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Theorem itgss3 19163
Description: Expand the set of an integral by a nullset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgss3.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
itgss3.2  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
itgss3.3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( B  \  A ) )  =  0 )
itgss3.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
itgss3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1 )  /\  S. A C  _d x  =  S. B C  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem itgss3
StepHypRef Expression
1 nfcv 2420 . . . . . 6  |-  F/_ y if ( x  e.  A ,  C ,  0 )
2 nfv 1606 . . . . . . 7  |-  F/ x  y  e.  A
3 nfcsb1v 3114 . . . . . . 7  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ C
4 nfcv 2420 . . . . . . 7  |-  F/_ x
0
52, 3, 4nfif 3590 . . . . . 6  |-  F/_ x if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )
6 eleq1 2344 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
7 csbeq1a 3090 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  C  =  [_ y  /  x ]_ C )
8 eqidd 2285 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  0  =  0 )
96, 7, 8ifbieq12d 3588 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
101, 5, 9cbvmpt 4111 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
11 itgss3.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
1211adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  A  C_  B
)
13 nfcv 2420 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y C
1413, 3, 7cbvmpt 4111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ C )
15 iftrue 3572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  =  [_ y  /  x ]_ C )
1615mpteq2ia 4103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ C )
1714, 16eqtr4i 2307 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
18 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
1917, 18syl5eqelr 2369 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L ^1 )
20 iblmbf 19116 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L ^1 
->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C , 
0 ) )  e. MblFn
)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e. MblFn )
2211sselda 3181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  B )
23 itgss3.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
2422, 23syldan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
25 eqid 2284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
2624, 25fmptd 5645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
2726adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
2817feq1i 5348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  |->  C ) : A --> CC  <->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : A --> CC )
2927, 28sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : A --> CC )
30 eqid 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
3130fmpt 5642 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC  <->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : A --> CC )
3229, 31sylibr 205 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  A. y  e.  A  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC )
3332r19.21bi 2642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  /\  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC )
3421, 33mbfdm2 18987 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  A  e.  dom  vol )
35 undif 3535 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  u.  ( B  \  A
) )  =  B )
3611, 35sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  B )
3736adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  B )
38 id 21 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A  e.  dom  vol )
39 difss 3304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B 
\  A )  C_  B
40 itgss3.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
4139, 40syl5ss 3191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  \  A
)  C_  RR )
42 itgss3.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( B  \  A ) )  =  0 )
43 nulmbl 18887 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  \  A
)  C_  RR  /\  ( vol * `  ( B 
\  A ) )  =  0 )  -> 
( B  \  A
)  e.  dom  vol )
4441, 42, 43syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  \  A
)  e.  dom  vol )
45 unmbl 18889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( B  \  A
)  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  e.  dom  vol )
4638, 44, 45syl2anr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  e. 
dom  vol )
4737, 46eqeltrrd 2359 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  vol )  ->  B  e.  dom  vol )
4834, 47syldan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  B  e.  dom  vol )
49 eldifn 3300 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( B  \  A )  ->  -.  y  e.  A )
5049adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  /\  y  e.  ( B  \  A
) )  ->  -.  y  e.  A )
51 iffalse 3573 . . . . . . 7  |-  ( -.  y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  =  0 )
5250, 51syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  /\  y  e.  ( B  \  A
) )  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  =  0 )
5312, 48, 33, 52, 19iblss2 19154 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L ^1 )
5410, 53syl5eqel 2368 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )
55 iftrue 3572 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
5655mpteq2ia 4103 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  C )
571, 5, 9cbvmpt 4111 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
5856, 57eqtr3i 2306 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
5911adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  A  C_  B
)
60 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )
6110, 60syl5eqelr 2369 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L ^1 )
62 iblmbf 19116 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L ^1 
->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C , 
0 ) )  e. MblFn
)
6361, 62syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e. MblFn )
64 0cn 8826 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  CC
65 ifcl 3602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 )  e.  CC )
6623, 64, 65sylancl 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  CC )
67 eqid 2284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
6866, 67fmptd 5645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) ) : B --> CC )
6910feq1i 5348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) : B --> CC  <->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : B --> CC )
7068, 69sylib 190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C , 
0 ) ) : B --> CC )
7170adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : B --> CC )
72 eqid 2284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  =  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
7372fmpt 5642 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  B  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC  <->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : B --> CC )
7471, 73sylibr 205 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  A. y  e.  B  if (
y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC )
7574r19.21bi 2642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  /\  y  e.  B )  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC )
7663, 75mbfdm2 18987 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  B  e.  dom  vol )
77 dfss4 3404 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  B  <->  ( B  \  ( B  \  A
) )  =  A )
7811, 77sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  \  ( B  \  A ) )  =  A )
7978adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( B  \  ( B  \  A ) )  =  A )
80 id 21 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  B  e.  dom  vol )
81 difmbl 18894 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  dom  vol  /\  ( B  \  A
)  e.  dom  vol )  ->  ( B  \ 
( B  \  A
) )  e.  dom  vol )
8280, 44, 81syl2anr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( B  \  ( B  \  A ) )  e. 
dom  vol )
8379, 82eqeltrrd 2359 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  dom  vol )  ->  A  e.  dom  vol )
8476, 83syldan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  A  e.  dom  vol )
8559, 84, 75, 61iblss 19153 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L ^1 )
8658, 85syl5eqel 2368 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
8754, 86impbida 807 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 ) )
8878eleq2d 2351 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B  \  ( B 
\  A ) )  <-> 
x  e.  A ) )
8988biimpa 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ( B  \  A ) ) )  ->  x  e.  A )
9089, 55syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ( B  \  A ) ) )  ->  if (
x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
9166, 23, 41, 42, 90itgeqa 19162 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1 )  /\  S. B if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  _d x  =  S. B C  _d x ) )
9291simpld 447 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1 ) )
9387, 92bitrd 246 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1 ) )
94 itgss2 19161 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  S. A C  _d x  =  S. B if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  _d x )
9511, 94syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  S. B if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  _d x )
9691simprd 451 . . 3  |-  ( ph  ->  S. B if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  _d x  =  S. B C  _d x )
9795, 96eqtrd 2316 . 2  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  S. B C  _d x )
9893, 97jca 520 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1 )  /\  S. A C  _d x  =  S. B C  _d x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2544   [_csb 3082    \ cdif 3150    u. cun 3151    C_ wss 3153   ifcif 3566    e. cmpt 4078   dom cdm 4688   -->wf 5217   ` cfv 5221   CCcc 8730   RRcr 8731   0cc0 8732   vol *covol 18816   volcvol 18817  MblFncmbf 18963   L ^1cibl 18966   S.citg 18967
This theorem is referenced by:  itgioo  19164  itgsplitioo  19186
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-disj 3995  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-ofr 6040  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-mod 10968  df-seq 11041  df-exp 11099  df-hash 11332  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-clim 11956  df-sum 12153  df-rest 13321  df-topgen 13338  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-cmp 17108  df-ovol 18818  df-vol 18819  df-mbf 18969  df-itg1 18970  df-itg2 18971  df-ibl 18972  df-itg 18973
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