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Theorem itgsubst 19933
Description: Integration by  u-substitution. If  A ( x ) is a continuous, differentiable function from  [ X ,  Y ] to  ( Z ,  W ), whose derivative is continuous and integrable, and  C ( u ) is a continuous function on  ( Z ,  W ), then the integral of  C ( u ) from  K  =  A ( X ) to  L  =  A ( Y ) is equal to the integral of  C ( A ( x ) )  _D  A ( x ) from  X to  Y. In this part of the proof we discharge the assumptions in itgsubstlem 19932, which use the fact that  ( Z ,  W ) is open to shrink the interval a little to  ( M ,  N ) where  Z  <  M  <  N  <  W- this is possible because  A ( x ) is a continuous function on a closed interval, so its range is in fact a closed interval, and we have some wiggle room on the edges. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsubst.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
itgsubst.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
itgsubst.le  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
itgsubst.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR* )
itgsubst.w  |-  ( ph  ->  W  e.  RR* )
itgsubst.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
itgsubst.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  i^i  L ^1 ) )
itgsubst.c  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC ) )
itgsubst.da  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
itgsubst.e  |-  ( u  =  A  ->  C  =  E )
itgsubst.k  |-  ( x  =  X  ->  A  =  K )
itgsubst.l  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  L )
Assertion
Ref Expression
itgsubst  |-  ( ph  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
Distinct variable groups:    u, E    x, u, K    ph, u, x   
u, X, x    u, Y, x    u, A    x, C    u, W, x    u, L, x    u, Z, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, u)    C( u)    E( x)

Proof of Theorem itgsubst
Dummy variables  m  n  y  z  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgsubst.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
2 itgsubst.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
3 itgsubst.le . . 3  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
4 ioossre 10972 . . . . 5  |-  ( Z (,) W )  C_  RR
5 ax-resscn 9047 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
6 cncfss 18929 . . . . 5  |-  ( ( ( Z (,) W
)  C_  RR  /\  RR  C_  CC )  ->  (
( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) )  C_  ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
74, 5, 6mp2an 654 . . . 4  |-  ( ( X [,] Y )
-cn-> ( Z (,) W
) )  C_  (
( X [,] Y
) -cn-> RR )
8 itgsubst.a . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
97, 8sseldi 3346 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> RR ) )
101, 2, 3, 9evthicc 19356 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( X [,] Y
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  /\  E. y  e.  ( X [,] Y ) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )
11 ressxr 9129 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  RR*
124, 11sstri 3357 . . . . . . 7  |-  ( Z (,) W )  C_  RR*
13 cncff 18923 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  e.  ( ( X [,] Y )
-cn-> ( Z (,) W
) )  ->  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
148, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W
) )
1514adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) : ( X [,] Y
) --> ( Z (,) W ) )
16 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  y  e.  ( X [,] Y ) )
1715, 16ffvelrnd 5871 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  e.  ( Z (,) W
) )
1812, 17sseldi 3346 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  e. 
RR* )
19 itgsubst.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  RR* )
2019adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  W  e.  RR* )
21 eliooord 10970 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  e.  ( Z (,) W )  -> 
( Z  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  /\  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y )  <  W ) )
2217, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( Z  < 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <  W )
)
2322simprd 450 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
W )
24 qbtwnxr 10786 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  RR*  /\  W  e.  RR*  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <  W )  ->  E. n  e.  QQ  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) )
2518, 20, 23, 24syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  E. n  e.  QQ  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) )
26 qre 10579 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  QQ  ->  n  e.  RR )
2726ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  n  e.  RR )
28 itgsubst.z . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  RR* )
2928ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  Z  e.  RR* )
3018adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  RR* )
3127rexrd 9134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  n  e.  RR* )
3222simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  Z  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
) )
3332adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  Z  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) )
34 simprrl 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n
)
3529, 30, 31, 33, 34xrlttrd 10749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  Z  <  n )
36 simprrr 742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  n  <  W )
3719ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  W  e.  RR* )
38 elioo2 10957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  RR*  /\  W  e.  RR* )  ->  (
n  e.  ( Z (,) W )  <->  ( n  e.  RR  /\  Z  < 
n  /\  n  <  W ) ) )
3929, 37, 38syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( n  e.  ( Z (,) W )  <-> 
( n  e.  RR  /\  Z  <  n  /\  n  <  W ) ) )
4027, 35, 36, 39mpbir3and 1137 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  n  e.  ( Z (,) W ) )
41 anass 631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  <_  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) )  <-> 
( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )
42 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n
)
4342adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n
)
4414ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W
) )
4544ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  ( Z (,) W ) )
4612, 45sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  RR* )
47 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
y  e.  ( X [,] Y ) )
4844, 47ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  ( Z (,) W ) )
4912, 48sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  RR* )
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  RR* )
5126ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  n  e.  RR )
5251adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  n  e.  RR )
5352rexrd 9134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  n  e.  RR* )
54 xrlelttr 10746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  RR*  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  RR*  /\  n  e.  RR* )  ->  ( ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  <_  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n
)  ->  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  <  n ) )
5546, 50, 53, 54syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  <_  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n
)  ->  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  <  n ) )
5643, 55mpan2d 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <  n )
)
5756ralimdva 2784 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
5857imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )
5958an32s 780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) )  /\  ( n  e.  QQ  /\  (
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n  /\  n  <  W ) ) )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )
6041, 59sylanbr 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <  n )
6140, 60jca 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) )  /\  (
n  e.  QQ  /\  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
n  /\  n  <  W ) ) )  -> 
( n  e.  ( Z (,) W )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
6261ex 424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( ( n  e.  QQ  /\  (
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  <  n  /\  n  <  W ) )  ->  ( n  e.  ( Z (,) W
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) ) )
6362reximdv2 2815 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( E. n  e.  QQ  ( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y )  <  n  /\  n  <  W )  ->  E. n  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
6425, 63mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  E. n  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  <  n
)
6564rexlimdvaa 2831 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( X [,] Y
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  ->  E. n  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
6628adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  Z  e.  RR* )
6714adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) : ( X [,] Y
) --> ( Z (,) W ) )
68 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  y  e.  ( X [,] Y ) )
6967, 68ffvelrnd 5871 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  e.  ( Z (,) W
) )
7012, 69sseldi 3346 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  e. 
RR* )
7169, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( Z  < 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <  W )
)
7271simpld 446 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  Z  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
) )
73 qbtwnxr 10786 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  RR*  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  e.  RR*  /\  Z  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) )  ->  E. m  e.  QQ  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) )
7466, 70, 72, 73syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  E. m  e.  QQ  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) )
75 qre 10579 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  QQ  ->  m  e.  RR )
7675ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  e.  RR )
77 simprrl 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  Z  <  m )
7876rexrd 9134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  e.  RR* )
7970adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  e.  RR* )
8019ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  W  e.  RR* )
81 simprrr 742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) )
8271simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  < 
W )
8382adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <  W )
8478, 79, 80, 81, 83xrlttrd 10749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  <  W )
8528ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  Z  e.  RR* )
86 elioo2 10957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  RR*  /\  W  e.  RR* )  ->  (
m  e.  ( Z (,) W )  <->  ( m  e.  RR  /\  Z  < 
m  /\  m  <  W ) ) )
8785, 80, 86syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
m  e.  ( Z (,) W )  <->  ( m  e.  RR  /\  Z  < 
m  /\  m  <  W ) ) )
8876, 77, 84, 87mpbir3and 1137 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  e.  ( Z (,) W
) )
89 anass 631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y )  <_  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z ) )  <-> 
( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) ) )
90 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) )
9190adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) )
9275ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  m  e.  RR )
9392adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  m  e.  RR )
9493rexrd 9134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  m  e.  RR* )
9514ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
96 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  y  e.  ( X [,] Y
) )
9795, 96ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  e.  ( Z (,) W ) )
9812, 97sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  e.  RR* )
9998adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  e.  RR* )
10095ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  ( Z (,) W ) )
10112, 100sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  RR* )
102 xrltletr 10747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  RR*  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  e.  RR*  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  e.  RR* )  ->  ( ( m  < 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )  ->  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) ) )
10394, 99, 101, 102syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( m  < 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )  ->  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) ) )
10491, 103mpand 657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  ->  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )
105104ralimdva 2784 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y ) m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )
106105imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  y ) ) ) )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) )
107106an32s 780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X [,] Y ) )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )  /\  ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) ) )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) )
10889, 107sylanbr 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) )
10988, 108jca 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  ( X [,] Y )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
)  <_  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) ) )  /\  (
m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y ) ) ) )  ->  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y ) m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z ) ) )
110109ex 424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( ( m  e.  QQ  /\  ( Z  <  m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y ) ) )  ->  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) ) ) )
111110reximdv2 2815 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  ( E. m  e.  QQ  ( Z  < 
m  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  y
) )  ->  E. m  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) ) )
11274, 111mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( X [,] Y
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) ) )  ->  E. m  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y ) m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )
113112rexlimdvaa 2831 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( X [,] Y
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  ->  E. m  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) ) )
114 ancom 438 . . . . 5  |-  ( ( E. n  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  <  n  /\  E. m  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y ) m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )  <->  ( E. m  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  /\  E. n  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
115 reeanv 2875 . . . . 5  |-  ( E. m  e.  ( Z (,) W ) E. n  e.  ( Z (,) W ) ( A. z  e.  ( X [,] Y ) m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  <->  ( E. m  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  /\  E. n  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
116114, 115bitr4i 244 . . . 4  |-  ( ( E. n  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  <  n  /\  E. m  e.  ( Z (,) W ) A. z  e.  ( X [,] Y ) m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z ) )  <->  E. m  e.  ( Z (,) W ) E. n  e.  ( Z (,) W ) ( A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
117 r19.26 2838 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  <  n
)  <->  ( A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n ) )
11814adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
119118ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  e.  ( Z (,) W ) )
1204, 119sseldi 3346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  e.  RR )
1211203biant1d 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
m  <  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  <->  ( (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  e.  RR  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  <  n
) ) )
122 simplrl 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  m  e.  ( Z (,) W ) )
12312, 122sseldi 3346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  m  e.  RR* )
124 simplrr 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  n  e.  ( Z (,) W ) )
12512, 124sseldi 3346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  n  e.  RR* )
126 elioo2 10957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  RR*  /\  n  e.  RR* )  ->  (
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  ( m (,) n )  <-> 
( ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  e.  RR  /\  m  < 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  /\  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  <  n )
) )
127123, 125, 126syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  e.  ( m (,) n )  <->  ( (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  e.  RR  /\  m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  <  n
) ) )
128121, 127bitr4d 248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  /\  z  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
m  <  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  <->  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  e.  ( m (,) n ) ) )
129128ralbidva 2721 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  <->  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  e.  ( m (,) n
) ) )
130 nffvmpt1 5736 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )
131130nfel1 2582 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  ( m (,) n )
132 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z ( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  x )  e.  ( m (,) n )
133 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  =  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  x ) )
134133eleq1d 2502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z )  e.  ( m (,) n )  <-> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  x )  e.  ( m (,) n ) ) )
135131, 132, 134cbvral 2928 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  e.  ( m (,) n )  <->  A. x  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 x )  e.  ( m (,) n
) )
136 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  x  e.  ( X [,] Y ) )
137 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  =  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A )
138137fmpt 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( Z (,) W
)  <->  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) : ( X [,] Y
) --> ( Z (,) W ) )
13914, 138sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( Z (,) W ) )
140139r19.21bi 2804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  A  e.  ( Z (,) W ) )
141137fvmpt2 5812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  /\  A  e.  ( Z (,) W ) )  -> 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  x )  =  A )
142136, 140, 141syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  x )  =  A )
143142eleq1d 2502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X [,] Y ) )  ->  ( (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  x
)  e.  ( m (,) n )  <->  A  e.  ( m (,) n
) ) )
144143ralbidva 2721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 x )  e.  ( m (,) n
)  <->  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )
145135, 144syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  e.  ( m (,) n
)  <->  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )
146145adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  e.  ( m (,) n )  <->  A. x  e.  ( X [,] Y
) A  e.  ( m (,) n ) ) )
1471adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  X  e.  RR )
1482adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  Y  e.  RR )
1493adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  X  <_  Y
)
15028adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  Z  e.  RR* )
15119adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  W  e.  RR* )
152 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y A
153 nfcsb1v 3283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ A
154 csbeq1a 3259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  A  =  [_ y  /  x ]_ A )
155152, 153, 154cbvmpt 4299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A )  =  ( y  e.  ( X [,] Y
)  |->  [_ y  /  x ]_ A )
156155, 8syl5eqelr 2521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
157156adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  ( y  e.  ( X [,] Y
)  |->  [_ y  /  x ]_ A )  e.  ( ( X [,] Y
) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
158 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y B
159 nfcsb1v 3283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
160 csbeq1a 3259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
161158, 159, 160cbvmpt 4299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )  =  ( y  e.  ( X (,) Y
)  |->  [_ y  /  x ]_ B )
162 itgsubst.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  i^i  L ^1 ) )
163161, 162syl5eqelr 2521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  [_ y  /  x ]_ B )  e.  ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  i^i  L ^1 ) )
164163adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  ( y  e.  ( X (,) Y
)  |->  [_ y  /  x ]_ B )  e.  ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC )  i^i  L ^1 ) )
165 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ v C
166 nfcsb1v 3283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ u [_ v  /  u ]_ C
167 csbeq1a 3259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  v  ->  C  =  [_ v  /  u ]_ C )
168165, 166, 167cbvmpt 4299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( Z (,) W )  |->  C )  =  ( v  e.  ( Z (,) W
)  |->  [_ v  /  u ]_ C )
169 itgsubst.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( Z (,) W ) 
|->  C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC ) )
170168, 169syl5eqelr 2521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ( Z (,) W ) 
|->  [_ v  /  u ]_ C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC ) )
171170adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  ( v  e.  ( Z (,) W
)  |->  [_ v  /  u ]_ C )  e.  ( ( Z (,) W
) -cn-> CC ) )
172 itgsubst.da . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B ) )
173155oveq2i 6092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) )  =  ( RR  _D  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A ) )
174172, 173, 1613eqtr3g 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( X [,] Y )  |->  [_ y  /  x ]_ A
) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y )  |->  [_ y  /  x ]_ B
) )
175174adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  ( RR  _D  ( y  e.  ( X [,] Y ) 
|->  [_ y  /  x ]_ A ) )  =  ( y  e.  ( X (,) Y ) 
|->  [_ y  /  x ]_ B ) )
176 csbeq1 3254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  [_ y  /  x ]_ A  ->  [_ v  /  u ]_ C  = 
[_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C )
177 csbeq1 3254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  X  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ X  /  x ]_ A )
178 csbeq1 3254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Y  ->  [_ y  /  x ]_ A  = 
[_ Y  /  x ]_ A )
179 simprll 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  m  e.  ( Z (,) W ) )
180 simprlr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  n  e.  ( Z (,) W ) )
181 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) )
182153nfel1 2582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ A  e.  (
m (,) n )
183154eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  ( m (,) n )  <->  [_ y  /  x ]_ A  e.  ( m (,) n ) ) )
184182, 183rspc 3046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( X [,] Y )  ->  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  ( m (,) n
) ) )
185181, 184mpan9 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y
) A  e.  ( m (,) n ) ) )  /\  y  e.  ( X [,] Y
) )  ->  [_ y  /  x ]_ A  e.  ( m (,) n
) )
186147, 148, 149, 150, 151, 157, 164, 171, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 185itgsubstlem 19932 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] [_ v  /  u ]_ C  _d v  =  S__ [ X  ->  Y ] (
[_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C  x.  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )
187167, 165, 166cbvditg 19741 . . . . . . . . . . . 12  |-  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u  =  S__
[ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] [_ v  /  u ]_ C  _d v
188 nfcvd 2573 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  RR  ->  F/_ x K )
189 itgsubst.k . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  A  =  K )
190188, 189csbiegf 3291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  RR  ->  [_ X  /  x ]_ A  =  K )
191 ditgeq1 19735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [_ X  /  x ]_ A  =  K  ->  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u  =  S__
[ K  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u )
1921, 190, 1913syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u  =  S__ [ K  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u )
193 nfcvd 2573 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Y  e.  RR  ->  F/_ x L )
194 itgsubst.l . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  L )
195193, 194csbiegf 3291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y  e.  RR  ->  [_ Y  /  x ]_ A  =  L )
196 ditgeq2 19736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [_ Y  /  x ]_ A  =  L  ->  S__ [ K  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
1972, 195, 1963syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S__ [ K  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
198192, 197eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] C  _d u  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
199187, 198syl5eqr 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] [_ v  /  u ]_ C  _d v  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
200199adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  S__ [ [_ X  /  x ]_ A  ->  [_ Y  /  x ]_ A ] [_ v  /  u ]_ C  _d v  =  S__ [ K  ->  L ] C  _d u )
201154csbeq1d 3257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  [_ A  /  u ]_ C  = 
[_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C )
202201, 160oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B
)  =  ( [_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )
203 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y
( [_ A  /  u ]_ C  x.  B
)
204 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x C
205153, 204nfcsb 3285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C
206 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x  x.
207205, 206, 159nfov 6104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( [_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C  x.  [_ y  /  x ]_ B )
208202, 203, 207cbvditg 19741 . . . . . . . . . . . 12  |-  S__ [ X  ->  Y ] (
[_ A  /  u ]_ C  x.  B
)  _d x  =  S__ [ X  ->  Y ] ( [_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C  x.  [_ y  /  x ]_ B
)  _d y
209 ioossicc 10996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X (,) Y )  C_  ( X [,] Y )
210209sseli 3344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  ->  x  e.  ( X [,] Y
) )
211210, 140sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  A  e.  ( Z (,) W ) )
212 nfcvd 2573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ( Z (,) W )  ->  F/_ u E )
213 itgsubst.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  A  ->  C  =  E )
214212, 213csbiegf 3291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( Z (,) W )  ->  [_ A  /  u ]_ C  =  E )
215211, 214syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  [_ A  /  u ]_ C  =  E )
216215oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B )  =  ( E  x.  B ) )
217216itgeq2dv 19673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B )  _d x  =  S. ( X (,) Y ) ( E  x.  B )  _d x )
2183ditgpos 19743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S__ [ X  ->  Y ] ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B )  _d x  =  S. ( X (,) Y ) (
[_ A  /  u ]_ C  x.  B
)  _d x )
2193ditgpos 19743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x  =  S. ( X (,) Y ) ( E  x.  B )  _d x )
220217, 218, 2193eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S__ [ X  ->  Y ] ( [_ A  /  u ]_ C  x.  B )  _d x  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
221208, 220syl5eqr 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S__ [ X  ->  Y ] ( [_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C  x.  [_ y  /  x ]_ B
)  _d y  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
222221adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  S__ [ X  ->  Y ] ( [_ [_ y  /  x ]_ A  /  u ]_ C  x.  [_ y  /  x ]_ B )  _d y  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
223186, 200, 2223eqtr3d 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ( Z (,) W )  /\  n  e.  ( Z (,) W ) )  /\  A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n ) ) )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
224223expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  ( A. x  e.  ( X [,] Y ) A  e.  ( m (,) n )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__
[ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
225146, 224sylbid 207 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( ( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  e.  ( m (,) n )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
226129, 225sylbid 207 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  ( A. z  e.  ( X [,] Y ) ( m  <  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `  z )  /\  ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__
[ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
227117, 226syl5bir 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( Z (,) W
)  /\  n  e.  ( Z (,) W ) ) )  ->  (
( A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__
[ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
228227rexlimdvva 2837 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ( Z (,) W
) E. n  e.  ( Z (,) W
) ( A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
)  /\  A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__
[ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
229116, 228syl5bi 209 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. n  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  < 
n  /\  E. m  e.  ( Z (,) W
) A. z  e.  ( X [,] Y
) m  <  (
( x  e.  ( X [,] Y ) 
|->  A ) `  z
) )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__
[ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
23065, 113, 229syl2and 470 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. y  e.  ( X [,] Y
) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 z )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  y )  /\  E. y  e.  ( X [,] Y ) A. z  e.  ( X [,] Y
) ( ( x  e.  ( X [,] Y )  |->  A ) `
 y )  <_ 
( ( x  e.  ( X [,] Y
)  |->  A ) `  z ) )  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x ) )
23110, 230mpd 15 1  |-  ( ph  ->  S__ [ K  ->  L ] C  _d u  =  S__ [ X  ->  Y ] ( E  x.  B )  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   [_csb 3251    i^i cin 3319    C_ wss 3320   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989    x. cmul 8995   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121   QQcq 10574   (,)cioo 10916   [,]cicc 10919   -cn->ccncf 18906   L ^1cibl 19509   S.citg 19510   S__cdit 19511    _D cdv 19750
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-cmp 17450  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-ovol 19361  df-vol 19362  df-mbf 19512  df-itg1 19513  df-itg2 19514  df-ibl 19515  df-itg 19516  df-ditg 19517  df-0p 19562  df-limc 19753  df-dv 19754
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