MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itggt0 Unicode version

Theorem itggt0 19191
Description: The integral of a strictly positive function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itggt0.1  |-  ( ph  ->  0  <  ( vol `  A ) )
itggt0.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
itggt0.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
itggt0  |-  ( ph  ->  0  <  S. A B  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itggt0
StepHypRef Expression
1 itggt0.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
2 iblmbf 19117 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
4 itggt0.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR+ )
53, 4mbfdm2 18988 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
6 itggt0.1 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( vol `  A ) )
74rpred 10386 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
84rpge0d 10390 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
9 elrege0 10741 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
107, 8, 9sylanbrc 647 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
11 0re 8834 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
12 0le0 9823 . . . . . . . 8  |-  0  <_  0
13 elrege0 10741 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 ) )
1411, 12, 13mpbir2an 888 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
1514a1i 12 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
1610, 15ifclda 3594 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  B , 
0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
1716adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
18 eqid 2285 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
1917, 18fmptd 5646 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
20 mblss 18885 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
215, 20syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
22 rembl 18893 . . . . 5  |-  RR  e.  dom  vol
2322a1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  dom  vol )
2416adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
25 eldifn 3301 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
2625adantl 454 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  x  e.  A )
27 iffalse 3574 . . . . 5  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
2826, 27syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
x  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
29 iftrue 3573 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
3029mpteq2ia 4104 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  B )
3130, 3syl5eqel 2369 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
3221, 23, 24, 28, 31mbfss 18996 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  e. MblFn )
334rpgt0d 10389 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <  B )
3421sselda 3182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
3529adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
3635, 4eqeltrd 2359 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  RR+ )
3718fvmpt2 5570 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  RR+ )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
3834, 36, 37syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
3938, 35eqtrd 2317 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x )  =  B )
4033, 39breqtrrd 4051 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 x ) )
4140ralrimiva 2628 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A 
0  <  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x ) )
42 nfcv 2421 . . . . . . 7  |-  F/_ x
0
43 nfcv 2421 . . . . . . 7  |-  F/_ x  <
44 nfmpt1 4111 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
45 nfcv 2421 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
y
4644, 45nffv 5493 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 y )
4742, 43, 46nfbr 4069 . . . . . 6  |-  F/ x
0  <  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  y )
48 nfv 1606 . . . . . 6  |-  F/ y 0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x )
49 fveq2 5486 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x ) )
5049breq2d 4037 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  y )  <->  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x ) ) )
5147, 48, 50cbvral 2762 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 y )  <->  A. x  e.  A  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x ) )
5241, 51sylibr 205 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A 
0  <  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  y ) )
5352r19.21bi 2643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 y ) )
545, 6, 19, 32, 53itg2gt0 19110 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
557, 1, 8itgposval 19145 . 2  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
5654, 55breqtrrd 4051 1  |-  ( ph  ->  0  <  S. A B  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2545    \ cdif 3151    C_ wss 3154   ifcif 3567   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   dom cdm 4689   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   RRcr 8732   0cc0 8733    +oocpnf 8860    < clt 8863    <_ cle 8864   RR+crp 10350   [,)cico 10653   volcvol 18818  MblFncmbf 18964   S.2citg2 18966   L ^1cibl 18967   S.citg 18968
This theorem is referenced by:  ftc1lem4  19381
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7338  ax-cc 8057  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-disj 3996  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-isom 5231  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-of 6040  df-ofr 6041  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-pm 6771  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-fi 7161  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-cda 7790  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-xneg 10448  df-xadd 10449  df-xmul 10450  df-ioo 10655  df-ico 10657  df-icc 10658  df-fz 10778  df-fzo 10866  df-fl 10920  df-mod 10969  df-seq 11042  df-exp 11100  df-hash 11333  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581  df-sqr 11715  df-abs 11716  df-clim 11957  df-rlim 11958  df-sum 12154  df-rest 13322  df-topgen 13339  df-xmet 16368  df-met 16369  df-bl 16370  df-mopn 16371  df-top 16631  df-bases 16633  df-topon 16634  df-cmp 17109  df-cncf 18377  df-ovol 18819  df-vol 18820  df-mbf 18970  df-itg1 18971  df-itg2 18972  df-ibl 18973  df-itg 18974  df-0p 19020
  Copyright terms: Public domain W3C validator