MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iuncld Structured version   Unicode version

Theorem iuncld 17111
Description: A finite indexed union of closed sets is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
iuncld  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)
Distinct variable groups:    x, J    x, X    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iuncld
StepHypRef Expression
1 difin 3580 . . . 4  |-  ( X 
\  ( X  i^i  |^|_
x  e.  A  ( X  \  B ) ) )  =  ( X  \  |^|_ x  e.  A  ( X  \  B ) )
2 iundif2 4160 . . . 4  |-  U_ x  e.  A  ( X  \  ( X  \  B
) )  =  ( X  \  |^|_ x  e.  A  ( X  \  B ) )
31, 2eqtr4i 2461 . . 3  |-  ( X 
\  ( X  i^i  |^|_
x  e.  A  ( X  \  B ) ) )  =  U_ x  e.  A  ( X  \  ( X  \  B ) )
4 clscld.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
54cldss 17095 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  B  C_  X
)
6 dfss4 3577 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  X  <->  ( X  \  ( X  \  B
) )  =  B )
75, 6sylib 190 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( X  \  ( X  \  B
) )  =  B )
87ralimi 2783 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  A. x  e.  A  ( X  \  ( X  \  B
) )  =  B )
983ad2ant3 981 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A. x  e.  A  ( X  \  ( X  \  B
) )  =  B )
10 iuneq2 4111 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  ( X  \  ( X  \  B ) )  =  B  ->  U_ x  e.  A  ( X  \ 
( X  \  B
) )  =  U_ x  e.  A  B
)
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U_ x  e.  A  ( X  \  ( X  \  B
) )  =  U_ x  e.  A  B
)
123, 11syl5eq 2482 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( X  \  ( X  i^i  |^|_
x  e.  A  ( X  \  B ) ) )  =  U_ x  e.  A  B
)
13 simp1 958 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  J  e.  Top )
144cldopn 17097 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( X  \  B )  e.  J
)
1514ralimi 2783 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
)  ->  A. x  e.  A  ( X  \  B )  e.  J
)
164riinopn 16983 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  ( X  \  B )  e.  J )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  ( X  \  B ) )  e.  J )
1715, 16syl3an3 1220 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  ( X  \  B ) )  e.  J )
184opncld 17099 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( X  i^i  |^|_ x  e.  A  ( X  \  B ) )  e.  J )  ->  ( X  \  ( X  i^i  |^|_
x  e.  A  ( X  \  B ) ) )  e.  (
Clsd `  J )
)
1913, 17, 18syl2anc 644 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( X  \  ( X  i^i  |^|_
x  e.  A  ( X  \  B ) ) )  e.  (
Clsd `  J )
)
2012, 19eqeltrrd 2513 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  ( Clsd `  J )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    \ cdif 3319    i^i cin 3321    C_ wss 3322   U.cuni 4017   U_ciun 4095   |^|_ciin 4096   ` cfv 5456   Fincfn 7111   Topctop 16960   Clsdccld 17082
This theorem is referenced by:  unicld  17112  t1ficld  17393  mblfinlem1  26245  mblfinlem2  26246
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-fin 7115  df-top 16965  df-cld 17085
  Copyright terms: Public domain W3C validator