Theorem iunctb 7517

Description: The countable union of countable sets is countable (indexed union version of unictb 7518).

Hypotheses

Ref	Expression
iunctb.1	|- A e. V
iunctb.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
iunctb	|- ((A ~<_ om /\ A.x e. A B ~<_ om) -> U_x e. A B ~<_ om)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem iunctb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domtr 4396	. . 3 |- ((U_x e. A B ~<_ (A X. om) /\ (A X. om) ~<_ om) -> U_x e. A B ~<_ om)
2		iunctb.1	. . . 4 |- A e. V
3		omex 4599	. . . 4 |- om e. V
4		iunctb.2	. . . 4 |- B e. V
5	2, 3, 4	iundom 4784	. . 3 |- (A.x e. A B ~<_ om -> U_x e. A B ~<_ (A X. om))
6		domrefg 4374	. . . . . 6 |- (om e. V -> om ~<_ om)
7	3, 6	ax-mp 7	. . . . 5 |- om ~<_ om
8	3, 2	infxpdom 7514	. . . . 5 |- ((om ~<_ om /\ A ~<_ om) -> (om X. A) ~<_ om)
9	7, 8	mpan 693	. . . 4 |- (A ~<_ om -> (om X. A) ~<_ om)
10	2, 3	xpex 3250	. . . . 5 |- (A X. om) e. V
11	3, 2	xpcomen 4419	. . . . 5 |- (om X. A) ~~ (A X. om)
12		domen1 4459	. . . . 5 |- (((A X. om) e. V /\ (om X. A) ~~ (A X. om)) -> ((om X. A) ~<_ om <-> (A X. om) ~<_ om))
13	10, 11, 12	mp2an 695	. . . 4 |- ((om X. A) ~<_ om <-> (A X. om) ~<_ om)
14	9, 13	sylib 198	. . 3 |- (A ~<_ om -> (A X. om) ~<_ om)
15	1, 5, 14	syl2an 454	. 2 |- ((A.x e. A B ~<_ om /\ A ~<_ om) -> U_x e. A B ~<_ om)
16	15	ancoms 436	1 |- ((A ~<_ om /\ A.x e. A B ~<_ om) -> U_x e. A B ~<_ om)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 955  A.wral 1637  Vcvv 1802  U_ciun 2556   class class class wbr 2609  omcom 3121   X. cxp 3158   ~~ cen 4348   ~<_ cdom 4349

This theorem is referenced by:  unictb 7518

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597  ax-ac 4716

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-iin 2559  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-iso 3189  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-2o 4118  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-r1 4615  df-rank 4616  df-card 4788  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501

Copyright terms: Public domain