MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunctb Unicode version

Theorem iunctb 8129
Description: The countable union of countable sets is countable (indexed union version of unictb 8130). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunctb  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  A  B  ~<_  om )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iunctb
StepHypRef Expression
1 eqid 2256 . . 3  |-  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
)  =  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  B
)
2 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  A  ~<_  om )
3 reldom 6802 . . . . . . . 8  |-  Rel  ~<_
43brrelexi 4682 . . . . . . 7  |-  ( A  ~<_  om  ->  A  e.  _V )
54adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  A  e.  _V )
6 ovex 5782 . . . . . . 7  |-  ( om 
^m  B )  e. 
_V
76rgenw 2581 . . . . . 6  |-  A. x  e.  A  ( om  ^m  B )  e.  _V
8 iunexg 5666 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  ( om  ^m  B )  e.  _V )  ->  U_ x  e.  A  ( om  ^m  B )  e.  _V )
95, 7, 8sylancl 646 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  A  ( om  ^m  B )  e.  _V )
10 acncc 7999 . . . . 5  |- AC  om  =  _V
119, 10syl6eleqr 2347 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  A  ( om  ^m  B )  e. AC  om )
12 acndom 7611 . . . 4  |-  ( A  ~<_  om  ->  ( U_ x  e.  A  ( om  ^m  B )  e. AC  om 
->  U_ x  e.  A  ( om  ^m  B )  e. AC  A ) )
132, 11, 12sylc 58 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  A  ( om  ^m  B )  e. AC  A )
14 simpr 449 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  A. x  e.  A  B  ~<_  om )
15 omex 7277 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
16 xpdom1g 6892 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  ~<_  om )  ->  ( A  X.  om )  ~<_  ( om  X.  om )
)
1715, 2, 16sylancr 647 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  ( A  X.  om )  ~<_  ( om  X.  om ) )
18 xpomen 7576 . . . . 5  |-  ( om 
X.  om )  ~~  om
19 domentr 6853 . . . . 5  |-  ( ( ( A  X.  om )  ~<_  ( om  X.  om )  /\  ( om  X.  om )  ~~  om )  ->  ( A  X.  om )  ~<_  om )
2017, 18, 19sylancl 646 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  ( A  X.  om )  ~<_  om )
213brrelexi 4682 . . . . . . 7  |-  ( B  ~<_  om  ->  B  e.  _V )
2221ralimi 2589 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  ~<_  om  ->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
23 iunexg 5666 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  B  e.  _V )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
244, 22, 23syl2an 465 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
25 omelon 7280 . . . . . 6  |-  om  e.  On
26 onenon 7515 . . . . . 6  |-  ( om  e.  On  ->  om  e.  dom  card )
2725, 26ax-mp 10 . . . . 5  |-  om  e.  dom  card
28 numacn 7609 . . . . 5  |-  ( U_ x  e.  A  B  e.  _V  ->  ( om  e.  dom  card  ->  om  e. AC  U_ x  e.  A  B
) )
2924, 27, 28ee10 1372 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  om  e. AC  U_ x  e.  A  B )
30 acndom2 7614 . . . 4  |-  ( ( A  X.  om )  ~<_  om  ->  ( om  e. AC  U_ x  e.  A  B  ->  ( A  X.  om )  e. AC  U_ x  e.  A  B ) )
3120, 29, 30sylc 58 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  ( A  X.  om )  e. AC  U_ x  e.  A  B )
321, 13, 14, 31iundomg 8096 . 2  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  A  B  ~<_  ( A  X.  om ) )
33 domtr 6847 . 2  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  ~<_  ( A  X.  om )  /\  ( A  X.  om )  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  A  B  ~<_  om )
3432, 20, 33syl2anc 645 1  |-  ( ( A  ~<_  om  /\  A. x  e.  A  B  ~<_  om )  ->  U_ x  e.  A  B  ~<_  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621   A.wral 2516   _Vcvv 2740   {csn 3581   U_ciun 3846   class class class wbr 3963   Oncon0 4329   omcom 4593    X. cxp 4624   dom cdm 4626  (class class class)co 5757    ^m cmap 6705    ~~ cen 6793    ~<_ cdom 6794   cardccrd 7501  AC wacn 7504
This theorem is referenced by:  unictb  8130  heiborlem3  25869
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cc 7994
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-er 6593  df-map 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-oi 7158  df-card 7505  df-acn 7508
  Copyright terms: Public domain W3C validator