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Theorem itgparts 19356
Description: Integration by parts. If  B (
x ) is the derivative of  A ( x ) and  D ( x ) is the derivative of  C ( x ), and  E  =  ( A  x.  B ) ( X ) and  F  =  ( A  x.  B ) ( Y ), then under suitable integrability and differentiability assumptions, the integral of  A  x.  D from  X to  Y is equal to  F  -  E minus the integral of  B  x.  C. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgparts.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
itgparts.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
itgparts.le  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
itgparts.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC ) )
itgparts.c  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  C )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC ) )
itgparts.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
itgparts.d  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  D )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
itgparts.ad  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( A  x.  D
) )  e.  L ^1 )
itgparts.bc  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( B  x.  C
) )  e.  L ^1 )
itgparts.da  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
itgparts.dc  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  C ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  D ) )
itgparts.e  |-  ( (
ph  /\  x  =  X )  ->  ( A  x.  C )  =  E )
itgparts.f  |-  ( (
ph  /\  x  =  Y )  ->  ( A  x.  C )  =  F )
Assertion
Ref Expression
itgparts  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( A  x.  D )  _d x  =  ( ( F  -  E )  -  S. ( X (,) Y ) ( B  x.  C )  _d x ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, X    x, Y    x, E    x, F
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    C( x)    D( x)

Proof of Theorem itgparts
StepHypRef Expression
1 itgparts.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
2 cncff 18359 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
31, 2syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B ) : ( X (,) Y ) --> CC )
4 eqid 2258 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B )
54fmpt 5615 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( X (,) Y ) B  e.  CC  <->  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B ) : ( X (,) Y
) --> CC )
63, 5sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X (,) Y ) B  e.  CC )
76r19.21bi 2616 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  B  e.  CC )
8 ioossicc 10701 . . . . . . 7  |-  ( X (,) Y )  C_  ( X [,] Y )
98sseli 3151 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  ->  x  e.  ( X [,] Y
) )
10 itgparts.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  C )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC ) )
11 cncff 18359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  C )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  C ) : ( X [,] Y ) --> CC )
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  C ) : ( X [,] Y ) --> CC )
13 eqid 2258 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  C )  =  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  C )
1413fmpt 5615 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) C  e.  CC  <->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  C ) : ( X [,] Y
) --> CC )
1512, 14sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) C  e.  CC )
1615r19.21bi 2616 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  C  e.  CC )
179, 16sylan2 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  C  e.  CC )
187, 17mulcld 8823 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( B  x.  C )  e.  CC )
19 itgparts.bc . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( B  x.  C
) )  e.  L ^1 )
2018, 19itgcl 19100 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( B  x.  C )  _d x  e.  CC )
21 itgparts.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC ) )
22 cncff 18359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> CC )
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> CC )
24 eqid 2258 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  =  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A )
2524fmpt 5615 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  CC  <->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) : ( X [,] Y
) --> CC )
2623, 25sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  CC )
2726r19.21bi 2616 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  A  e.  CC )
289, 27sylan2 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  A  e.  CC )
29 itgparts.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  D )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
30 cncff 18359 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  D )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC )  ->  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  D ) : ( X (,) Y ) --> CC )
3129, 30syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  D ) : ( X (,) Y ) --> CC )
32 eqid 2258 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  D )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  D )
3332fmpt 5615 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( X (,) Y ) D  e.  CC  <->  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  D ) : ( X (,) Y
) --> CC )
3431, 33sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X (,) Y ) D  e.  CC )
3534r19.21bi 2616 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  D  e.  CC )
3628, 35mulcld 8823 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( A  x.  D )  e.  CC )
37 itgparts.ad . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( A  x.  D
) )  e.  L ^1 )
3836, 37itgcl 19100 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( A  x.  D )  _d x  e.  CC )
3920, 38pncan2d 9127 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S. ( X (,) Y ) ( B  x.  C
)  _d x  +  S. ( X (,) Y
) ( A  x.  D )  _d x )  -  S. ( X (,) Y ) ( B  x.  C
)  _d x )  =  S. ( X (,) Y ) ( A  x.  D )  _d x )
4018, 19, 36, 37itgadd 19141 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D ) )  _d x  =  ( S. ( X (,) Y
) ( B  x.  C )  _d x  +  S. ( X (,) Y ) ( A  x.  D )  _d x ) )
41 fveq2 5458 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  (
( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  x
)  =  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  t ) )
42 nfcv 2394 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  x
)
43 nfcv 2394 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x RR
44 nfcv 2394 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x  _D
45 nfmpt1 4083 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  ( A  x.  C
) )
4643, 44, 45nfov 5815 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) )
47 nfcv 2394 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
t
4846, 47nffv 5465 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  t
)
4941, 42, 48cbvitg 19092 . . . . . 6  |-  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  x
)  _d x  =  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  t )  _d t
50 itgparts.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
51 itgparts.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
52 itgparts.le . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
53 ax-resscn 8762 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  C_  CC
5453a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
55 iccssre 10697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
5650, 51, 55syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
5727, 16mulcld 8823 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( A  x.  C )  e.  CC )
58 eqid 2258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
5958tgioo2 18271 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
60 iccntr 18288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( X [,] Y ) )  =  ( X (,) Y
) )
6150, 51, 60syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( X [,] Y ) )  =  ( X (,) Y
) )
6254, 56, 57, 59, 58, 61dvmptntr 19282 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) )
63 reex 8796 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  _V
6463prid1 3708 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
6564a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
6654, 56, 27, 59, 58, 61dvmptntr 19282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  A ) ) )
67 itgparts.da . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
6866, 67eqtr3d 2292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
6954, 56, 16, 59, 58, 61dvmptntr 19282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  C ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  C ) ) )
70 itgparts.dc . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  C ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  D ) )
7169, 70eqtr3d 2292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  C ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  D ) )
7265, 28, 7, 68, 17, 35, 71dvmptmul 19272 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( A  x.  C ) ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( ( B  x.  C
)  +  ( D  x.  A ) ) ) )
7335, 28mulcomd 8824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( D  x.  A )  =  ( A  x.  D ) )
7473oveq2d 5808 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( B  x.  C )  +  ( D  x.  A ) )  =  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D ) ) )
7574mpteq2dva 4080 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( B  x.  C )  +  ( D  x.  A ) ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( ( B  x.  C
)  +  ( A  x.  D ) ) ) )
7662, 72, 753eqtrd 2294 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( ( B  x.  C
)  +  ( A  x.  D ) ) ) )
7758addcn 18331 . . . . . . . . . 10  |-  +  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
7877a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  +  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
7958mulcn 18333 . . . . . . . . . . 11  |-  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
8079a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  x.  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )  tX  ( TopOpen ` fld )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
81 resmpt 4988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  C )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  C ) )
828, 81ax-mp 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  C )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  C )
83 rescncf 18363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  C )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  C )  |`  ( X (,) Y ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) ) )
848, 10, 83mpsyl 61 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  C )  |`  ( X (,) Y ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
8582, 84syl5eqelr 2343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  C )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
8658, 80, 1, 85cncfmpt2f 18380 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( B  x.  C
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
87 resmpt 4988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  A ) )
888, 87ax-mp 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  A )
89 rescncf 18363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  ( X [,] Y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  |`  ( X (,) Y ) )  e.  ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) ) )
908, 21, 89mpsyl 61 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A )  |`  ( X (,) Y ) )  e.  ( ( X (,) Y )
-cn-> CC ) )
9188, 90syl5eqelr 2343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
9258, 80, 91, 29cncfmpt2f 18380 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( A  x.  D
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
9358, 78, 86, 92cncfmpt2f 18380 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D ) ) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
9476, 93eqeltrd 2332 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
9518, 19, 36, 37ibladd 19137 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D ) ) )  e.  L ^1 )
9676, 95eqeltrd 2332 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) )  e.  L ^1 )
9758, 80, 21, 10cncfmpt2f 18380 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  ( A  x.  C
) )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> CC ) )
9850, 51, 52, 94, 96, 97ftc2 19353 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  t )  _d t  =  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) `  Y )  -  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  ( A  x.  C
) ) `  X
) ) )
9949, 98syl5eq 2302 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  x )  _d x  =  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) `  Y )  -  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  ( A  x.  C
) ) `  X
) ) )
10076fveq1d 5460 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  x
)  =  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( ( B  x.  C
)  +  ( A  x.  D ) ) ) `  x ) )
101100adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) ) `
 x )  =  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D
) ) ) `  x ) )
102 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  x  e.  ( X (,) Y ) )
103 ovex 5817 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D ) )  e. 
_V
104 eqid 2258 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D ) ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D
) ) )
105104fvmpt2 5542 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( X (,) Y )  /\  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D ) )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D
) ) ) `  x )  =  ( ( B  x.  C
)  +  ( A  x.  D ) ) )
106102, 103, 105sylancl 646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( (
x  e.  ( X (,) Y )  |->  ( ( B  x.  C
)  +  ( A  x.  D ) ) ) `  x )  =  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D
) ) )
107101, 106eqtrd 2290 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) ) `
 x )  =  ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D ) ) )
108107itgeq2dv 19098 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( RR  _D  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) ) `  x )  _d x  =  S. ( X (,) Y
) ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D
) )  _d x )
10950rexrd 8849 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
11051rexrd 8849 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR* )
111 ubicc2 10719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  Y  e.  RR*  /\  X  <_  Y )  ->  Y  e.  ( X [,] Y
) )
112109, 110, 52, 111syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X [,] Y ) )
113 ovex 5817 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  x.  C )  e. 
_V
114113ax-gen 1536 . . . . . . . . 9  |-  A. x
( A  x.  C
)  e.  _V
115 csbexg 3066 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  A. x ( A  x.  C )  e.  _V )  ->  [_ Y  /  x ]_ ( A  x.  C
)  e.  _V )
11651, 114, 115sylancl 646 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ ( A  x.  C
)  e.  _V )
117 eqid 2258 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) )  =  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) )
118117fvmpts 5537 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  ( X [,] Y )  /\  [_ Y  /  x ]_ ( A  x.  C
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) `  Y )  =  [_ Y  /  x ]_ ( A  x.  C )
)
119112, 116, 118syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) `  Y )  =  [_ Y  /  x ]_ ( A  x.  C )
)
120 itgparts.f . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  =  Y )  ->  ( A  x.  C )  =  F )
12151, 120csbied 3098 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ ( A  x.  C
)  =  F )
122119, 121eqtrd 2290 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) `  Y )  =  F )
123 lbicc2 10718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  RR*  /\  Y  e.  RR*  /\  X  <_  Y )  ->  X  e.  ( X [,] Y
) )
124109, 110, 52, 123syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  ( X [,] Y ) )
125 csbexg 3066 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  RR  /\  A. x ( A  x.  C )  e.  _V )  ->  [_ X  /  x ]_ ( A  x.  C
)  e.  _V )
12650, 114, 125sylancl 646 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ ( A  x.  C
)  e.  _V )
127117fvmpts 5537 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  ( X [,] Y )  /\  [_ X  /  x ]_ ( A  x.  C
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) `  X )  =  [_ X  /  x ]_ ( A  x.  C )
)
128124, 126, 127syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) `  X )  =  [_ X  /  x ]_ ( A  x.  C )
)
129 itgparts.e . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  =  X )  ->  ( A  x.  C )  =  E )
13050, 129csbied 3098 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ X  /  x ]_ ( A  x.  C
)  =  E )
131128, 130eqtrd 2290 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) `  X )  =  E )
132122, 131oveq12d 5810 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  ( A  x.  C ) ) `
 Y )  -  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  ( A  x.  C ) ) `  X ) )  =  ( F  -  E
) )
13399, 108, 1323eqtr3d 2298 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( B  x.  C )  +  ( A  x.  D ) )  _d x  =  ( F  -  E ) )
13440, 133eqtr3d 2292 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. ( X (,) Y ) ( B  x.  C )  _d x  +  S. ( X (,) Y ) ( A  x.  D
)  _d x )  =  ( F  -  E ) )
135134oveq1d 5807 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S. ( X (,) Y ) ( B  x.  C
)  _d x  +  S. ( X (,) Y
) ( A  x.  D )  _d x )  -  S. ( X (,) Y ) ( B  x.  C
)  _d x )  =  ( ( F  -  E )  -  S. ( X (,) Y
) ( B  x.  C )  _d x ) )
13639, 135eqtr3d 2292 1  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( A  x.  D )  _d x  =  ( ( F  -  E )  -  S. ( X (,) Y ) ( B  x.  C )  _d x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360   A.wal 1532    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   _Vcvv 2763   [_csb 3056    C_ wss 3127   {cpr 3615   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051   ran crn 4662    |` cres 4663   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   CCcc 8703   RRcr 8704    + caddc 8708    x. cmul 8710   RR*cxr 8834    <_ cle 8836    - cmin 9005   (,)cioo 10622   [,]cicc 10625   TopOpenctopn 13288   topGenctg 13304  ℂfldccnfld 16339   intcnt 16716    Cn ccn 16916    tX ctx 17217   -cn->ccncf 18342   L ^1cibl 18934   S.citg 18935    _D cdv 19175
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cc 8029  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-disj 3968  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-ofr 6013  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-ixp 6786  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-fi 7133  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-acn 7543  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9933  df-z 9992  df-dec 10092  df-uz 10198  df-q 10284  df-rp 10322  df-xneg 10419  df-xadd 10420  df-xmul 10421  df-ioo 10626  df-ioc 10627  df-ico 10628  df-icc 10629  df-fz 10749  df-fzo 10837  df-fl 10891  df-mod 10940  df-seq 11013  df-exp 11071  df-hash 11304  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-clim 11927  df-rlim 11928  df-sum 12124  df-struct 13112  df-ndx 13113  df-slot 13114  df-base 13115  df-sets 13116  df-ress 13117  df-plusg 13183  df-mulr 13184  df-starv 13185  df-sca 13186  df-vsca 13187  df-tset 13189  df-ple 13190  df-ds 13192  df-hom 13194  df-cco 13195  df-rest 13289  df-topn 13290  df-topgen 13306  df-pt 13307  df-prds 13310  df-xrs 13365  df-0g 13366  df-gsum 13367  df-qtop 13372  df-imas 13373  df-xps 13375  df-mre 13450  df-mrc 13451  df-acs 13453  df-mnd 14329  df-submnd 14378  df-mulg 14454  df-cntz 14755  df-cmn 15053  df-xmet 16335  df-met 16336  df-bl 16337  df-mopn 16338  df-cnfld 16340  df-top 16598  df-bases 16600  df-topon 16601  df-topsp 16602  df-cld 16718  df-ntr 16719  df-cls 16720  df-nei 16797  df-lp 16830  df-perf 16831  df-cn 16919  df-cnp 16920  df-haus 17005  df-cmp 17076  df-tx 17219  df-hmeo 17408  df-fbas 17482  df-fg 17483  df-fil 17503  df-fm 17595  df-flim 17596  df-flf 17597  df-xms 17847  df-ms 17848  df-tms 17849  df-cncf 18344  df-ovol 18786  df-vol 18787  df-mbf 18937  df-itg1 18938  df-itg2 18939  df-ibl 18940  df-itg 18941  df-0p 18987  df-limc 19178  df-dv 19179
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