MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itunifval Unicode version

Theorem itunifval 7975
Description: Function value of iterated unions. EDITORIAL: The iterated unions and order types of ordered sets are split out here because they could concievably be independently useful. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ituni.u  |-  U  =  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  x )  |`  om ) )
Assertion
Ref Expression
itunifval  |-  ( A  e.  V  ->  ( U `  A )  =  ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) )
Distinct variable group:    x, A, y
Allowed substitution hints:    U( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem itunifval
StepHypRef Expression
1 elex 2748 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
2 rdgeq2 6358 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  x )  =  rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A ) )
32reseq1d 4907 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  x )  |`  om )  =  ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) )
4 ituni.u . . 3  |-  U  =  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  x )  |`  om ) )
5 rdgfun 6362 . . . 4  |-  Fun  rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )
6 omex 7277 . . . 4  |-  om  e.  _V
7 resfunexg 5636 . . . 4  |-  ( ( Fun  rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  /\  om  e.  _V )  ->  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om )  e.  _V )
85, 6, 7mp2an 656 . . 3  |-  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om )  e.  _V
93, 4, 8fvmpt 5501 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( U `  A )  =  ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) )
101, 9syl 17 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( U `  A )  =  ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2740   U.cuni 3768    e. cmpt 4017   omcom 4593    |` cres 4628   Fun wfun 4632   ` cfv 4638   reccrdg 6355
This theorem is referenced by:  itunifn  7976  ituni0  7977  itunisuc  7978
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-recs 6321  df-rdg 6356
  Copyright terms: Public domain W3C validator