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Theorem itgsubst 19801
Description: Integration by  u-substitution. If  A ( x ) is a continuous, differentiable function from  [ X ,  Y ] to  ( Z ,  W ), whose derivative is continuous and integrable, and  C ( u ) is a continuous function on  ( Z ,  W ), then the integral of  C ( u ) from  K  =  A ( X ) to  L  =  A ( Y ) is equal to the integral of  C ( A ( x ) )  _D  A ( x ) from  X to  Y. In this part of the proof we discharge the assumptions in itgsubstlem 19800, which use the fact that  ( Z ,  W ) is open to shrink the interval a little to  ( M ,  N ) where  Z  <  M  <  N  <  W- this is possible because  A ( x ) is a continuous function on a closed interval, so its range is in fact a closed interval, and we have some wiggle room on the edges. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsubst.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
itgsubst.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
itgsubst.le  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
itgsubst.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR* )
itgsubst.w  |-  ( ph  ->  W  e.  RR* )
itgsubst.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
itgsubst.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  i^i  L ^1 ) )
itgsubst.c  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC ) )
itgsubst.da  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
itgsubst.e  |-  ( u  =  A  ->  C  =  E )
itgsubst.k  |-  ( x  =  X  ->  A  =  K )
itgsubst.l  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  L )
Assertion
Ref Expression
itgsubst  |-  ( ph  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
Distinct variable groups:    u, E    x, u, K    ph, u, x   
u, X, x    u, Y, x    u, A    x, C    u, W, x    u, L, x    u, Z, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, u)    C( u)    E( x)

Proof of Theorem itgsubst
Dummy variables  m  n  y  z  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgsubst.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
2 itgsubst.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
3 itgsubst.le . . 3  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
4 ioossre 10905 . . . . 5  |-  ( Z (,) W )  C_  RR
5 ax-resscn 8981 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
6 cncfss 18801 . . . . 5  |-  ( ( ( Z (,) W
)  C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  (
( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) )  C_  ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
74, 5, 6mp2an 654 . . . 4  |-  ( ( X [,] Y )
-cn-> ( Z (,) W
) )  C_  (
( X [,] Y
) -cn-> RR )
8 itgsubst.a . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
97, 8sseldi 3290 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
101, 2, 3, 9evthicc 19224 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( X [,] Y
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  /\  E. y  e.  ( X [,] Y ) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )
11 ressxr 9063 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  RR*
124, 11sstri 3301 . . . . . . 7  |-  ( Z (,) W )  C_  RR*
13 cncff 18795 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> ( Z (,) W
) )  ->  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
148, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W
) )
1514adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) : ( X [,] Y
) --> ( Z (,) W ) )
16 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  y  e.  ( X [,] Y ) )
1715, 16ffvelrnd 5811 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  e.  ( Z (,) W
) )
1812, 17sseldi 3290 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  e. 
RR* )
19 itgsubst.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  RR* )
2019adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  W  e.  RR* )
21 eliooord 10903 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  e.  ( Z (,) W )  -> 
( Z  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  /\  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y )  <  W ) )
2217, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( Z  < 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <  W )
)
2322simprd 450 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
W )
24 qbtwnxr 10719 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  RR*  /\  W  e.  RR*  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <  W )  ->  E. n  e.  QQ  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) )
2518, 20, 23, 24syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  E. n  e.  QQ  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) )
26 qre 10512 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  QQ  ->  n  e.  RR )
2726ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  n  e.  RR )
28 itgsubst.z . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR* )
2928ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  Z  e.  RR* )
3018adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  RR* )
3127rexrd 9068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  n  e.  RR* )
3222simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  Z  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
) )
3332adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  Z  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) )
34 simprrl 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n
)
3529, 30, 31, 33, 34xrlttrd 10682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  Z  <  n )
36 simprrr 742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  n  <  W )
3719ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  W  e.  RR* )
38 elioo2 10890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  RR*  /\  W  e.  RR* )  ->  (
n  e.  ( Z (,) W )  <->  ( n  e.  RR  /\  Z  < 
n  /\  n  <  W ) ) )
3929, 37, 38syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( n  e.  ( Z (,) W )  <-> 
( n  e.  RR  /\  Z  <  n  /\  n  <  W ) ) )
4027, 35, 36, 39mpbir3and 1137 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  n  e.  ( Z (,) W ) )
41 anass 631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  <_  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) )  <-> 
( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )
42 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n
)
4342adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n
)
4414ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W
) )
4544ffvelrnda 5810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  ( Z (,) W ) )
4612, 45sseldi 3290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  RR* )
47 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
y  e.  ( X [,] Y ) )
4844, 47ffvelrnd 5811 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  ( Z (,) W ) )
4912, 48sseldi 3290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  RR* )
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  RR* )
5126ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  n  e.  RR )
5251adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  n  e.  RR )
5352rexrd 9068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  n  e.  RR* )
54 xrlelttr 10679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  RR*  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  RR*  /\  n  e.  RR* )  ->  ( ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  <_  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n
)  ->  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  <  n ) )
5546, 50, 53, 54syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  <_  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n
)  ->  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  <  n ) )
5643, 55mpan2d 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <  n )
)
5756ralimdva 2728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
5857imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )
5958an32s 780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  (
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n  /\  n  <  W ) ) )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )
6041, 59sylanbr 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <  n )
6140, 60jca 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( n  e.  ( Z (,) W )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
6261ex 424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( ( n  e.  QQ  /\  (
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n  /\  n  <  W ) )  ->  ( n  e.  ( Z (,) W
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) ) )
6362reximdv2 2759 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( E. n  e.  QQ  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y )  <  n  /\  n  <  W )  ->  E. n  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
6425, 63mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  E. n  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  <  n
)
6564rexlimdvaa 2775 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( X [,] Y
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  ->  E. n  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
6628adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  Z  e.  RR* )
6714adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) : ( X [,] Y
) --> ( Z (,) W ) )
68 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  y  e.  ( X [,] Y ) )
6967, 68ffvelrnd 5811 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  e.  ( Z (,) W
) )
7012, 69sseldi 3290 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  e. 
RR* )
7169, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( Z  < 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <  W )
)
7271simpld 446 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  Z  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
) )
73 qbtwnxr 10719 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  RR*  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  e.  RR*  /\  Z  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) )  ->  E. m  e.  QQ  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) )
7466, 70, 72, 73syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  E. m  e.  QQ  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) )
75 qre 10512 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  QQ  ->  m  e.  RR )
7675ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  e.  RR )
77 simprrl 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  Z  <  m )
7876rexrd 9068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  e.  RR* )
7970adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  e.  RR* )
8019ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  W  e.  RR* )
81 simprrr 742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) )
8271simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
W )
8382adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <  W )
8478, 79, 80, 81, 83xrlttrd 10682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  <  W )
8528ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  Z  e.  RR* )
86 elioo2 10890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  RR*  /\  W  e.  RR* )  ->  (
m  e.  ( Z (,) W )  <->  ( m  e.  RR  /\  Z  < 
m  /\  m  <  W ) ) )
8785, 80, 86syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
m  e.  ( Z (,) W )  <->  ( m  e.  RR  /\  Z  < 
m  /\  m  <  W ) ) )
8876, 77, 84, 87mpbir3and 1137 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  e.  ( Z (,) W
) )
89 anass 631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y )  <_  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z ) )  <-> 
( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) ) )
90 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) )
9190adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) )
9275ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  e.  RR )
9392adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  m  e.  RR )
9493rexrd 9068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  m  e.  RR* )
9514ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
96 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  y  e.  ( X [,] Y
) )
9795, 96ffvelrnd 5811 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  e.  ( Z (,) W ) )
9812, 97sseldi 3290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  e.  RR* )
9998adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  RR* )
10095ffvelrnda 5810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  ( Z (,) W ) )
10112, 100sseldi 3290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  RR* )
102 xrltletr 10680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  RR*  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  e.  RR*  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  e.  RR* )  ->  ( ( m  < 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )  ->  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) ) )
10394, 99, 101, 102syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( m  < 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )  ->  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) ) )
10491, 103mpand 657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  ->  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )
105104ralimdva 2728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y ) m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )
106105imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) )
107106an32s 780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) ) )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) )
10889, 107sylanbr 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) )
10988, 108jca 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z ) ) )
110109ex 424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) ) ) )
111110reximdv2 2759 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( E. m  e.  QQ  ( Z  < 
m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
) )  ->  E. m  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) ) )
11274, 111mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  E. m  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y ) m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )
113112rexlimdvaa 2775 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( X [,] Y
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  ->  E. m  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) ) )
114 ancom 438 . . . . 5  |-  ( ( E. n  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  <  n  /\  E. m  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y ) m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )  <->  ( E. m  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  /\  E. n  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
115 reeanv 2819 . . . . 5  |-  ( E. m  e.  ( Z (,) W ) E. n  e.  ( Z (,) W ) ( A. z  e.  ( X [,] Y ) m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  <->  ( E. m  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  /\  E. n  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
116114, 115bitr4i 244 . . . 4  |-  ( ( E. n  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  <  n  /\  E. m  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y ) m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )  <->  E. m  e.  ( Z (,) W ) E. n  e.  ( Z (,) W ) ( A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
117 r19.26 2782 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  <  n
)  <->  ( A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
11814adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
119118ffvelrnda 5810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  e.  ( Z (,) W ) )
1204, 119sseldi 3290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  e.  RR )
1211203biant1d 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
m  <  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  <->  ( (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  e.  RR  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  <  n
) ) )
122 simplrl 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  m  e.  ( Z (,) W ) )
12312, 122sseldi 3290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  m  e.  RR* )
124 simplrr 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  n  e.  ( Z (,) W ) )
12512, 124sseldi 3290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  n  e.  RR* )
126 elioo2 10890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  RR*  /\  n  e.  RR* )  ->  (
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  ( m (,) n )  <-> 
( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  e.  RR  /\  m  < 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <  n )
) )
127123, 125, 126syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  e.  ( m (,) n )  <->  ( (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  e.  RR  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  <  n
) ) )
128121, 127bitr4d 248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
m  <  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  <->  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  e.  ( m (,) n ) ) )
129128ralbidva 2666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  <->  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  e.  ( m (,) n
) ) )
130 nffvmpt1 5677 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )
131130nfel1 2534 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  ( m (,) n )
132 nfv 1626 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  x )  e.  ( m (,) n )
133 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  =  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  x ) )
134133eleq1d 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  ( m (,) n )  <-> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  x )  e.  ( m (,) n ) ) )
135131, 132, 134cbvral 2872 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  e.  ( m (,) n )  <->  A. x  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 x )  e.  ( m (,) n
) )
136 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  x  e.  ( X [,] Y ) )
137 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  =  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A )
138137fmpt 5830 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( Z (,) W
)  <->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) : ( X [,] Y
) --> ( Z (,) W ) )
13914, 138sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( Z (,) W ) )
140139r19.21bi 2748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  A  e.  ( Z (,) W ) )
141137fvmpt2 5752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  /\  A  e.  ( Z (,) W ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  x )  =  A )
142136, 140, 141syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  x )  =  A )
143142eleq1d 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  x
)  e.  ( m (,) n )  <->  A  e.  ( m (,) n
) ) )
144143ralbidva 2666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 x )  e.  ( m (,) n
)  <->  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )
145135, 144syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  e.  ( m (,) n
)  <->  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )
146145adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  e.  ( m (,) n )  <->  A. x  e.  ( X [,] Y
) A  e.  ( m (,) n ) ) )
1471adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  X  e.  RR )
1482adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  Y  e.  RR )
1493adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  X  <_  Y
)
15028adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  Z  e.  RR* )
15119adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  W  e.  RR* )
152 nfcv 2524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y A
153 nfcsb1v 3227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ A
154 csbeq1a 3203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  A  =  [_ y  /  x ]_ A )
155152, 153, 154cbvmpt 4241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  =  ( y  e.  ( X [,] Y
)  |->  [_ y  /  x ]_ A )
156155, 8syl5eqelr 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
157156adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  ( y  e.  ( X [,] Y
)  |->  [_ y  /  x ]_ A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
158 nfcv 2524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y B
159 nfcsb1v 3227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
160 csbeq1a 3203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
161158, 159, 160cbvmpt 4241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  =  ( y  e.  ( X (,) Y
)  |->  [_ y  /  x ]_ B )
162 itgsubst.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  i^i  L ^1 ) )
163161, 162syl5eqelr 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  [_ y  /  x ]_ B )  e.  ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  i^i  L ^1 ) )
164163adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  ( y  e.  ( X (,) Y
)  |->  [_ y  /  x ]_ B )  e.  ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  i^i  L ^1 ) )
165 nfcv 2524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ v C
166 nfcsb1v 3227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ u [_ v  /  u ]_ C
167 csbeq1a 3203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  v  ->  C  =  [_ v  /  u ]_ C )
168165, 166, 167cbvmpt 4241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( Z (,) W )  |->  C )  =  ( v  e.  ( Z (,) W
)  |->  [_ v  /  u ]_ C )
169 itgsubst.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC ) )
170168, 169syl5eqelr 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( Z (,) W ) 
|->  [_ v  /  u ]_ C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC ) )
171170adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  ( v  e.  ( Z (,) W
)  |->  [_ v  /  u ]_ C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC ) )
172 itgsubst.da . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
173155oveq2i 6032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) )  =  ( RR  _D  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A ) )
174172, 173, 1613eqtr3g 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X [,] Y )  |->  [_ y  /  x ]_ A
) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y )  |->  [_ y  /  x ]_ B
) )
175174adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  [_ y  /  x ]_ B ) )
176 csbeq1 3198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  [_ y  /  x ]_ A  ->  [_ v  /  u ]_ C  = 
[_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C )
177 csbeq1 3198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  X  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ X  /  x ]_ A )
178 csbeq1 3198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Y  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ Y  /  x ]_ A )
179 simprll 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  m  e.  ( Z (,) W ) )
180 simprlr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  n  e.  ( Z (,) W ) )
181 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) )
182153nfel1 2534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ A  e.  (
m (,) n )
183154eleq1d 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  ( m (,) n )  <->  [_ y  /  x ]_ A  e.  ( m (,) n ) ) )
184182, 183rspc 2990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  ( m (,) n
) ) )
185181, 184mpan9 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y
) A  e.  ( m (,) n ) ) )  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  ( m (,) n
) )
186147, 148, 149, 150, 151, 157, 164, 171, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 185itgsubstlem 19800 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] [_ v  /  u ]_ C  _d v  =  S__ [ X  ->  Y ] (
[_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C  x.  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )
187167, 165, 166cbvditg 19609 . . . . . . . . . . . 12  |-  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u  =  S__
[ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] [_ v  /  u ]_ C  _d v
188 nfcvd 2525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  RR  ->  F/_ x K )
189 itgsubst.k . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  A  =  K )
190188, 189csbiegf 3235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ A  =  K )
191 ditgeq1 19603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [_ X  /  x ]_ A  =  K  ->  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u  =  S__
[ K  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u )
1921, 190, 1913syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u  =  S__ [ K  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u )
193 nfcvd 2525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Y  e.  RR  ->  F/_ x L )
194 itgsubst.l . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  L )
195193, 194csbiegf 3235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y  e.  RR  ->  [_ Y  /  x ]_ A  =  L )
196 ditgeq2 19604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [_ Y  /  x ]_ A  =  L  ->  S__ [ K  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
1972, 195, 1963syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S__ [ K  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
198192, 197eqtrd 2420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
199187, 198syl5eqr 2434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] [_ v  /  u ]_ C  _d v  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
200199adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] [_ v  /  u ]_ C  _d v  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
201154csbeq1d 3201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  [_ A  /  u ]_ C  = 
[_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C )
202201, 160oveq12d 6039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B
)  =  ( [_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )
203 nfcv 2524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y
( [_ A  /  u ]_ C  x.  B
)
204 nfcv 2524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x C
205153, 204nfcsb 3229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C
206 nfcv 2524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x  x.
207205, 206, 159nfov 6044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( [_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C  x.  [_ y  /  x ]_ B )
208202, 203, 207cbvditg 19609 . . . . . . . . . . . 12  |-  S__ [ X  ->  Y ] (
[_ A  /  u ]_ C  x.  B
)  _d x  =  S__ [ X  ->  Y ] ( [_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C  x.  [_ y  /  x ]_ B
)  _d y
209 ioossicc 10929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X (,) Y )  C_  ( X [,] Y )
210209sseli 3288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  ->  x  e.  ( X [,] Y
) )
211210, 140sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  A  e.  ( Z (,) W ) )
212 nfcvd 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ( Z (,) W )  ->  F/_ u E )
213 itgsubst.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  A  ->  C  =  E )
214212, 213csbiegf 3235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( Z (,) W )  ->  [_ A  /  u ]_ C  =  E )
215211, 214syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  [_ A  /  u ]_ C  =  E )
216215oveq1d 6036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B )  =  ( E  x.  B ) )
217216itgeq2dv 19541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B )  _d x  =  S. ( X (,) Y ) ( E  x.  B )  _d x )
2183ditgpos 19611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S__ [ X  ->  Y ] ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B )  _d x  =  S. ( X (,) Y ) (
[_ A  /  u ]_ C  x.  B
)  _d x )
2193ditgpos 19611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x  =  S. ( X (,) Y ) ( E  x.  B )  _d x )
220217, 218, 2193eqtr4d 2430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S__ [ X  ->  Y ] ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B )  _d x  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
221208, 220syl5eqr 2434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S__ [ X  ->  Y ] ( [_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C  x.  [_ y  /  x ]_ B
)  _d y  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
222221adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  S__ [ X  ->  Y ] ( [_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C  x.  [_ y  /  x ]_ B )  _d y  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
223186, 200, 2223eqtr3d 2428 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
224223expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__
[ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
225146, 224sylbid 207 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  e.  ( m (,) n )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
226129, 225sylbid 207 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__
[ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
227117, 226syl5bir 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  (
( A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__
[ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
228227rexlimdvva 2781 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ( Z (,) W
) E. n  e.  ( Z (,) W
) ( A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__
[ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
229116, 228syl5bi 209 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. n  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n  /\  E. m  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__
[ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
23065, 113, 229syl2and 470 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. y  e.  ( X [,] Y
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  /\  E. y  e.  ( X [,] Y ) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
23110, 230mpd 15 1  |-  ( ph  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   E.wrex 2651   [_csb 3195    i^i cin 3263    C_ wss 3264   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923    x. cmul 8929   RR*cxr 9053    < clt 9054    <_ cle 9055   QQcq 10507   (,)cioo 10849   [,]cicc 10852   -cn->ccncf 18778   L ^1cibl 19377   S.citg 19378   S__cdit 19379    _D cdv 19618
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cc 8249  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-disj 4125  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-ofr 6246  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-omul 6666  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-acn 7763  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ioc 10854  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-mod 11179  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-limsup 12193  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-lp 17124  df-perf 17125  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-haus 17302  df-cmp 17373  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cncf 18780  df-ovol 19229  df-vol 19230  df-mbf 19380  df-itg1 19381  df-itg2 19382  df-ibl 19383  df-itg 19384  df-ditg 19385  df-0p 19430  df-limc 19621  df-dv 19622
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