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Theorem itgss3 19169
Description: Expand the set of an integral by a nullset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgss3.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
itgss3.2  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
itgss3.3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( B  \  A ) )  =  0 )
itgss3.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
itgss3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1 )  /\  S. A C  _d x  =  S. B C  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem itgss3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ y if ( x  e.  A ,  C ,  0 )
2 nfv 1605 . . . . . . 7  |-  F/ x  y  e.  A
3 nfcsb1v 3113 . . . . . . 7  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ C
4 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ x
0
52, 3, 4nfif 3589 . . . . . 6  |-  F/_ x if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )
6 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
7 csbeq1a 3089 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  C  =  [_ y  /  x ]_ C )
8 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  0  =  0 )
96, 7, 8ifbieq12d 3587 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
101, 5, 9cbvmpt 4110 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
11 itgss3.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
1211adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  A  C_  B
)
13 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y C
1413, 3, 7cbvmpt 4110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ C )
15 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  =  [_ y  /  x ]_ C )
1615mpteq2ia 4102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ C )
1714, 16eqtr4i 2306 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
18 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
1917, 18syl5eqelr 2368 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L ^1 )
20 iblmbf 19122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L ^1 
->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C , 
0 ) )  e. MblFn
)
2119, 20syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e. MblFn )
2211sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  B )
23 itgss3.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
2422, 23syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
25 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
2624, 25fmptd 5684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
2726adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
2817feq1i 5383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  |->  C ) : A --> CC  <->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : A --> CC )
2927, 28sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : A --> CC )
30 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
3130fmpt 5681 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC  <->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : A --> CC )
3229, 31sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  A. y  e.  A  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC )
3332r19.21bi 2641 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  /\  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC )
3421, 33mbfdm2 18993 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  A  e.  dom  vol )
35 undif 3534 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  u.  ( B  \  A
) )  =  B )
3611, 35sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  B )
3736adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  B )
38 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A  e.  dom  vol )
39 difss 3303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B 
\  A )  C_  B
40 itgss3.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
4139, 40syl5ss 3190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  \  A
)  C_  RR )
42 itgss3.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( B  \  A ) )  =  0 )
43 nulmbl 18893 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  \  A
)  C_  RR  /\  ( vol * `  ( B 
\  A ) )  =  0 )  -> 
( B  \  A
)  e.  dom  vol )
4441, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  \  A
)  e.  dom  vol )
45 unmbl 18895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( B  \  A
)  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  e.  dom  vol )
4638, 44, 45syl2anr 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  e. 
dom  vol )
4737, 46eqeltrrd 2358 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  vol )  ->  B  e.  dom  vol )
4834, 47syldan 456 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  B  e.  dom  vol )
49 eldifn 3299 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( B  \  A )  ->  -.  y  e.  A )
5049adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  /\  y  e.  ( B  \  A
) )  ->  -.  y  e.  A )
51 iffalse 3572 . . . . . . 7  |-  ( -.  y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  =  0 )
5250, 51syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  /\  y  e.  ( B  \  A
) )  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  =  0 )
5312, 48, 33, 52, 19iblss2 19160 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L ^1 )
5410, 53syl5eqel 2367 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )
55 iftrue 3571 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
5655mpteq2ia 4102 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  C )
571, 5, 9cbvmpt 4110 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
5856, 57eqtr3i 2305 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
5911adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  A  C_  B
)
60 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )
6110, 60syl5eqelr 2368 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L ^1 )
62 iblmbf 19122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L ^1 
->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C , 
0 ) )  e. MblFn
)
6361, 62syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e. MblFn )
64 0cn 8831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  CC
65 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 )  e.  CC )
6623, 64, 65sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  CC )
67 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
6866, 67fmptd 5684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) ) : B --> CC )
6910feq1i 5383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) : B --> CC  <->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : B --> CC )
7068, 69sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C , 
0 ) ) : B --> CC )
7170adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : B --> CC )
72 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  =  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
7372fmpt 5681 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  B  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC  <->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : B --> CC )
7471, 73sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  A. y  e.  B  if (
y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC )
7574r19.21bi 2641 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  /\  y  e.  B )  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC )
7663, 75mbfdm2 18993 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  B  e.  dom  vol )
77 dfss4 3403 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  B  <->  ( B  \  ( B  \  A
) )  =  A )
7811, 77sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  \  ( B  \  A ) )  =  A )
7978adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( B  \  ( B  \  A ) )  =  A )
80 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  B  e.  dom  vol )
81 difmbl 18900 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  dom  vol  /\  ( B  \  A
)  e.  dom  vol )  ->  ( B  \ 
( B  \  A
) )  e.  dom  vol )
8280, 44, 81syl2anr 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( B  \  ( B  \  A ) )  e. 
dom  vol )
8379, 82eqeltrrd 2358 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  dom  vol )  ->  A  e.  dom  vol )
8476, 83syldan 456 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  A  e.  dom  vol )
8559, 84, 75, 61iblss 19159 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L ^1 )
8658, 85syl5eqel 2367 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
8754, 86impbida 805 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 ) )
8878eleq2d 2350 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B  \  ( B 
\  A ) )  <-> 
x  e.  A ) )
8988biimpa 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ( B  \  A ) ) )  ->  x  e.  A )
9089, 55syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ( B  \  A ) ) )  ->  if (
x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
9166, 23, 41, 42, 90itgeqa 19168 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1 )  /\  S. B if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  _d x  =  S. B C  _d x ) )
9291simpld 445 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1 ) )
9387, 92bitrd 244 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1 ) )
94 itgss2 19167 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  S. A C  _d x  =  S. B if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  _d x )
9511, 94syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  S. B if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  _d x )
9691simprd 449 . . 3  |-  ( ph  ->  S. B if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  _d x  =  S. B C  _d x )
9795, 96eqtrd 2315 . 2  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  S. B C  _d x )
9893, 97jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1 )  /\  S. A C  _d x  =  S. B C  _d x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   [_csb 3081    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152   ifcif 3565    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   vol *covol 18822   volcvol 18823  MblFncmbf 18969   L ^1cibl 18972   S.citg 18973
This theorem is referenced by:  itgioo  19170  itgsplitioo  19192
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975  df-itg1 18976  df-itg2 18977  df-ibl 18978  df-itg 18979
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