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Theorem itgss3 19574
Description: Expand the set of an integral by a nullset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgss3.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
itgss3.2  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
itgss3.3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( B  \  A ) )  =  0 )
itgss3.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
itgss3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1 )  /\  S. A C  _d x  =  S. B C  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem itgss3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2524 . . . . . 6  |-  F/_ y if ( x  e.  A ,  C ,  0 )
2 nfv 1626 . . . . . . 7  |-  F/ x  y  e.  A
3 nfcsb1v 3227 . . . . . . 7  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ C
4 nfcv 2524 . . . . . . 7  |-  F/_ x
0
52, 3, 4nfif 3707 . . . . . 6  |-  F/_ x if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )
6 eleq1 2448 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
7 csbeq1a 3203 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  C  =  [_ y  /  x ]_ C )
8 eqidd 2389 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  0  =  0 )
96, 7, 8ifbieq12d 3705 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
101, 5, 9cbvmpt 4241 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
11 itgss3.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
1211adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  A  C_  B
)
13 nfcv 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y C
1413, 3, 7cbvmpt 4241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ C )
15 iftrue 3689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  =  [_ y  /  x ]_ C )
1615mpteq2ia 4233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ C )
1714, 16eqtr4i 2411 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
18 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
1917, 18syl5eqelr 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L ^1 )
20 iblmbf 19527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L ^1 
->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C , 
0 ) )  e. MblFn
)
2119, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e. MblFn )
2211sselda 3292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  B )
23 itgss3.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
2422, 23syldan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
25 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
2624, 25fmptd 5833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
2726adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
2817feq1i 5526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  |->  C ) : A --> CC  <->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : A --> CC )
2927, 28sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : A --> CC )
30 eqid 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
3130fmpt 5830 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC  <->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : A --> CC )
3229, 31sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  A. y  e.  A  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC )
3332r19.21bi 2748 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  /\  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC )
3421, 33mbfdm2 19398 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  A  e.  dom  vol )
35 undif 3652 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  u.  ( B  \  A
) )  =  B )
3611, 35sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  B )
3736adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  B )
38 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A  e.  dom  vol )
39 itgss3.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
4039ssdifssd 3429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  \  A
)  C_  RR )
41 itgss3.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( B  \  A ) )  =  0 )
42 nulmbl 19298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  \  A
)  C_  RR  /\  ( vol * `  ( B 
\  A ) )  =  0 )  -> 
( B  \  A
)  e.  dom  vol )
4340, 41, 42syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  \  A
)  e.  dom  vol )
44 unmbl 19300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( B  \  A
)  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  e.  dom  vol )
4538, 43, 44syl2anr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  e. 
dom  vol )
4637, 45eqeltrrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A  e.  dom  vol )  ->  B  e.  dom  vol )
4734, 46syldan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  B  e.  dom  vol )
48 eldifn 3414 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( B  \  A )  ->  -.  y  e.  A )
4948adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  /\  y  e.  ( B  \  A
) )  ->  -.  y  e.  A )
50 iffalse 3690 . . . . . . 7  |-  ( -.  y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  =  0 )
5149, 50syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  /\  y  e.  ( B  \  A
) )  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  =  0 )
5212, 47, 33, 51, 19iblss2 19565 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L ^1 )
5310, 52syl5eqel 2472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )  ->  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )
54 iftrue 3689 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
5554mpteq2ia 4233 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  C )
561, 5, 9cbvmpt 4241 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
5755, 56eqtr3i 2410 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
5811adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  A  C_  B
)
59 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )
6010, 59syl5eqelr 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L ^1 )
61 iblmbf 19527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L ^1 
->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C , 
0 ) )  e. MblFn
)
6260, 61syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e. MblFn )
63 0cn 9018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  CC
64 ifcl 3719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 )  e.  CC )
6523, 63, 64sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  CC )
66 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
6765, 66fmptd 5833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) ) : B --> CC )
6810feq1i 5526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) : B --> CC  <->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : B --> CC )
6967, 68sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C , 
0 ) ) : B --> CC )
7069adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : B --> CC )
71 eqid 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  =  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )
7271fmpt 5830 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  B  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC  <->  ( y  e.  B  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) ) : B --> CC )
7370, 72sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  A. y  e.  B  if (
y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC )
7473r19.21bi 2748 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  /\  y  e.  B )  ->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 )  e.  CC )
7562, 74mbfdm2 19398 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  B  e.  dom  vol )
76 dfss4 3519 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  B  <->  ( B  \  ( B  \  A
) )  =  A )
7711, 76sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  \  ( B  \  A ) )  =  A )
7877adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( B  \  ( B  \  A ) )  =  A )
79 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  B  e.  dom  vol )
80 difmbl 19305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  dom  vol  /\  ( B  \  A
)  e.  dom  vol )  ->  ( B  \ 
( B  \  A
) )  e.  dom  vol )
8179, 43, 80syl2anr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( B  \  ( B  \  A ) )  e. 
dom  vol )
8278, 81eqeltrrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  dom  vol )  ->  A  e.  dom  vol )
8375, 82syldan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  A  e.  dom  vol )
8458, 83, 74, 60iblss 19564 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  [_ y  /  x ]_ C ,  0 ) )  e.  L ^1 )
8557, 84syl5eqel 2472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 )  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
8653, 85impbida 806 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1 ) )
8777eleq2d 2455 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B  \  ( B 
\  A ) )  <-> 
x  e.  A ) )
8887biimpa 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ( B  \  A ) ) )  ->  x  e.  A )
8988, 54syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ( B  \  A ) ) )  ->  if (
x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
9065, 23, 40, 41, 89itgeqa 19573 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1 )  /\  S. B if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  _d x  =  S. B C  _d x ) )
9190simpld 446 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1 ) )
9286, 91bitrd 245 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1 ) )
93 itgss2 19572 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  S. A C  _d x  =  S. B if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  _d x )
9411, 93syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  S. B if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  _d x )
9590simprd 450 . . 3  |-  ( ph  ->  S. B if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  _d x  =  S. B C  _d x )
9694, 95eqtrd 2420 . 2  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  S. B C  _d x )
9792, 96jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( x  e.  B  |->  C )  e.  L ^1 )  /\  S. A C  _d x  =  S. B C  _d x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   [_csb 3195    \ cdif 3261    u. cun 3262    C_ wss 3264   ifcif 3683    e. cmpt 4208   dom cdm 4819   -->wf 5391   ` cfv 5395   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924   vol *covol 19227   volcvol 19228  MblFncmbf 19374   L ^1cibl 19377   S.citg 19378
This theorem is referenced by:  itgioo  19575  itgsplitioo  19597
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-disj 4125  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-ofr 6246  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-mod 11179  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-sum 12408  df-rest 13578  df-topgen 13595  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-cmp 17373  df-ovol 19229  df-vol 19230  df-mbf 19380  df-itg1 19381  df-itg2 19382  df-ibl 19383  df-itg 19384
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