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Theorem itgfsum 19586
Description: Take a finite sum of integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgfsum.1  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
itgfsum.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
itgfsum.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  V )
itgfsum.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
Assertion
Ref Expression
itgfsum  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) )
Distinct variable groups:    x, k, A    B, k, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    C( x, k)    V( x, k)

Proof of Theorem itgfsum
Dummy variables  m  t  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3311 . 2  |-  B  C_  B
2 itgfsum.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
3 sseq1 3313 . . . . . 6  |-  ( t  =  (/)  ->  ( t 
C_  B  <->  (/)  C_  B
) )
4 sumeq1 12411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  (/)  ->  sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  (/)  C )
5 sum0 12443 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ k  e.  (/)  C  =  0
64, 5syl6eq 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  (/)  ->  sum_ k  e.  t  C  = 
0 )
76mpteq2dv 4238 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  (/)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  =  ( x  e.  A  |->  0 ) )
8 fconstmpt 4862 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  A  |->  0 )
97, 8syl6eqr 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  (/)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  =  ( A  X.  { 0 } ) )
109eleq1d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  (/)  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  <->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1 ) )
1110anbi1d 686 . . . . . . 7  |-  ( t  =  (/)  ->  ( ( ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
)  <->  ( ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) ) )
12 itgz 19540 . . . . . . . . 9  |-  S. A
0  _d x  =  0
136adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  =  (/)  /\  x  e.  A )  ->  sum_ k  e.  t  C  = 
0 )
1413itgeq2dv 19541 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  (/)  ->  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  S. A 0  _d x )
15 sumeq1 12411 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  (/)  ->  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  =  sum_ k  e.  (/)  S. A C  _d x )
16 sum0 12443 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  (/)  S. A C  _d x  =  0
1715, 16syl6eq 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  (/)  ->  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  =  0 )
1812, 14, 173eqtr4a 2446 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  (/)  ->  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
)
1918biantrud 494 . . . . . . 7  |-  ( t  =  (/)  ->  ( ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1 
<->  ( ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  = 
sum_ k  e.  t  S. A C  _d x ) ) )
2011, 19bitr4d 248 . . . . . 6  |-  ( t  =  (/)  ->  ( ( ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
)  <->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1 ) )
213, 20imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( t  =  (/)  ->  ( ( t  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) )  <->  ( (/)  C_  B  ->  ( A  X.  {
0 } )  e.  L ^1 ) ) )
2221imbi2d 308 . . . 4  |-  ( t  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( t  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  = 
sum_ k  e.  t  S. A C  _d x ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( (/)  C_  B  ->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1 ) ) ) )
23 sseq1 3313 . . . . . 6  |-  ( t  =  w  ->  (
t  C_  B  <->  w  C_  B
) )
24 sumeq1 12411 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  w  ->  sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  w  C )
2524mpteq2dv 4238 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  w  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )
)
2625eleq1d 2454 . . . . . . 7  |-  ( t  =  w  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1 
<->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1 ) )
2724adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  w  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  w  C )
2827itgeq2dv 19541 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  w  ->  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x )
29 sumeq1 12411 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  w  ->  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
)
3028, 29eqeq12d 2402 . . . . . . 7  |-  ( t  =  w  ->  ( S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  = 
sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  <->  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x ) )
3126, 30anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( t  =  w  ->  (
( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
)  <->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) ) )
3223, 31imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( t  =  w  ->  (
( t  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) )  <->  ( w  C_  B  ->  ( (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) ) ) )
3332imbi2d 308 . . . 4  |-  ( t  =  w  ->  (
( ph  ->  ( t 
C_  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( w  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) ) ) ) )
34 sseq1 3313 . . . . . 6  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( t  C_  B 
<->  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )
35 sumeq1 12411 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )
3635mpteq2dv 4238 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C ) )
3736eleq1d 2454 . . . . . . 7  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )  e.  L ^1 ) )
3835adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  ( w  u.  { z } )  /\  x  e.  A )  ->  sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )
3938itgeq2dv 19541 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x )
40 sumeq1 12411 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x )
4139, 40eqeq12d 2402 . . . . . . 7  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  <->  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) )
4237, 41anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
)  <->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  = 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) S. A C  _d x ) ) )
4334, 42imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( ( t 
C_  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) )  <->  ( (
w  u.  { z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) ) ) )
4443imbi2d 308 . . . 4  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( t  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) ) ) ) )
45 sseq1 3313 . . . . . 6  |-  ( t  =  B  ->  (
t  C_  B  <->  B  C_  B
) )
46 sumeq1 12411 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  B  ->  sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
4746mpteq2dv 4238 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )
)
4847eleq1d 2454 . . . . . . 7  |-  ( t  =  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1 
<->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  e.  L ^1 ) )
4946adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  B  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  B  C )
5049itgeq2dv 19541 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  B  ->  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x )
51 sumeq1 12411 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  B  ->  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
)
5250, 51eqeq12d 2402 . . . . . . 7  |-  ( t  =  B  ->  ( S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  = 
sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  <->  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x ) )
5348, 52anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( t  =  B  ->  (
( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
)  <->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) ) )
5445, 53imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( t  =  B  ->  (
( t  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) )  <->  ( B  C_  B  ->  ( (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C
)  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) ) ) )
5554imbi2d 308 . . . 4  |-  ( t  =  B  ->  (
( ph  ->  ( t 
C_  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) ) ) ) )
56 itgfsum.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
57 ibl0 19546 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1 )
5856, 57syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
0 } )  e.  L ^1 )
5958a1d 23 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  B  -> 
( A  X.  {
0 } )  e.  L ^1 ) )
60 ssun1 3454 . . . . . . . . . 10  |-  w  C_  ( w  u.  { z } )
61 sstr 3300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  C_  ( w  u.  { z } )  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B )  ->  w  C_  B )
6260, 61mpan 652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  u.  { z } )  C_  B  ->  w  C_  B )
6362imim1i 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
( w  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) ) )
64 nfcv 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ m C
65 nfcsb1v 3227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ C
66 csbeq1a 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  m  ->  C  =  [_ m  /  k ]_ C )
6764, 65, 66cbvsumi 12419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C  =  sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C
68 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  -.  z  e.  w )
69 disjsn 3812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  w )
7068, 69sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
w  i^i  { z } )  =  (/) )
7170adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( w  i^i  {
z } )  =  (/) )
72 eqidd 2389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( w  u.  {
z } )  =  ( w  u.  {
z } ) )
732adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  B  e.  Fin )
74 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
w  u.  { z } )  C_  B
)
75 ssfi 7266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
)  ->  ( w  u.  { z } )  e.  Fin )
7673, 74, 75syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
w  u.  { z } )  e.  Fin )
7776adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( w  u.  {
z } )  e. 
Fin )
78 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( w  u.  {
z } )  C_  B )
7978sselda 3292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  m  e.  ( w  u.  { z } ) )  ->  m  e.  B )
80 itgfsum.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
81 iblmbf 19527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
83 itgfsum.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  V )
8483anass1rs 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
8582, 84mbfmptcl 19397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
8685an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
8786ralrimiva 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
8887adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
8964nfel1 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ m  C  e.  CC
9065nfel1 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ C  e.  CC
9166eleq1d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  m  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ m  / 
k ]_ C  e.  CC ) )
9289, 90, 91cbvral 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. k  e.  B  C  e.  CC  <->  A. m  e.  B  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
9388, 92sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  A. m  e.  B  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
9493r19.21bi 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  m  e.  B )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
9579, 94syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  m  e.  ( w  u.  { z } ) )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
9671, 72, 77, 95fsumsplit 12461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ m  e.  (
w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C  =  ( sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  +  sum_ m  e.  { z }
[_ m  /  k ]_ C ) )
97 vex 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  z  e. 
_V
9874unssbd 3469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  { z }  C_  B )
9997snss 3870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  B  <->  { z }  C_  B )
10098, 99sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  z  e.  B )
101100adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  z  e.  B )
102 csbeq1 3198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  z  ->  [_ m  /  k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C )
103102eleq1d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  z  ->  ( [_ m  /  k ]_ C  e.  CC  <->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
)
104103rspcv 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. m  e.  B  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
)
105101, 93, 104sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
106102sumsn 12462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  _V  /\  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )  -> 
sum_ m  e.  { z } [_ m  / 
k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
10797, 105, 106sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ m  e.  { z } [_ m  / 
k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
108107oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  sum_ m  e. 
{ z } [_ m  /  k ]_ C
)  =  ( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C ) )
10996, 108eqtrd 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ m  e.  (
w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C  =  ( sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C
) )
11067, 109syl5eq 2432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  =  ( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  / 
k ]_ C ) )
111110mpteq2dva 4237 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  =  ( x  e.  A  |->  ( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  / 
k ]_ C ) ) )
112 nfcv 2524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y
( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  / 
k ]_ C )
113 nfcsb1v 3227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C
114 nfcv 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x  +
115 nfcsb1v 3227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
116113, 114, 115nfov 6044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C )
117 csbeq1a 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  =  [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C
)
118 csbeq1a 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  [_ z  /  k ]_ C  =  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C )
119117, 118oveq12d 6039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C )  =  (
[_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C ) )
120112, 116, 119cbvmpt 4241 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  |->  ( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C ) )
121111, 120syl6eq 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  =  ( y  e.  A  |->  ( [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C ) ) )
122121adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  =  ( y  e.  A  |->  ( [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C ) ) )
123 vex 2903 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
124 sumex 12409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  e.  _V
125123, 124csbex 3206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  e.  _V
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  /\  y  e.  A )  ->  [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  e.  _V )
12764, 65, 66cbvsumi 12419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C
128127mpteq2i 4234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C )
129 nfcv 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C
130129, 113, 117cbvmpt 4241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  |->  sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C )  =  ( y  e.  A  |-> 
[_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C )
131128, 130eqtri 2408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C )
132 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1 )
133131, 132syl5eqelr 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C
)  e.  L ^1 )
134 elex 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [_ z  /  k ]_ C  e.  CC  ->  [_ z  / 
k ]_ C  e.  _V )
135105, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  _V )
136135ralrimiva 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  A. x  e.  A  [_ z  / 
k ]_ C  e.  _V )
137136adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  A. x  e.  A  [_ z  / 
k ]_ C  e.  _V )
138 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y
[_ z  /  k ]_ C  e.  _V
139115nfel1 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  _V
140118eleq1d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  ( [_ z  /  k ]_ C  e.  _V  <->  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  _V )
)
141138, 139, 140cbvral 2872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  A  [_ z  /  k ]_ C  e.  _V  <->  A. y  e.  A  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  _V )
142137, 141sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  A. y  e.  A  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C  e.  _V )
143142r19.21bi 2748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  /\  y  e.  A )  ->  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  _V )
144 nfcv 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y [_ z  /  k ]_ C
145144, 115, 118cbvmpt 4241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
)  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)
14680ralrimiva 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
147 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ m
( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1
148 nfcv 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ k A
149148, 65nfmpt 4239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ k
( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )
150149nfel1 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ k ( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )  e.  L ^1
15166mpteq2dv 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  m  ->  (
x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  [_ m  /  k ]_ C
) )
152151eleq1d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  m  ->  (
( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 
<->  ( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )  e.  L ^1 ) )
153147, 150, 152cbvral 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. k  e.  B  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1  <->  A. m  e.  B  ( x  e.  A  |->  [_ m  /  k ]_ C
)  e.  L ^1 )
154146, 153sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. m  e.  B  ( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )  e.  L ^1 )
155154adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  A. m  e.  B  ( x  e.  A  |->  [_ m  /  k ]_ C
)  e.  L ^1 )
156102mpteq2dv 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  z  ->  (
x  e.  A  |->  [_ m  /  k ]_ C
)  =  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) )
157156eleq1d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  z  ->  (
( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )  e.  L ^1 
<->  ( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  e.  L ^1 ) )
158157rspcv 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. m  e.  B  ( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )  e.  L ^1  ->  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C )  e.  L ^1 ) )
159100, 155, 158sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
)  e.  L ^1 )
160145, 159syl5eqelr 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)  e.  L ^1 )
161160adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)  e.  L ^1 )
162126, 133, 143, 161ibladd 19580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
y  e.  A  |->  (
[_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C ) )  e.  L ^1 )
163122, 162eqeltrd 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L ^1 )
164126, 133, 143, 161itgadd 19584 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A ( [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)  _d y  =  ( S. A [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d y  +  S. A [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  _d y
) )
165119, 112, 116cbvitg 19535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S. A
( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  / 
k ]_ C )  _d x  =  S. A
( [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C )  _d y
166117, 129, 113cbvitg 19535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  S. A [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d y
167118, 144, 115cbvitg 19535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x  =  S. A [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  _d y
168166, 167oveq12i 6033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x
)  =  ( S. A [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d y  +  S. A [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  _d y
)
169164, 165, 1683eqtr4g 2445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A ( sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C
)  _d x  =  ( S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x
) )
170109itgeq2dv 19541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  S. A sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  S. A ( sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C
)  _d x )
171170adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  S. A ( sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C
)  _d x )
172 eqidd 2389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
w  u.  { z } )  =  ( w  u.  { z } ) )
17374sselda 3292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  m  e.  ( w  u.  { z } ) )  ->  m  e.  B )
17494an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  m  e.  B
)  /\  x  e.  A )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
175155r19.21bi 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  m  e.  B )  ->  ( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )  e.  L ^1 )
176174, 175itgcl 19543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  m  e.  B )  ->  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  e.  CC )
177173, 176syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  m  e.  ( w  u.  { z } ) )  ->  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  e.  CC )
17870, 172, 76, 177fsumsplit 12461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  sum_ m  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A [_ m  / 
k ]_ C  _d x  =  ( sum_ m  e.  w  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  sum_ m  e.  {
z } S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
) )
179178adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  sum_ m  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A [_ m  / 
k ]_ C  _d x  =  ( sum_ m  e.  w  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  sum_ m  e.  {
z } S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
) )
180 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
)
181 itgeq2 19537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  A  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  ->  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x )
182127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  A  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C
)
183181, 182mprg 2719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x
184 nfcv 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ m S. A C  _d x
185148, 65nfitg 19534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k S. A [_ m  / 
k ]_ C  _d x
18666adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  =  m  /\  x  e.  A )  ->  C  =  [_ m  /  k ]_ C
)
187186itgeq2dv 19541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  m  ->  S. A C  _d x  =  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x )
188184, 185, 187cbvsumi 12419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x  =  sum_ m  e.  w  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
189180, 183, 1883eqtr3g 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  sum_ m  e.  w  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
)
190105, 159itgcl 19543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x  e.  CC )
191190adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x  e.  CC )
192102adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  =  z  /\  x  e.  A )  ->  [_ m  /  k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
193192itgeq2dv 19541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  z  ->  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x )
194193sumsn 12462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  _V  /\  S. A [_ z  / 
k ]_ C  _d x  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  { z } S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x
)
19597, 191, 194sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  sum_ m  e.  { z } S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x )
196195eqcomd 2393 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x  =  sum_ m  e.  {
z } S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
)
197189, 196oveq12d 6039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  ( S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x
)  =  ( sum_ m  e.  w  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  sum_ m  e.  {
z } S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
) )
198179, 197eqtr4d 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  sum_ m  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A [_ m  / 
k ]_ C  _d x  =  ( S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x
) )
199169, 171, 1983eqtr4d 2430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  sum_ m  e.  ( w  u. 
{ z } ) S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x )
200 itgeq2 19537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  A  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  =  sum_ m  e.  ( w  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ C  ->  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C  _d x  =  S. A sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C  _d x )
20167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C  =  sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C
)
202200, 201mprg 2719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  S. A sum_ m  e.  ( w  u. 
{ z } )
[_ m  /  k ]_ C  _d x
203184, 185, 187cbvsumi 12419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x  =  sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
204199, 202, 2033eqtr4g 2445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x )
205163, 204jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) )
206205ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
)  ->  ( (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) ) )
207206expr 599 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  w )  ->  (
( w  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
)  ->  ( (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) ) ) )
208207a2d 24 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  w )  ->  (
( ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
( w  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  = 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) S. A C  _d x ) ) ) )
20963, 208syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  w )  ->  (
( w  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
( w  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  = 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) S. A C  _d x ) ) ) )
210209expcom 425 . . . . . 6  |-  ( -.  z  e.  w  -> 
( ph  ->  ( ( w  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
( w  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  = 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) S. A C  _d x ) ) ) ) )
211210adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  -.  z  e.  w
)  ->  ( ph  ->  ( ( w  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
( w  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )  e.  L ^1 
/\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  = 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) S. A C  _d x ) ) ) ) )
212211a2d 24 . . . 4  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  -.  z  e.  w
)  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) ) )  -> 
( ph  ->  ( ( w  u.  { z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) ) ) ) )
21322, 33, 44, 55, 59, 212findcard2s 7286 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) ) ) )
2142, 213mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) ) )
2151, 214mpi 17 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  L ^1  /\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   _Vcvv 2900   [_csb 3195    u. cun 3262    i^i cin 3263    C_ wss 3264   (/)c0 3572   {csn 3758    e. cmpt 4208    X. cxp 4817   dom cdm 4819  (class class class)co 6021   Fincfn 7046   CCcc 8922   0cc0 8924    + caddc 8927   sum_csu 12407   volcvol 19228  MblFncmbf 19374   L ^1cibl 19377   S.citg 19378
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cc 8249  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-disj 4125  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-ofr 6246  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-omul 6666  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-acn 7763  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ioc 10854  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-mod 11179  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-rest 13578  df-topgen 13595  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-cmp 17373  df-ovol 19229  df-vol 19230  df-mbf 19380  df-itg1 19381  df-itg2 19382  df-ibl 19383  df-itg 19384  df-0p 19430
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