MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunctb Unicode version

Theorem iunctb 8164
Description: The countable union of countable sets is countable (indexed union version of unictb 8165). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunctb  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  A  B  ~<_  om )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iunctb
StepHypRef Expression
1 eqid 2258 . . 3  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
)  =  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
)
2 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  A  ~<_  om )
3 reldom 6837 . . . . . . . 8  |-  Rel  ~<_
43brrelexi 4717 . . . . . . 7  |-  ( A  ~<_  om  ->  A  e.  _V )
54adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  A  e.  _V )
6 ovex 5817 . . . . . . 7  |-  ( om 
^m  B )  e. 
_V
76rgenw 2585 . . . . . 6  |-  A. x  e.  A  ( om  ^m  B )  e.  _V
8 iunexg 5701 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  ( om  ^m  B )  e.  _V )  ->  U_ x  e.  A  ( om  ^m  B )  e.  _V )
95, 7, 8sylancl 646 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  A  ( om  ^m  B )  e.  _V )
10 acncc 8034 . . . . 5  |- AC  om  =  _V
119, 10syl6eleqr 2349 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  A  ( om  ^m  B )  e. AC  om )
12 acndom 7646 . . . 4  |-  ( A  ~<_  om  ->  ( U_ x  e.  A  ( om  ^m  B )  e. AC  om 
->  U_ x  e.  A  ( om  ^m  B )  e. AC  A ) )
132, 11, 12sylc 58 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  A  ( om  ^m  B )  e. AC  A )
14 simpr 449 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  A. x  e.  A  B  ~<_  om )
15 omex 7312 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
16 xpdom1g 6927 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  ~<_  om )  ->  ( A  X.  om )  ~<_  ( om  X.  om )
)
1715, 2, 16sylancr 647 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  ( A  X.  om )  ~<_  ( om  X.  om ) )
18 xpomen 7611 . . . . 5  |-  ( om 
X.  om )  ~~  om
19 domentr 6888 . . . . 5  |-  ( ( ( A  X.  om )  ~<_  ( om  X.  om )  /\  ( om  X.  om )  ~~  om )  ->  ( A  X.  om )  ~<_  om )
2017, 18, 19sylancl 646 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  ( A  X.  om )  ~<_  om )
213brrelexi 4717 . . . . . . 7  |-  ( B  ~<_  om  ->  B  e.  _V )
2221ralimi 2593 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  ~<_  om  ->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
23 iunexg 5701 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  B  e.  _V )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
244, 22, 23syl2an 465 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
25 omelon 7315 . . . . . 6  |-  om  e.  On
26 onenon 7550 . . . . . 6  |-  ( om  e.  On  ->  om  e.  dom  card )
2725, 26ax-mp 10 . . . . 5  |-  om  e.  dom  card
28 numacn 7644 . . . . 5  |-  ( U_ x  e.  A  B  e.  _V  ->  ( om  e.  dom  card  ->  om  e. AC  U_ x  e.  A  B
) )
2924, 27, 28ee10 1372 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  om  e. AC  U_ x  e.  A  B )
30 acndom2 7649 . . . 4  |-  ( ( A  X.  om )  ~<_  om  ->  ( om  e. AC  U_ x  e.  A  B  ->  ( A  X.  om )  e. AC  U_ x  e.  A  B ) )
3120, 29, 30sylc 58 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  ( A  X.  om )  e. AC  U_ x  e.  A  B )
321, 13, 14, 31iundomg 8131 . 2  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  A  B  ~<_  ( A  X.  om ) )
33 domtr 6882 . 2  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  ~<_  ( A  X.  om )  /\  ( A  X.  om )  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  A  B  ~<_  om )
3432, 20, 33syl2anc 645 1  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  A  B  ~<_  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621   A.wral 2518   _Vcvv 2763   {csn 3614   U_ciun 3879   class class class wbr 3997   Oncon0 4364   omcom 4628    X. cxp 4659   dom cdm 4661  (class class class)co 5792    ^m cmap 6740    ~~ cen 6828    ~<_ cdom 6829   cardccrd 7536  AC wacn 7539
This theorem is referenced by:  unictb  8165  heiborlem3  25905
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cc 8029
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-oi 7193  df-card 7540  df-acn 7543
  Copyright terms: Public domain W3C validator