (
( w  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
)  ->  ( (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) ) ) )
209208a2d 25 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  w )  ->  (
( ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
( w  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  = 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) S. A C  _d x ) ) ) )
21063, 209syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  w )  ->  (
( w  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
( w  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  = 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) S. A C  _d x ) ) ) )
211210expcom 426 . . . . . 6  |-  ( -.  z  e.  w  -> 
( ph  ->  ( ( w  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
( w  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  = 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) S. A C  _d x ) ) ) ) )
212211adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  -.  z  e.  w
)  ->  ( ph  ->  ( ( w  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
( w  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  = 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) S. A C  _d x ) ) ) ) )
213212a2d 25 . . . 4  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  -.  z  e.  w
)  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) ) )  -> 
( ph  ->  ( ( w  u.  { z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) ) ) ) )
21422, 33, 44, 55, 59, 213findcard2s 7094 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) ) ) )
2152, 214mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) ) )
2161, 215mpi 18 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2544   _Vcvv 2789   [_csb 3082    u. cun 3151    i^i cin 3152    C_ wss 3153   (/)c0 3456   {csn 3641    e. cmpt 4078    X. cxp 4686   dom cdm 4688  (class class class)co 5819   Fincfn 6858   CCcc 8730   0cc0 8732    + caddc 8735   sum_csu 12152   volcvol 18817  MblFncmbf 18963   L ^1cibl 18966   S.citg 18967
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cc 8056  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-disj 3995  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-ofr 6040  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-acn 7570  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ioc 10655  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-mod 10968  df-seq 11041  df-exp 11099  df-hash 11332  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-sum 12153  df-rest 13321  df-topgen 13338  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-cmp 17108  df-ovol 18818  df-vol 18819  df-mbf 18969  df-itg1 18970  df-itg2 18971  df-ibl 18972  df-itg 18973  df-0p 19019
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