MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgge0 Unicode version

Theorem itgge0 19161
Description: The integral of a positive function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgge0.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
itgge0.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
itgge0.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
Assertion
Ref Expression
itgge0  |-  ( ph  ->  0  <_  S. A B  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution group:    B( x)

Proof of Theorem itgge0
StepHypRef Expression
1 itgz 19131 . 2  |-  S. A
0  _d x  =  0
2 fconstmpt 4733 . . . 4  |-  ( A  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  A  |->  0 )
3 itgge0.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
4 iblmbf 19118 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
53, 4syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
6 itgge0.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
75, 6mbfdm2 18989 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
8 ibl0 19137 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L ^1 )
97, 8syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
0 } )  e.  L ^1 )
102, 9syl5eqelr 2371 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  0 )  e.  L ^1 )
11 0re 8835 . . . 4  |-  0  e.  RR
1211a1i 12 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  e.  RR )
13 itgge0.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
1410, 3, 12, 6, 13itgle 19160 . 2  |-  ( ph  ->  S. A 0  _d x  <_  S. A B  _d x )
151, 14syl5eqbrr 4060 1  |-  ( ph  ->  0  <_  S. A B  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1687   {csn 3643   class class class wbr 4026    e. cmpt 4080    X. cxp 4688   dom cdm 4690   RRcr 8733   0cc0 8734    <_ cle 8865   volcvol 18819  MblFncmbf 18965   L ^1cibl 18968   S.citg 18969
This theorem is referenced by:  itgabs  19185  areaf  20252
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-rep 4134  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-inf2 7339  ax-cnex 8790  ax-resscn 8791  ax-1cn 8792  ax-icn 8793  ax-addcl 8794  ax-addrcl 8795  ax-mulcl 8796  ax-mulrcl 8797  ax-mulcom 8798  ax-addass 8799  ax-mulass 8800  ax-distr 8801  ax-i2m1 8802  ax-1ne0 8803  ax-1rid 8804  ax-rnegex 8805  ax-rrecex 8806  ax-cnre 8807  ax-pre-lttri 8808  ax-pre-lttrn 8809  ax-pre-ltadd 8810  ax-pre-mulgt0 8811  ax-pre-sup 8812  ax-addf 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-nel 2452  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3831  df-int 3866  df-iun 3910  df-disj 3997  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-se 4354  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-lim 4398  df-suc 4399  df-om 4658  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-isom 5232  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-of 6041  df-ofr 6042  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-iota 6254  df-riota 6301  df-recs 6385  df-rdg 6420  df-1o 6476  df-2o 6477  df-oadd 6480  df-er 6657  df-map 6771  df-pm 6772  df-en 6861  df-dom 6862  df-sdom 6863  df-fin 6864  df-sup 7191  df-oi 7222  df-card 7569  df-cda 7791  df-pnf 8866  df-mnf 8867  df-xr 8868  df-ltxr 8869  df-le 8870  df-sub 9036  df-neg 9037  df-div 9421  df-nn 9744  df-2 9801  df-3 9802  df-4 9803  df-n0 9963  df-z 10022  df-uz 10228  df-q 10314  df-rp 10352  df-xadd 10450  df-ioo 10656  df-ico 10658  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-fl 10921  df-mod 10970  df-seq 11043  df-exp 11101  df-hash 11334  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-clim 11958  df-sum 12155  df-xmet 16369  df-met 16370  df-ovol 18820  df-vol 18821  df-mbf 18971  df-itg1 18972  df-itg2 18973  df-ibl 18974  df-itg 18975  df-0p 19021
  Copyright terms: Public domain W3C validator