Theorem iun0 2599

Description: An indexed union of the empty set is empty.

Assertion

Ref	Expression
iun0	|- U_x e. A (/) = (/)

Proof of Theorem iun0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 2565	. . 3 |- (y e. U_x e. A (/) <-> E.x e. A y e. (/))
2		noel 2280	. . . . . 6 |- -. y e. (/)
3	2	a1i 8	. . . . 5 |- (x e. A -> -. y e. (/))
4	3	nrex 1726	. . . 4 |- -. E.x e. A y e. (/)
5	4, 2	2false 718	. . 3 |- (E.x e. A y e. (/) <-> y e. (/))
6	1, 5	bitr 173	. 2 |- (y e. U_x e. A (/) <-> y e. (/))
7	6	eqriv 1472	1 |- U_x e. A (/) = (/)

Syntax hints:  -. wn 2   = wceq 954   e. wcel 956  E.wrex 1643  (/)c0 2276  U_ciun 2561

This theorem is referenced by:  om0r 4164  kmlem11 4755

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-12 966  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-nul 2277  df-iun 2563

Copyright terms: Public domain