Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgsubst Structured version   Unicode version

Theorem itgsubst 19933
 Description: Integration by -substitution. If is a continuous, differentiable function from to , whose derivative is continuous and integrable, and is a continuous function on , then the integral of from to is equal to the integral of from to . In this part of the proof we discharge the assumptions in itgsubstlem 19932, which use the fact that is open to shrink the interval a little to where - this is possible because is a continuous function on a closed interval, so its range is in fact a closed interval, and we have some wiggle room on the edges. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsubst.x
itgsubst.y
itgsubst.le
itgsubst.z
itgsubst.w
itgsubst.a
itgsubst.b
itgsubst.c
itgsubst.da
itgsubst.e
itgsubst.k
itgsubst.l
Assertion
Ref Expression
itgsubst _ _
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()   ()

Proof of Theorem itgsubst
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgsubst.x . . 3
2 itgsubst.y . . 3
3 itgsubst.le . . 3
4 ioossre 10972 . . . . 5
5 ax-resscn 9047 . . . . 5
6 cncfss 18929 . . . . 5
74, 5, 6mp2an 654 . . . 4
8 itgsubst.a . . . 4
97, 8sseldi 3346 . . 3
101, 2, 3, 9evthicc 19356 . 2
11 ressxr 9129 . . . . . . . 8
124, 11sstri 3357 . . . . . . 7
13 cncff 18923 . . . . . . . . . 10
148, 13syl 16 . . . . . . . . 9
1514adantr 452 . . . . . . . 8
16 simprl 733 . . . . . . . 8
1715, 16ffvelrnd 5871 . . . . . . 7
1812, 17sseldi 3346 . . . . . 6
19 itgsubst.w . . . . . . 7
2019adantr 452 . . . . . 6
21 eliooord 10970 . . . . . . . 8
2217, 21syl 16 . . . . . . 7
2322simprd 450 . . . . . 6
24 qbtwnxr 10786 . . . . . 6
2518, 20, 23, 24syl3anc 1184 . . . . 5
26 qre 10579 . . . . . . . . . 10
2726ad2antrl 709 . . . . . . . . 9
28 itgsubst.z . . . . . . . . . . 11
2928ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
3018adantr 452 . . . . . . . . . 10
3127rexrd 9134 . . . . . . . . . 10
3222simpld 446 . . . . . . . . . . 11
3332adantr 452 . . . . . . . . . 10
34 simprrl 741 . . . . . . . . . 10
3529, 30, 31, 33, 34xrlttrd 10749 . . . . . . . . 9
36 simprrr 742 . . . . . . . . 9
3719ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
38 elioo2 10957 . . . . . . . . . 10
3929, 37, 38syl2anc 643 . . . . . . . . 9
4027, 35, 36, 39mpbir3and 1137 . . . . . . . 8
41 anass 631 . . . . . . . . 9
42 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . 14
4342adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
4414ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4544ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . . . 15
4612, 45sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . 14
47 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4844, 47ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4912, 48sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . . 15
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
5126ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5251adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
5352rexrd 9134 . . . . . . . . . . . . . 14
54 xrlelttr 10746 . . . . . . . . . . . . . 14
5546, 50, 53, 54syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13
5643, 55mpan2d 656 . . . . . . . . . . . 12
5756ralimdva 2784 . . . . . . . . . . 11
5857imp 419 . . . . . . . . . 10
5958an32s 780 . . . . . . . . 9
6041, 59sylanbr 460 . . . . . . . 8
6140, 60jca 519 . . . . . . 7
6261ex 424 . . . . . 6
6362reximdv2 2815 . . . . 5
6425, 63mpd 15 . . . 4
6564rexlimdvaa 2831 . . 3
6628adantr 452 . . . . . 6
6714adantr 452 . . . . . . . 8
68 simprl 733 . . . . . . . 8
6967, 68ffvelrnd 5871 . . . . . . 7
7012, 69sseldi 3346 . . . . . 6
7169, 21syl 16 . . . . . . 7
7271simpld 446 . . . . . 6
73 qbtwnxr 10786 . . . . . 6
7466, 70, 72, 73syl3anc 1184 . . . . 5
75 qre 10579 . . . . . . . . . 10
7675ad2antrl 709 . . . . . . . . 9
77 simprrl 741 . . . . . . . . 9
7876rexrd 9134 . . . . . . . . . 10
7970adantr 452 . . . . . . . . . 10
8019ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
81 simprrr 742 . . . . . . . . . 10
8271simprd 450 . . . . . . . . . . 11
8382adantr 452 . . . . . . . . . 10
8478, 79, 80, 81, 83xrlttrd 10749 . . . . . . . . 9
8528ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
86 elioo2 10957 . . . . . . . . . 10
8785, 80, 86syl2anc 643 . . . . . . . . 9
8876, 77, 84, 87mpbir3and 1137 . . . . . . . 8
89 anass 631 . . . . . . . . 9
90 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . 14
9190adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
9275ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9392adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
9493rexrd 9134 . . . . . . . . . . . . . 14
9514ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
96 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9795, 96ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9812, 97sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . . 15
9998adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
10095ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . . . 15
10112, 100sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . 14
102 xrltletr 10747 . . . . . . . . . . . . . 14
10394, 99, 101, 102syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13
10491, 103mpand 657 . . . . . . . . . . . 12
105104ralimdva 2784 . . . . . . . . . . 11
106105imp 419 . . . . . . . . . 10
107106an32s 780 . . . . . . . . 9
10889, 107sylanbr 460 . . . . . . . 8
10988, 108jca 519 . . . . . . 7
110109ex 424 . . . . . 6
111110reximdv2 2815 . . . . 5
11274, 111mpd 15 . . . 4
113112rexlimdvaa 2831 . . 3
114 ancom 438 . . . . 5
115 reeanv 2875 . . . . 5
116114, 115bitr4i 244 . . . 4
117 r19.26 2838 . . . . . 6
11814adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
119118ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . 11
1204, 119sseldi 3346 . . . . . . . . . 10
1211203biant1d 1292 . . . . . . . . 9
122 simplrl 737 . . . . . . . . . . 11
12312, 122sseldi 3346 . . . . . . . . . 10
124 simplrr 738 . . . . . . . . . . 11
12512, 124sseldi 3346 . . . . . . . . . 10
126 elioo2 10957 . . . . . . . . . 10
127123, 125, 126syl2anc 643 . . . . . . . . 9
128121, 127bitr4d 248 . . . . . . . 8
129128ralbidva 2721 . . . . . . 7
130 nffvmpt1 5736 . . . . . . . . . . . 12
131130nfel1 2582 . . . . . . . . . . 11
132 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11
133 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12
134133eleq1d 2502 . . . . . . . . . . 11
135131, 132, 134cbvral 2928 . . . . . . . . . 10
136 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13
137 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16
138137fmpt 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15
13914, 138sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14
140139r19.21bi 2804 . . . . . . . . . . . . 13
141137fvmpt2 5812 . . . . . . . . . . . . 13
142136, 140, 141syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
143142eleq1d 2502 . . . . . . . . . . 11
144143ralbidva 2721 . . . . . . . . . 10
145135, 144syl5bb 249 . . . . . . . . 9
146145adantr 452 . . . . . . . 8
1471adantr 452 . . . . . . . . . . 11
1482adantr 452 . . . . . . . . . . 11
1493adantr 452 . . . . . . . . . . 11
15028adantr 452 . . . . . . . . . . 11
15119adantr 452 . . . . . . . . . . 11
152 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . 14
153 nfcsb1v 3283 . . . . . . . . . . . . . 14
154 csbeq1a 3259 . . . . . . . . . . . . . 14
155152, 153, 154cbvmpt 4299 . . . . . . . . . . . . 13
156155, 8syl5eqelr 2521 . . . . . . . . . . . 12
157156adantr 452 . . . . . . . . . . 11
158 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . 14
159 nfcsb1v 3283 . . . . . . . . . . . . . 14
160 csbeq1a 3259 . . . . . . . . . . . . . 14
161158, 159, 160cbvmpt 4299 . . . . . . . . . . . . 13
162 itgsubst.b . . . . . . . . . . . . 13
163161, 162syl5eqelr 2521 . . . . . . . . . . . 12
164163adantr 452 . . . . . . . . . . 11
165 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . 14
166 nfcsb1v 3283 . . . . . . . . . . . . . 14
167 csbeq1a 3259 . . . . . . . . . . . . . 14
168165, 166, 167cbvmpt 4299 . . . . . . . . . . . . 13
169 itgsubst.c . . . . . . . . . . . . 13
170168, 169syl5eqelr 2521 . . . . . . . . . . . 12
171170adantr 452 . . . . . . . . . . 11
172 itgsubst.da . . . . . . . . . . . . 13
173155oveq2i 6092 . . . . . . . . . . . . 13
174172, 173, 1613eqtr3g 2491 . . . . . . . . . . . 12
175174adantr 452 . . . . . . . . . . 11
176 csbeq1 3254 . . . . . . . . . . 11
177 csbeq1 3254 . . . . . . . . . . 11
178 csbeq1 3254 . . . . . . . . . . 11
179 simprll 739 . . . . . . . . . . 11
180 simprlr 740 . . . . . . . . . . 11
181 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12
182153nfel1 2582 . . . . . . . . . . . . 13
183154eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . 13
184182, 183rspc 3046 . . . . . . . . . . . 12
185181, 184mpan9 456 . . . . . . . . . . 11
186147, 148, 149, 150, 151, 157, 164, 171, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 185itgsubstlem 19932 . . . . . . . . . 10 _ _
187167, 165, 166cbvditg 19741 . . . . . . . . . . . 12 _ _
188 nfcvd 2573 . . . . . . . . . . . . . . 15
189 itgsubst.k . . . . . . . . . . . . . . 15
190188, 189csbiegf 3291 . . . . . . . . . . . . . 14
191 ditgeq1 19735 . . . . . . . . . . . . . 14 _ _
1921, 190, 1913syl 19 . . . . . . . . . . . . 13 _ _
193 nfcvd 2573 . . . . . . . . . . . . . . 15
194 itgsubst.l . . . . . . . . . . . . . . 15
195193, 194csbiegf 3291 . . . . . . . . . . . . . 14
196 ditgeq2 19736 . . . . . . . . . . . . . 14 _ _
1972, 195, 1963syl 19 . . . . . . . . . . . . 13 _ _
198192, 197eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12 _ _
199187, 198syl5eqr 2482 . . . . . . . . . . 11 _ _
200199adantr 452 . . . . . . . . . 10 _ _
201154csbeq1d 3257 . . . . . . . . . . . . . 14
202201, 160oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . 13
203 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . 13
204 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . . 15
205153, 204nfcsb 3285 . . . . . . . . . . . . . 14
206 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . 14
207205, 206, 159nfov 6104 . . . . . . . . . . . . 13
208202, 203, 207cbvditg 19741 . . . . . . . . . . . 12 _ _
209 ioossicc 10996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
210209sseli 3344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
211210, 140sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16
212 nfcvd 2573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
213 itgsubst.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17
214212, 213csbiegf 3291 . . . . . . . . . . . . . . . 16
215211, 214syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
216215oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . 14
217216itgeq2dv 19673 . . . . . . . . . . . . 13
2183ditgpos 19743 . . . . . . . . . . . . 13 _
2193ditgpos 19743 . . . . . . . . . . . . 13 _
220217, 218, 2193eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . 12 _ _
221208, 220syl5eqr 2482 . . . . . . . . . . 11 _ _
222221adantr 452 . . . . . . . . . 10 _ _
223186, 200, 2223eqtr3d 2476 . . . . . . . . 9 _ _
224223expr 599 . . . . . . . 8 _ _
225146, 224sylbid 207 . . . . . . 7 _ _
226129, 225sylbid 207 . . . . . 6 _ _
227117, 226syl5bir 210 . . . . 5 _ _
228227rexlimdvva 2837 . . . 4 _ _
229116, 228syl5bi 209 . . 3 _ _
23065, 113, 229syl2and 470 . 2 _ _
23110, 230mpd 15 1 _ _
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706  csb 3251   cin 3319   wss 3320   class class class wbr 4212   cmpt 4266  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988  cr 8989   cmul 8995  cxr 9119   clt 9120   cle 9121  cq 10574  cioo 10916  cicc 10919  ccncf 18906  cibl 19509  citg 19510  _cdit 19511   cdv 19750 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-cmp 17450  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-ovol 19361  df-vol 19362  df-mbf 19512  df-itg1 19513  df-itg2 19514  df-ibl 19515  df-itg 19516  df-ditg 19517  df-0p 19562  df-limc 19753  df-dv 19754
 Copyright terms: Public domain W3C validator