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Theorem itgparts 19394
Description: Integration by parts. If  B (
x ) is the derivative of  A ( x ) and  D ( x ) is the derivative of  C ( x ), and  E  =  ( A  x.  B ) ( X ) and  F  =  ( A  x.  B ) ( Y ), then under suitable integrability and differentiability assumptions, the integral of  A  x.  D from  X to  Y is equal to  F  -  E minus the integral of  B  x.  C. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgparts.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
itgparts.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
itgparts.le  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
itgparts.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC ) )
itgparts.c  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  C )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC ) )
itgparts.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
itgparts.d  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  D )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
itgparts.ad  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( A  x.  D
) )  e.  L ^1 )
itgparts.bc  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( B  x.  C
) )  e.  L ^1 )
itgparts.da  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
itgparts.dc  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  C ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  D ) )
itgparts.e  |-  ( (
ph  /\  x  =  X )  ->  ( A  x.  C )  =  E )
itgparts.f  |-  ( (
ph  /\  x  =  Y )  ->  ( A  x.  C )  =  F )
Assertion
Ref Expression
itgparts  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( A  x.  D )  _d x  =  ( ( F  -  E )  -  S. ( X (,) Y ) ( B  x.  C )  _d x ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, X    x, Y    x, E    x, F
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    C( x)    D( x)

Proof of Theorem itgparts
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgparts.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
2 cncff 18397 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
31, 2syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
4 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B )
54fmpt 5681 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( X (,) Y ) B  e.  CC  <->  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B ) : ( X (,) Y
) --> CC )
63, 5sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X (,) Y ) B  e.  CC )
76r19.21bi 2641 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  B  e.  CC )
8 ioossicc 10735 . . . . . . 7  |-  ( X (,) Y )  C_  ( X [,] Y )
98sseli 3176 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  ->  x  e.  ( X [,] Y
) )
10 itgparts.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  C )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC ) )
11 cncff 18397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  C )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  C ) : ( X [,] Y ) --> CC )
1210, 11syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  C ) : ( X [,] Y ) --> CC )
13 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  C )  =  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  C )
1413fmpt 5681 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) C  e.  CC  <->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  C ) : ( X [,] Y
) --> CC )
1512, 14sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) C  e.  CC )
1615r19.21bi 2641 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  C  e.  CC )
179, 16sylan2 460 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  C  e.  CC )
187, 17mulcld 8855 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( B  x.  C )  e.  CC )
19 itgparts.bc . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( B  x.  C
) )  e.  L ^1 )
2018, 19itgcl 19138 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( B  x.  C )  _d x  e.  CC )
21 itgparts.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC ) )
22 cncff 18397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> CC )
2321, 22syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> CC )
24 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  =  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A )
2524fmpt 5681 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  CC  <->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) : ( X [,] Y
) --> CC )
2623, 25sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  CC )
2726r19.21bi 2641 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  A  e.  CC )
289, 27sylan2 460 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  A  e.  CC )
29 itgparts.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  D )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
30 cncff 18397 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  D )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  D ) : ( X (,) Y ) --> CC )
3129, 30syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  D ) : ( X (,) Y ) --> CC )
32 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  D )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  D )
3332fmpt 5681 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( X (,) Y ) D  e.  CC  <->  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  D ) : ( X (,) Y
) --> CC )
3431, 33sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X (,) Y ) D  e.  CC )
3534r19.21bi 2641 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  D  e.  CC )
3628, 35mulcld 8855 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( A  x.  D )  e.  CC )
37 itgparts.ad . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( A  x.  D
) )  e.  L ^1 )
3836, 37itgcl 19138 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( A  x.  D )  _d x  e.  CC )
3920, 38pncan2d 9159 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S. ( X (,) Y ) ( B  x.  C
)  _d x  +  S. ( X (,) Y
) ( A  x.  D )  _d x )  -  S. ( X (,) Y ) ( B  x.  C
)  _d x )  =  S. ( X (,) Y ) ( A  x.  D )  _d x )
4018, 19, 36, 37itgadd 19179 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D ) )  _d x  =  ( S. ( X (,) Y
) ( B  x.  C )  _d x  +  S. ( X (,) Y ) ( A  x.  D )  _d x ) )
41 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  (
( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  x
)  =  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  t ) )
42 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  x
)
43 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x RR
44 nfcv 2419 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x  _D
45 nfmpt1 4109 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  ( A  x.  C
) )
4643, 44, 45nfov 5881 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) )
47 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
t
4846, 47nffv 5532 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  t
)
4941, 42, 48cbvitg 19130 . . . . . 6  |-  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  x
)  _d x  =  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  t )  _d t
50 itgparts.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
51 itgparts.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
52 itgparts.le . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
53 ax-resscn 8794 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
5453a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
55 iccssre 10731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
5650, 51, 55syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
5727, 16mulcld 8855 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( A  x.  C )  e.  CC )
58 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
5958tgioo2 18309 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
60 iccntr 18326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( X [,] Y ) )  =  ( X (,) Y
) )
6150, 51, 60syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( X [,] Y ) )  =  ( X (,) Y
) )
6254, 56, 57, 59, 58, 61dvmptntr 19320 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) )
63 reex 8828 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  _V
6463prid1 3734 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
6564a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
6654, 56, 27, 59, 58, 61dvmptntr 19320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  A ) ) )
67 itgparts.da . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
6866, 67eqtr3d 2317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
6954, 56, 16, 59, 58, 61dvmptntr 19320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  C ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  C ) ) )
70 itgparts.dc . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  C ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  D ) )
7169, 70eqtr3d 2317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  C ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  D ) )
7265, 28, 7, 68, 17, 35, 71dvmptmul 19310 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( A  x.  C ) ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( ( B  x.  C
)  +  ( D  x.  A ) ) ) )
7335, 28mulcomd 8856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( D  x.  A )  =  ( A  x.  D ) )
7473oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( B  x.  C )  +  ( D  x.  A ) )  =  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D ) ) )
7574mpteq2dva 4106 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( B  x.  C )  +  ( D  x.  A ) ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( ( B  x.  C
)  +  ( A  x.  D ) ) ) )
7662, 72, 753eqtrd 2319 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( ( B  x.  C
)  +  ( A  x.  D ) ) ) )
7758addcn 18369 . . . . . . . . . 10  |-  +  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
7877a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  +  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
7958mulcn 18371 . . . . . . . . . . 11  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
8079a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
81 resmpt 5000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  C )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  C ) )
828, 81ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  C )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  C )
83 rescncf 18401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  C )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  C )  |`  ( X (,) Y ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) ) )
848, 10, 83mpsyl 59 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  C )  |`  ( X (,) Y ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
8582, 84syl5eqelr 2368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  C )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
8658, 80, 1, 85cncfmpt2f 18418 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( B  x.  C
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
87 resmpt 5000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  A ) )
888, 87ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  A )
89 rescncf 18401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  |`  ( X (,) Y ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) ) )
908, 21, 89mpsyl 59 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A )  |`  ( X (,) Y ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
9188, 90syl5eqelr 2368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
9258, 80, 91, 29cncfmpt2f 18418 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( A  x.  D
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
9358, 78, 86, 92cncfmpt2f 18418 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D ) ) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
9476, 93eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
9518, 19, 36, 37ibladd 19175 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D ) ) )  e.  L ^1 )
9676, 95eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) )  e.  L ^1 )
9758, 80, 21, 10cncfmpt2f 18418 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  ( A  x.  C
) )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC ) )
9850, 51, 52, 94, 96, 97ftc2 19391 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  t )  _d t  =  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) `  Y )  -  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  ( A  x.  C
) ) `  X
) ) )
9949, 98syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  x )  _d x  =  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) `  Y )  -  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  ( A  x.  C
) ) `  X
) ) )
10076fveq1d 5527 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  x
)  =  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( ( B  x.  C
)  +  ( A  x.  D ) ) ) `  x ) )
101100adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) ) `
 x )  =  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D
) ) ) `  x ) )
102 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  x  e.  ( X (,) Y ) )
103 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D ) )  e. 
_V
104 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D ) ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D
) ) )
105104fvmpt2 5608 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  /\  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D ) )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D
) ) ) `  x )  =  ( ( B  x.  C
)  +  ( A  x.  D ) ) )
106102, 103, 105sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( ( B  x.  C
)  +  ( A  x.  D ) ) ) `  x )  =  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D
) ) )
107101, 106eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) ) `
 x )  =  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D ) ) )
108107itgeq2dv 19136 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  x )  _d x  =  S. ( X (,) Y
) ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D
) )  _d x )
10950rexrd 8881 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
11051rexrd 8881 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR* )
111 ubicc2 10753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  Y  e.  RR*  /\  X  <_  Y )  ->  Y  e.  ( X [,] Y
) )
112109, 110, 52, 111syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X [,] Y ) )
113 ovex 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  x.  C )  e. 
_V
114113ax-gen 1533 . . . . . . . . 9  |-  A. x
( A  x.  C
)  e.  _V
115 csbexg 3091 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  A. x ( A  x.  C )  e.  _V )  ->  [_ Y  /  x ]_ ( A  x.  C
)  e.  _V )
11651, 114, 115sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ ( A  x.  C
)  e.  _V )
117 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) )  =  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) )
118117fvmpts 5603 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  ( X [,] Y )  /\  [_ Y  /  x ]_ ( A  x.  C
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) `  Y )  =  [_ Y  /  x ]_ ( A  x.  C )
)
119112, 116, 118syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) `  Y )  =  [_ Y  /  x ]_ ( A  x.  C )
)
120 itgparts.f . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  =  Y )  ->  ( A  x.  C )  =  F )
12151, 120csbied 3123 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ ( A  x.  C
)  =  F )
122119, 121eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) `  Y )  =  F )
123 lbicc2 10752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  Y  e.  RR*  /\  X  <_  Y )  ->  X  e.  ( X [,] Y
) )
124109, 110, 52, 123syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  ( X [,] Y ) )
125 csbexg 3091 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  RR  /\  A. x ( A  x.  C )  e.  _V )  ->  [_ X  /  x ]_ ( A  x.  C
)  e.  _V )
12650, 114, 125sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ ( A  x.  C
)  e.  _V )
127117fvmpts 5603 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  ( X [,] Y )  /\  [_ X  /  x ]_ ( A  x.  C
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) `  X )  =  [_ X  /  x ]_ ( A  x.  C )
)
128124, 126, 127syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) `  X )  =  [_ X  /  x ]_ ( A  x.  C )
)
129 itgparts.e . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  =  X )  ->  ( A  x.  C )  =  E )
13050, 129csbied 3123 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ ( A  x.  C
)  =  E )
131128, 130eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) `  X )  =  E )
132122, 131oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) `
 Y )  -  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) `  X ) )  =  ( F  -  E
) )
13399, 108, 1323eqtr3d 2323 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D ) )  _d x  =  ( F  -  E ) )
13440, 133eqtr3d 2317 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. ( X (,) Y ) ( B  x.  C )  _d x  +  S. ( X (,) Y ) ( A  x.  D
)  _d x )  =  ( F  -  E ) )
135134oveq1d 5873 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S. ( X (,) Y ) ( B  x.  C
)  _d x  +  S. ( X (,) Y
) ( A  x.  D )  _d x )  -  S. ( X (,) Y ) ( B  x.  C
)  _d x )  =  ( ( F  -  E )  -  S. ( X (,) Y
) ( B  x.  C )  _d x ) )
13639, 135eqtr3d 2317 1  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( A  x.  D )  _d x  =  ( ( F  -  E )  -  S. ( X (,) Y ) ( B  x.  C )  _d x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   [_csb 3081    C_ wss 3152   {cpr 3641   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ran crn 4690    |` cres 4691   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    <_ cle 8868    - cmin 9037   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659   TopOpenctopn 13326   topGenctg 13342  ℂfldccnfld 16377   intcnt 16754    Cn ccn 16954    tX ctx 17255   -cn->ccncf 18380   L ^1cibl 18972   S.citg 18973    _D cdv 19213
This theorem is referenced by:  itgsinexplem1  27748
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976  df-itg2 18977  df-ibl 18978  df-itg 18979  df-0p 19025  df-limc 19216  df-dv 19217
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