MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgposval Unicode version

Theorem itgposval 19675
Description: The integral of a nonnegative function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblrelem.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
itgreval.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
itgposval.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
Assertion
Ref Expression
itgposval  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgposval
StepHypRef Expression
1 iblrelem.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 itgreval.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
31, 2itgrevallem1 19674 . 2  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B
) ,  -u B ,  0 ) ) ) ) )
4 itgposval.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
54ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  0  <_  B )
)
65pm4.71rd 617 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  <->  ( 0  <_  B  /\  x  e.  A )
) )
7 ancom 438 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  <_  B  /\  x  e.  A )  <->  ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) )
86, 7syl6rbb 254 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B )  <->  x  e.  A ) )
98ifbid 3749 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  B , 
0 ) )
109mpteq2dv 4288 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
1110fveq2d 5723 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
121, 4iblposlem 19671 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) )  =  0 )
1311, 12oveq12d 6090 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  B ) ,  B ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u B ) ,  -u B ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  -  0 ) )
141, 4iblpos 19672 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
152, 14mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
1615simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
1716recnd 9103 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  CC )
1817subid1d 9389 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  -  0 )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
193, 13, 183eqtrd 2471 1  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ifcif 3731   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   RRcr 8978   0cc0 8979    <_ cle 9110    - cmin 9280   -ucneg 9281  MblFncmbf 19494   S.2citg2 19496   L ^1cibl 19497   S.citg 19498
This theorem is referenced by:  itgreval  19676  itgitg2  19686  itgaddlem1  19702  itgmulc2lem1  19711  itggt0  19721  itgcn  19722  itgaddnclem1  26209  itgmulc2nclem1  26217  itggt0cn  26223
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-ofr 6297  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xadd 10700  df-ioo 10909  df-ico 10911  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-fl 11190  df-mod 11239  df-seq 11312  df-exp 11371  df-hash 11607  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-clim 12270  df-sum 12468  df-xmet 16683  df-met 16684  df-ovol 19349  df-vol 19350  df-mbf 19500  df-itg1 19501  df-itg2 19502  df-ibl 19503  df-itg 19504  df-0p 19550
  Copyright terms: Public domain W3C validator