Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itunitc1 Structured version   Unicode version

Theorem itunitc1 8302
 Description: Each union iterate is a member of the transitive closure. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ituni.u
Assertion
Ref Expression
itunitc1
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem itunitc1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5730 . . . . 5
21fveq1d 5732 . . . 4
3 fveq2 5730 . . . 4
42, 3sseq12d 3379 . . 3
5 fveq2 5730 . . . . . 6
65sseq1d 3377 . . . . 5
7 fveq2 5730 . . . . . 6
87sseq1d 3377 . . . . 5
9 fveq2 5730 . . . . . 6
109sseq1d 3377 . . . . 5
11 fveq2 5730 . . . . . 6
1211sseq1d 3377 . . . . 5
13 vex 2961 . . . . . 6
14 ituni.u . . . . . . . 8
1514ituni0 8300 . . . . . . 7
16 tcid 7680 . . . . . . 7
1715, 16eqsstrd 3384 . . . . . 6
1813, 17ax-mp 8 . . . . 5
1914itunisuc 8301 . . . . . . 7
20 tctr 7681 . . . . . . . . . 10
21 pwtr 4418 . . . . . . . . . 10
2220, 21mpbi 201 . . . . . . . . 9
23 trss 4313 . . . . . . . . 9
2422, 23ax-mp 8 . . . . . . . 8
25 fvex 5744 . . . . . . . . 9
2625elpw 3807 . . . . . . . 8
27 sspwuni 4178 . . . . . . . 8
2824, 26, 273imtr3i 258 . . . . . . 7
2919, 28syl5eqss 3394 . . . . . 6
3029a1i 11 . . . . 5
316, 8, 10, 12, 18, 30finds 4873 . . . 4
3214itunifn 8299 . . . . . . . 8
33 fndm 5546 . . . . . . . 8
3413, 32, 33mp2b 10 . . . . . . 7
3534eleq2i 2502 . . . . . 6
36 ndmfv 5757 . . . . . 6
3735, 36sylnbir 300 . . . . 5
38 0ss 3658 . . . . 5
3937, 38syl6eqss 3400 . . . 4
4031, 39pm2.61i 159 . . 3
414, 40vtoclg 3013 . 2
42 fvprc 5724 . . . . 5
4342fveq1d 5732 . . . 4
44 fv01 5765 . . . 4
4543, 44syl6eq 2486 . . 3
46 0ss 3658 . . 3
4745, 46syl6eqss 3400 . 2
4841, 47pm2.61i 159 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958   wss 3322  c0 3630  cpw 3801  cuni 4017   cmpt 4268   wtr 4304   csuc 4585  com 4847   cdm 4880   cres 4882   wfn 5451  cfv 5456  crdg 6669  ctc 7677 This theorem is referenced by:  itunitc  8303 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-tc 7678
 Copyright terms: Public domain W3C validator