MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itggt0 Structured version   Unicode version

Theorem itggt0 19733
Description: The integral of a strictly positive function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itggt0.1  |-  ( ph  ->  0  <  ( vol `  A ) )
itggt0.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
itggt0.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
itggt0  |-  ( ph  ->  0  <  S. A B  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itggt0
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itggt0.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
2 iblmbf 19659 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
4 itggt0.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR+ )
53, 4mbfdm2 19530 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
6 itggt0.1 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( vol `  A ) )
74rpred 10648 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
84rpge0d 10652 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
9 elrege0 11007 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
107, 8, 9sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
11 0re 9091 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
12 0le0 10081 . . . . . . . 8  |-  0  <_  0
13 elrege0 11007 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 ) )
1411, 12, 13mpbir2an 887 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
1514a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
1610, 15ifclda 3766 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  B , 
0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
1716adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
18 eqid 2436 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
1917, 18fmptd 5893 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
20 mblss 19427 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
215, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
22 rembl 19435 . . . . 5  |-  RR  e.  dom  vol
2322a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  dom  vol )
2416adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
25 eldifn 3470 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
2625adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  x  e.  A )
27 iffalse 3746 . . . . 5  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
2826, 27syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
x  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
29 iftrue 3745 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
3029mpteq2ia 4291 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  B )
3130, 3syl5eqel 2520 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
3221, 23, 24, 28, 31mbfss 19538 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  e. MblFn )
334rpgt0d 10651 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <  B )
3421sselda 3348 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
3529adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
3635, 4eqeltrd 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  RR+ )
3718fvmpt2 5812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  RR+ )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
3834, 36, 37syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
3938, 35eqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x )  =  B )
4033, 39breqtrrd 4238 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 x ) )
4140ralrimiva 2789 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A 
0  <  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x ) )
42 nfcv 2572 . . . . . . 7  |-  F/_ x
0
43 nfcv 2572 . . . . . . 7  |-  F/_ x  <
44 nffvmpt1 5736 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 y )
4542, 43, 44nfbr 4256 . . . . . 6  |-  F/ x
0  <  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  y )
46 nfv 1629 . . . . . 6  |-  F/ y 0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x )
47 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x ) )
4847breq2d 4224 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  y )  <->  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x ) ) )
4945, 46, 48cbvral 2928 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 y )  <->  A. x  e.  A  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x ) )
5041, 49sylibr 204 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A 
0  <  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  y ) )
5150r19.21bi 2804 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 y ) )
525, 6, 19, 32, 51itg2gt0 19652 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
537, 1, 8itgposval 19687 . 2  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
5452, 53breqtrrd 4238 1  |-  ( ph  ->  0  <  S. A B  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705    \ cdif 3317    C_ wss 3320   ifcif 3739   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   dom cdm 4878   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990    +oocpnf 9117    < clt 9120    <_ cle 9121   RR+crp 10612   [,)cico 10918   volcvol 19360  MblFncmbf 19506   S.2citg2 19508   L ^1cibl 19509   S.citg 19510
This theorem is referenced by:  ftc1lem4  19923
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cmp 17450  df-cncf 18908  df-ovol 19361  df-vol 19362  df-mbf 19512  df-itg1 19513  df-itg2 19514  df-ibl 19515  df-itg 19516  df-0p 19562
  Copyright terms: Public domain W3C validator