MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itunifval Unicode version

Theorem itunifval 8044
Description: Function value of iterated unions. EDITORIAL: The iterated unions and order types of ordered sets are split out here because they could concievably be independently useful. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ituni.u  |-  U  =  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  x )  |`  om ) )
Assertion
Ref Expression
itunifval  |-  ( A  e.  V  ->  ( U `  A )  =  ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) )
Distinct variable group:    x, A, y
Allowed substitution hints:    U( x, y)    V( x, y)

Proof of Theorem itunifval
StepHypRef Expression
1 elex 2798 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
2 rdgeq2 6427 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  x )  =  rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A ) )
32reseq1d 4956 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  x )  |`  om )  =  ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) )
4 ituni.u . . 3  |-  U  =  ( x  e.  _V  |->  ( rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y
) ,  x )  |`  om ) )
5 rdgfun 6431 . . . 4  |-  Fun  rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )
6 omex 7346 . . . 4  |-  om  e.  _V
7 resfunexg 5739 . . . 4  |-  ( ( Fun  rec ( ( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  /\  om  e.  _V )  ->  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om )  e.  _V )
85, 6, 7mp2an 653 . . 3  |-  ( rec ( ( y  e. 
_V  |->  U. y ) ,  A )  |`  om )  e.  _V
93, 4, 8fvmpt 5604 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( U `  A )  =  ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) )
101, 9syl 15 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( U `  A )  =  ( rec (
( y  e.  _V  |->  U. y ) ,  A
)  |`  om ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1625    e. wcel 1686   _Vcvv 2790   U.cuni 3829    e. cmpt 4079   omcom 4658    |` cres 4693   Fun wfun 5251   ` cfv 5257   reccrdg 6424
This theorem is referenced by:  itunifn  8045  ituni0  8046  itunisuc  8047
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-recs 6390  df-rdg 6425
  Copyright terms: Public domain W3C validator